线性代数 同济大学第七.pptx

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1、1课程简介 线性代数是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此该课程历来受到各高等院校的高度重视。根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对线性代数的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂，力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解行列式、矩

2、阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。第1页/共272页2主要内容 第一章 行 列 式 第二章 矩 阵 第三章 线性方程组第2页/共272页3第一章行列式 行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。式，为此首先引入行列式的概念。在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列第3页/共272页4第一章行列式 第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行（列）展开 第四节 行列式的计算举例 第五节 克莱姆法则主主要要内内容容第4页/共272页5第一节行列式的概念一、行列式的概念 为了更好掌握行

3、列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列【定义 1.1】【例 1.1】要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。式的定义。一阶行列式由一个数组成，记为 第5页/共272页6第一节行列式的概念表示，且规定：其中，元素 称为行列式的第 行第 列的元素 ；称为元素 的代数余子式；而 是行列 【定义 1.2】二阶行列式是由 个元素排成2行2列，用素 的余子式。式中划去第 行和第 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元第6页/共272页7第一节行列式的概念 则二阶行列式 显然在定义中，而 ；这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。第7页/共272页8第一节行列式的概念 【例 1.2

4、】求二阶行列式 的值。解或第8页/共272页9第一节行列式的概念 【定义 1.3】三阶行列式是由 个元素排成的3行3列，用 表示，且规定：其中：第9页/共272页10第一节行列式的概念 称 为 的余子式，它是在三阶行列式中划去 所在的行及列后按原次序所成的二阶行列式，称 为 的代数余子式；为 的代数 余子式。一般地，就是三阶行列式中划去 所在的第 行和第 列剩下的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 的余子式。称为元素 的代数余子式。第10页/共272页11第一节行列式的概念 【例 1.3】解 由上面定义，因为 计算三阶行列式 的值。所以 第11页/共272页12第一节行列式的概念 从上面三

5、阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。下面给出行列式的一般定义。【定义 1.4】当 时，假设已定义了 阶行列式，阶行列式是由 个元素排成行和列组成，记为：第12页/共272页13第一节行列式的概念 且规定其值为：其中，表示元素 的余子式，它是 中划去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原来的次序构成的 阶行列式。称为 的代数余子式。第13页/共272页14第一节行列式的概念 【例 1.4】解计算四阶行列式 从以上定义及例子可以看到，阶行列式由 个元素构成，每个

6、行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余子代数余子式再求和。第14页/共272页15第一节行列式的概念 我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。【定义 1.5】对于 阶行列式 ，列元素后，按原次序排列构成的 阶行列式。称为元素 的余子式，称为元素 的代数 余子式 。其中，是 中划去元素 所在的行和第15页/共272页16第一节行列式的概念 【例 1.5】解求行列式 的元素 和 的代数余子式。所以 因为 的余子式 的余子式 的代数余子式 的余子式 第16页/共272页17第二节行列式的性质 在上一节行列式定义 中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因

7、此行列式的阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。第17页/共272页18第二节行列式的性质 【定义 1.6】交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行列式，记为 或 。设则 【例 1.6】若则第18页/共272页19第二节行列式的性质 性质1 转置行列式的值等于原行列式的值，即 。在例1.6中的二个行列式 的值相等，即 根据这一性质，阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开即：这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。第19页/共272页20第二节行列式的性质 性质2 交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。【例 1.7】交换以下行列式D的第一行

8、和第三行，有 素（仍为D），即得 ，移项得 ，于是 。为零。特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值 因假设D中的第 行和第 行对应元素相同，交换第 行和第 行元第20页/共272页21 【例 1.8】第二节行列式的性质 以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略。行列式（因为第一行与第三行相同）第21页/共272页22第二节行列式的性质 性质3 【例 1.9】行列式符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 ，行列式的值扩大 倍。第22页/共272页23

9、第二节行列式的性质 性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。与第 行相同，于是行列式的值为零。设第 行为第 行的 倍，由性质3，将 行提出公因子 ，即得第 行 性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 列的元素都是两数之和：第23页/共272页24第二节行列式的性质利用这一性质：则 等于下列两列行列式之和：第24页/共272页25第二节行列式的性质 性质6 应元素上去，行列式值不变。即 把行列式某行（列）各元素的 倍加到另一行（列）的对 这一性质由性质3和性质4直接得到。利用这些性质可以简化行列式的计算。另外我们用 表示第 行，表示第 列。表示交换第 行与第行

10、，表示第 行乘 倍；表示把第 行乘 倍加到第 行上去。第25页/共272页26 【例 1.10】第二节行列式的性质解 利用行列式性质计算行列式 下页继续 第26页/共272页27第二节行列式的性质然后按行列式定义，得：熟练以后，这几步也可以合并为：（这里也可用 ）第27页/共272页28第三节行列式按行（列）展开 根据行列式定义，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代数余子式之和。在本节中我们将这一结果加以推广。【定理1.1】若 阶行列式 中除 外，第 行（或 列）的其余元素都为零，那么 可按第 行（或 列）展开为 。证明 设第 行除 ，其余元素都为零。第28页/共272页29第三节行列

11、式按行（列）展开 现将第 行和第 行对换，再与第 行对换，经过 次对换，含 的原第 行就换到第一行，行列式的值应乘 ，类似经 过 次列对换，可将含 的列变到第一列，即 因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是 中的（划去原第 行和原第 列）。第29页/共272页30第三节行列式按行（列）展开 【定理1.2】（拉普拉斯展开）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 阶行列式等于它的任意一行（列）或第30页/共272页31 证明 n阶行列式等于它的任意一行（列）第三节行列式按行（列）展开第31页/共272页32第三节行列式按行（列）展开 【定理1.3】应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

12、行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对 或 证明将 的第 行元素 换成 所成的新行列式的第 行与第 行相同；于是新的行列式值为零，另一方面，新行列式可按第 行展开，得：第32页/共272页33第三节行列式按行（列）展开 综合定理1.2和定理1.3，得：也就是行列式 的任意一行（列）各元素与这一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。利用行列式性质将某行（列）的元素尽可能化为零，然后展开，可简化行列式的计算。或第33页/共272页34第三节行列式按行（列）展开 【例 1.11】解1从第三列着

13、手，再变出一个零元素。计算行列式 首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零，于是 （按第3列展开得）（再按第3列展开得）下页继续 第34页/共272页35第三节行列式按行（列）展开 解2是用第4行减第1行也可同时出现3个零，然后按第4行展开，既得：本题也可以这样解：第4行与第1行有三个对应元素相同，于第35页/共272页36第三节行列式按行（列）展开 【例 1.12】解的系数。行列式 是关于 的一次多项式，求一次项由于行列式中 在其第二行，按第二行展开，可得：可以看到，一次项 的系数就是 的代数余子式 第36页/共272页37第三节行列式按行（列）展开 【例 1.13】计算行列式的值解

14、（按第4行展开得）（按第3列展开得）第37页/共272页38第四节行列式的计算举例 本节主要对有某些特殊的行列式的计算进行介绍。我们把 阶行列式 的从左上角到右下角含 的连线称为主对角线。第38页/共272页39第四节行列式的计算举例一、对角行列式 其中，除主对角线上的元素 外，其余省略的元素皆为零。显然：即对角行列式的值等于主对角线上元素之积。对角行列式等于零的充要条件为对角线上至少有一个元素为零。第39页/共272页40第四节行列式的计算举例 【例 1.14】计算行列式 (没写出的元素皆为零)解 经过 次列交换，可将最后一列换到第1列。第40页/共272页41二、三角行列式 上三角行列式

15、第四节行列式的计算举例 下三角行列式 第41页/共272页42 很容易得出三角行列式的值仍等于主对角线元素的积。第四节行列式的计算举例 如行列式 就是一个上三角行列式，其值等于 。第42页/共272页43 一般行列式计算都可采用化为上（下）三角行列式来计算。第四节行列式的计算举例 【例 1.15】计算行列式解 因为每行各元素之和相等（为6），我们可以“统加”，即多次用 的性质。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列加到第1列，得第43页/共272页44第四节行列式的计算举例 【例 1.16】解 从第2列起，每列加到第1列上，得解 阶行列式（从第2行起每行减去第1行得）第44页/共

16、272页45第四节行列式的计算举例 【例 1.17】解 从第2行起，每行减去第1行，得 解 阶行列式方程于是：解得：第45页/共272页46第四节行列式的计算举例 【例 1.18】解 将各列加到第一列,得计算 阶行列式第46页/共272页47第四节行列式的计算举例 第1列提取公因子。从第2行起，每行减去第1行，得第47页/共272页48三、按行或列展开解 按第1列展开，得第四节行列式的计算举例 有些行列式不易变成某行（列）只有一个非零元素，例如变成两个非零元素，则行列式值等于这两个元素与对应代数余子式积的和。【例 1.19】计算 阶行列式第48页/共272页49四、采用递推方式来解行列式 解

17、按最后一列展开，得 第四节行列式的计算举例 【例 1.20】计算下列 阶行列式同样推理可得:于是 第49页/共272页50第四节行列式的计算举例 【例 1.21】计算下列 阶行列式(没写出的元素皆为零)下页继续 第50页/共272页51第四节行列式的计算举例解 按第1行展开，得 两个行列式分别再按最后一行展开，得 同样推理可得于是第51页/共272页52第四节行列式的计算举例 【例 1.22】解 从第一列提取公因子 ，然后把第1列加到第2列，得计算 阶行列式下页继续 第52页/共272页53第四节行列式的计算举例第二列提取公因子 后，按第1行展开，得第53页/共272页54五、范德蒙行列式 第

18、四节行列式的计算举例 行列式 称为 阶的范德蒙行列式 下面我们来计算此行列式的值 第54页/共272页55第四节行列式的计算举例解此题自下而上，即从第 行开始，后行减去前行的 倍。即得 分别按各列提取公因子，得：第55页/共272页56同理可推得第四节行列式的计算举例其中，符号表示统乘，即各 之间用乘号链接。可以看到：范德蒙行列式为零的充分必要条件为 中至少有 两个相等。第56页/共272页57 【例 1.23】第四节行列式的计算举例计算行列式解第57页/共272页58第四节行列式的计算举例 【例 1.24】求证：证明等式左边各行分别乘 ：（提 因子）（三次列对换）第58页/共272页59综合

19、以上例题，行列式的计算可以按以下步骤来进行：首先尽量寻找行与列的公因子,将其提到行列式外面.如果发现行列第四节行列式的计算举例 然后利用性质总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式,再计 或者利用性质将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0,其式有两行或者两列成比例,则行列式的值为0。算其对角线上的乘积。其余元素均为0,然后再按那行(列)展开,降阶成低阶的行列式。第59页/共272页60第五节克莱姆法则一、用行列式表示二元及三元线性方程组的解 二元线性方程组 用二阶行列式可表示为 ，若 ，可用消元法解得 第60页/共272页61其中：为二元线性方程组中未知数 的系数构成第五节克莱姆法则

20、的行列式；为用常数项代替 中的第一列；为用常数项代替 中的第二列。第61页/共272页62 【例 1.4】解二元线性方程组 第五节克莱姆法则解 可用二阶行列式得 第62页/共272页63第五节克莱姆法则对于三元线性方程组 同样可以由消元法得到;当 时，其中：第63页/共272页64第五节克莱姆法则用三阶行列式表示以上的 ，可以得到：当 时，有 其中：第64页/共272页65 【例 1.5】第五节克莱姆法则解线性方程组 解故 第65页/共272页66 【定理 1.4】（克莱姆法则）第五节克莱姆法则如果 元并非齐次线性方程组（1）的系数行列式 ，则方程组有唯一解，且 其中，是将 中的第 列用常数列

21、替换而成的行列式。二、克莱姆法则 以上用行列式解线性方程组可以推广为n元线性方程组情形。第66页/共272页67 【例 1.25】第五节克莱姆法则解 解线性方程组 故 第67页/共272页68第五节克莱姆法则 线性方程组（1）中等式右端常数均为零时，称为n元齐次线性方程组，也称为n元非齐次线性方程组（1）导出组。即n元齐次线性方程组（2）由克莱姆法则，若系数行列式 ，则n元齐次线性方程组（2）只有零解：要方程组有非零解（即至少有某个 ），必须有 。关于解线性方程组的问题，我们在第三章还要祥细介绍。第68页/共272页69 【例 1.26】第五节克莱姆法则解 由于非齐次线性方程组有非零解，则其系

22、数矩阵的行列式为零，即 设线性方程组 有非零解，求 的值。第69页/共272页70第二章矩阵 矩阵是应用非常广泛的数学工具，也是线性代数的主要研究对象之一。运用矩阵的运算法则，会用伴随矩阵法求逆矩阵，熟练掌握矩阵的初等行变换，以及运用初等行变换法求逆矩阵。通过本章学习，要求掌握矩阵及其各种特殊类型矩阵的定义，熟练第70页/共272页71 第三节 逆矩阵第二章矩阵第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算及其性质 第四节 分块矩阵及其运算 第五节 矩阵的初等变换 第六节 初等方阵主主要要内内容容第71页/共272页72第一节矩阵的概念一、矩阵的定义 矩阵作为一种常用的数学工具，能够简洁地贮存信息，通

23、过矩阵运【例 2.1】算，可以方便地处理信息，下面通过实际例子引入矩阵的概念。某超市公司的第I、II两部门都销售甲、乙、丙三种小包装食品，其某一天的销售量（单位：包）可由下表表示：第72页/共272页73第一节矩阵的概念 如果我们每一天都做这样的统计，就没必要像上表那样繁琐，只要把以上数字按一定的排列次序记成如下数表形式：第73页/共272页74第一节矩阵的概念简洁地表示出来。无论是在数值求解还是理论推导方面，此数表足以清【例 2.2】晰表示这一线性方程组。对于线性方程组 我们可以用下面的数表第74页/共272页75 一般由大写字母A,B,C表示矩阵。由上两例可以看到，在我们生命活动中的许多方

24、面，都可以用数表第一节矩阵的概念 1矩阵定义来表达一些量以及量与量之间的关系。这类数表，我们统称为矩阵。【定义 2.1】由 个数 排成的 行 列的矩形数组 （2.1）称为一个m行n列矩阵，简称mn的矩阵，称为此矩阵的第 行第列的元素 。矩阵（2.1）也可简化为：第75页/共272页76即第一节矩阵的概念【例 2.3】是一个三行四列矩阵，位于矩阵第二行第三列位置的元素是9，而第76页/共272页77第一节矩阵的概念 2矩阵相等 另外，行数或列数不同的矩阵也不是相等的。若 都是 矩阵，且对应位置的元素分别相等，即 ，则称矩阵A与B相等，记为：例如，当且仅当 时，矩阵 又如：第77页/共272页78

25、第一节矩阵的概念 3 阶方阵 当矩阵的行数 与列数 相等，即 时，矩阵 称为阶矩阵或 阶方阵，如矩阵 是一个二阶方阵。阶方阵 与 阶行列式是不能混淆的两个概念，行列式的值是 在一个阶方阵 中，从左上角到右下角的对角线连线，称为主对角线。元素 都在主对角线上，称为主对角线元素。一个数，而矩阵仅是数表。第78页/共272页79第一节矩阵的概念二、几种特殊矩阵的介绍 1.行矩阵和列矩阵 只有一行元素构成的矩阵 称为行矩阵。只有一列元素构成的矩阵 称为列矩阵。2.零矩阵 时，也记为 ，或 。行列数不同的零矩阵是不相等的，如 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 。当零矩阵的行列数是第79页/共272页80

26、第一节矩阵的概念 4上（下）三角阵 如一个方阵的主对角线下（上）方的所有元素均为零，则称该方阵为上（下）三角矩阵。如 ，是上三角阵。而 是下三角阵。第80页/共272页81第一节矩阵的概念 5对角阵、单位矩阵 如一个方阵除主对角线以外的元素均为零，则称这个方阵为对角矩阵。即有时可简单记为：记 为或 ，在不致混淆时，也可简记为 或 ，如：特别地，主对角线元素全为1的 阶对角矩阵，称为 阶单位矩阵，第81页/共272页82第二节矩阵的运算及其性质一、矩阵的线性运算 1矩阵的加法【定义2.2】设 和 都是 的矩阵 则以A与B相对应的元素之和 为元素的 矩阵第82页/共272页83第二节矩阵的运算及其

27、性质称为矩阵 与 的和，记作A+B，或 ，用矩阵形式表示即为 。第83页/共272页84【例2.4】第二节矩阵的运算及其性质设即由 ，对应元素之差构成的矩阵。他们才能进行相加和相减；否则，他们的加法和减法将是无意义的。类似于加法的定义，我们规定矩阵 与 的减法（即差）应注意的是，只有当两个矩阵的行数对应相同、列数对应相同时，则第84页/共272页85【定义2.3】第二节矩阵的运算及其性质数 与矩阵 的数乘记为 ，规定其为：且当 时：称为矩阵 的负矩阵，记为列式的联系将在以后介绍。数乘矩阵与数乘行列式有着本质上的差异，而数乘方阵及与它的行即将矩阵 中的每个元素扩大 倍2矩阵的数乘第85页/共27

28、2页86【例2.5】第二节矩阵的运算及其性质则设 第86页/共272页87第二节矩阵的运算及其性质 3矩阵线性运算的性质 我们不难证明矩阵的加法和数乘满足以下运算规律（设都是 矩阵，为实数）：(1)加法交换律 (2)加法结合律 (3)(4)(5)数乘分配律 (6)数乘交换律 第87页/共272页88【例2.6】第二节矩阵的运算及其性质解设 求第88页/共272页89第二节矩阵的运算及其性质二、矩阵乘法 1定义【定义2.4】设 是一个 行 列矩阵，是一个 行 列的矩阵，即 则由元素构成的 矩阵 称为矩阵 与 的乘积，记作 。第89页/共272页90第二节矩阵的运算及其性质 定义显示，一个 矩阵

29、与一个 矩阵 的乘积 是一个 矩阵，的第 行 列元素 等于 的第 行元素与 的第 列元元素的对应乘积之和。要使乘积 有意义，当且仅当左矩阵（即乘积项中的第一个矩阵）的列数等于右矩阵（即乘积项中的第二个矩阵）的行数才成立。第90页/共272页91【例2.7】第二节矩阵的运算及其性质设 求矩阵乘积的矩阵。由定义：解 因为 是二行二列的矩阵，是二行三列的矩阵，由于左矩阵 的列数等于右矩阵 的列数，故 有意义，且 是一个二行三列（23）第91页/共272页92【例2.8】第二节矩阵的运算及其性质是一阶的矩阵。乘积【例2.9】第92页/共272页93 2线性方程组的矩阵形式 第二节矩阵的运算及其性质 对

30、于包含 个方程 个未知量的线性方程组 其 个方程左端的系数可以构成矩阵 ，称为方程组（2.2）（2.2）的系数矩阵，未知量可构成列矩阵 ，其 个方程右端的常数项可构成列矩阵 ，即第93页/共272页94第二节矩阵的运算及其性质由于于是，线性方程组（2.2）可以用矩阵形式表示为第94页/共272页95 3性质（假设涉及的乘积形式都是有意义的）：第二节矩阵的运算及其性质 (1)乘法的结合律 (3)乘法的分配律 (4)（其中，为 阶单位矩阵，为 阶单位矩阵）(5)(2)数乘的结合律 ,（其中 为常数）第95页/共272页96 4注意：矩阵的乘法与数字之间的乘法有许多不同之处。第二节矩阵的运算及其性质

31、 从例2.10中看到，在矩阵的乘积中，矩阵的位置不能随意交换。【例2.10】设矩阵 求 与 。解第96页/共272页97第二节矩阵的运算及其性质 关于矩阵的乘法，除了要求乘积有意义外，还要注意下列几点：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即一般地：（2）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵，如在例2.10中然而 。因此，命题“若矩阵乘积 ，则 或 ”不真。（3）矩阵乘法不满足消去律，即由 不断推断出 ，即使是在 。如在例2.9中，我们求得了 ，但 却是没有意义的；而例如2.10，显然 。（如果矩阵 与 满足 ，则称 乘 是可交换的。）从而，用一个矩阵去乘另一个矩阵，有左乘和右乘之说。时，这是因为仅由

32、即由 ，不能得出 或 第97页/共272页98第二节矩阵的运算及其性质三、方阵的幂 1定义【定义2.5】设 是 阶方阵，是自然数，个 连乘的积称为方阵 的 次幂，记作 。2性质 根据矩阵乘法性质，我们可以得到方阵的幂满足一下规律：（1）（2）其中 是自然数。但要注意的是，一般说来：（这可由矩阵乘法不满足交换律直接推出。）第98页/共272页99【例2.11】第二节矩阵的运算及其性质设矩阵求：(1);(2);(3);(4)解或（1）（2）（3）（4）第99页/共272页100第二节矩阵的运算及其性质四、矩阵的转置与对称矩阵 1转置矩阵【定义2.6】把 矩阵 的行列元素对换，所得到的 矩阵，称为

33、的转置矩阵，记为 或 。如果设矩阵 则【例2.12】设则第100页/共272页101第二节矩阵的运算及其性质(1)(2)(4)(3)（为常数）可以验证，矩阵的转置运算具有以下性质（假定运算都是有意义的）：与转置行列式不同，矩阵A与转置矩阵 不一定相等。第101页/共272页102【例2.13】第二节矩阵的运算及其性质解法1：所以设 求先求出 ，再转置。第102页/共272页103第二节矩阵的运算及其性质解法2：所以利用性质(4):，先分别求出 与 ，再计算 。因为第103页/共272页104 3.对称矩阵第二节矩阵的运算及其性质都是对称矩阵。【定义2.7】设 是 阶方阵，并且满足 则称 为对称

34、矩阵。从以上定义，可以看到对称矩阵一定是方阵，且即关于主对角线对称元素都对应相等，例如第104页/共272页105第二节矩阵的运算及其性质 由以上定义我们不难证得以下结论：如果 是同阶对称矩阵，是常数，则 也都是对称矩阵；但要注意的是，不一定是对称阵。例如 都是对称矩阵，但 不是对称矩阵。第105页/共272页106第二节矩阵的运算及其性质五、方阵的行列式及伴随矩阵 1方阵的行列式【定义2.8】设 阶方阵 由 构成的行列式 称为方阵A的行列式，记作 。第106页/共272页107第二节矩阵的运算及其性质 应该指出，只有方阵才有行列式。且我们利用行列式的相应性质与 例如，矩阵 的行列式结论可以得

35、出方阵的行列式应满足以下性质：(1)(2)(3)（n为A的阶数）第107页/共272页108 2方阵的伴随矩阵第二节矩阵的运算及其性质【定义2.9】设 是一个 阶方阵，由其行列式 中元素 的代数余 子式 所构成的方阵 称为方阵 的伴随矩阵。第108页/共272页109【例2.14】第二节矩阵的运算及其性质解所以设矩阵 求 的伴随矩阵 。的代数余子式 ；的代数余子式 的代数余子式 ；的代数余子式 第109页/共272页110第二节矩阵的运算及其性质同理 一般地，由第一章第三节的定理1.2和定理1.3，可推得以下定理：容易验证，在例2.14中：而【定理2.1】若 为 阶方阵 的伴随矩阵，则 从定理

36、的结论中可以看到，方阵 与其伴随矩阵 是满足乘法交换 律的。第110页/共272页111 在第二节中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法。那么，是否矩第三节逆矩阵阵也存在“除法”运算呢？我们首先来考察一下数的除法。设 是两个数，且 ，则 ，从而除法问题可转化为求 的倒数 问题。当然倒数应该满足：。另外，对于方阵，都有 因此，从乘法的角度看，阶单位阵 在矩阵中的地位类似于数1的地位。第111页/共272页112矩阵只限于方阵，下面我们给出逆矩阵的确切定义。第三节逆矩阵 要满足：从上面的讨论中，我们对矩阵的“除法”讨论可转化为求 ，当然 由矩阵的乘法规则，满足上式的矩阵 只有方阵，从而本节讨论的第1

37、12页/共272页113一、逆矩阵的定义 第三节逆矩阵【定义2.10】则称方阵 是可逆矩阵，称 是 的逆矩阵，记作 。设 是 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得 矩阵就是它自身。单位矩阵 都是可逆的，且 ，因 ,即单位矩阵的逆 阶零矩阵 是不可逆矩阵，因为对任一个 阶方阵 ，都有 第113页/共272页114二、逆矩阵的存在性 第三节逆矩阵【定理2.2】所以若方阵 可逆，则 。证明由定理2.10，对可逆阵 ，必存在 ，使得：即 从而第114页/共272页115【定理2.3】第三节逆矩阵 证明由定理2.1，而因 ，所以若 ，则方阵 可逆，且 ，其中 是 的伴随矩阵。根据定义2.10，可逆，且 的逆矩

38、阵 。有时我们将 的方阵 ，称为非奇异方阵，称 的方阵 为奇异方阵。定理2.2、定理2.3给出：方阵 可逆的充分必要条件是 的行列式第115页/共272页116所以第三节逆矩阵就举例予以说明。又因为如果 ，试求矩阵 的逆矩阵。定理2.3也确切给出了求可逆方阵 的逆矩阵 的一种方法。下面【例2.15】解因为 ，则 是可逆的。第116页/共272页117又因为代数余子式：【例2.16】第三节逆矩阵 解因为设 问是否可逆？若可逆，试求出其逆矩阵 所以 是可逆的。于是有 所以第117页/共272页118又由例2.16求得：【例2.17】第三节逆矩阵 解所以 因为 ，则 存在。在式 两端同乘 ，得试解矩

39、阵方程 ，其中 第118页/共272页119【例2.18】第三节逆矩阵 解下页继续 利用逆矩阵求下列方程组的解 设所给方程组的系数矩阵为 ，未知量矩阵为 ，常数项矩阵为 ，即于是，线性方程组可以写成矩阵方程：因为所以 存在，在上式 两边同乘 ，得：第119页/共272页120又因为第三节逆矩阵所以则即原方程组的解为：第120页/共272页121与未知量个数相同，即系数矩阵是方阵，且该方阵是可逆时，才能用逆矩阵法去求线性方程组的解。计算逆矩阵相当繁琐，所以在以后的有关章节中，还将介绍其它求逆矩阵的方法。第三节逆矩阵 需要注意的是：另外，在计算过程中，我们看到当矩阵的阶数较高时，用此种方法 因只有

40、方阵才有逆矩阵，所以，只有当一个线性方程组中方程个数第121页/共272页122 证明如果 都是 的逆矩阵，只要证 与 相等即可。1若 可逆，则 的逆矩阵 是唯一的。所以三、逆矩阵性质：第三节逆矩阵 及则 的逆矩阵 是唯一的。由定义可得：第122页/共272页123 性质2、性质3、性质4作为习题请同学们自己验证。第三节逆矩阵 4若 可逆，则 也可逆，且 3若 可逆，为非零常数，则 也可逆，且 2若 可逆，则 也是可逆的，且 。第123页/共272页124第三节逆矩阵因为以下就性质（1）、（4）予以证明。所以 可逆，且 。证明只需证 即可。5若 为同阶可逆方阵，则 也可逆，且 6第124页/共

41、272页125第四节分块矩阵及其运算一、分块矩阵的定义 若矩阵 的阶数比较高，在运算时，我们经常进行矩阵的分块工若干块小矩阵称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵 就称为分块矩阵。作，将大矩阵的运算化成小矩阵的运算。把 用一些横线和纵线分成第125页/共272页126第四节分块矩阵及其运算 若设则该分法的分块矩阵可简记为：例如：对于矩阵 的一种分块形式（I）：即 是以子块 为元素的分块矩阵。第126页/共272页127第四节分块矩阵及其运算或形式（III）等，关键是根据构成矩阵的元素特征以及相应运算的实际需要来分块，同一个矩阵的分块形式可以有多种，例如，上述 也可分成形式（II）：并能简化运算。第

42、127页/共272页128第四节分块矩阵及其运算二、分块矩阵的运算 分块矩阵的运算形式上与普通矩阵的运算类似，但其各种运算对分块法有各自不同的限定。第128页/共272页1291.分块阵的加减法相同，且分块以后，对应位置的子块阶数也分别相同，则 与 相加 如果 ，都是 阶矩阵，并且分块形式相同，即大矩阵的阶数减就是将对应的子块相加减。设第四节分块矩阵及其运算 则第129页/共272页1302.分块矩阵与数的乘法 第四节分块矩阵及其运算 设 为任意实数，为以上的分块矩阵，则第130页/共272页1313.分块矩阵的乘法 第四节分块矩阵及其运算即乘积 均有意义，设 为 矩阵，为 矩阵，即 乘法有意

43、义，且 分别分块成其中，的列数分别等于的 行数，则 其中，子块 第131页/共272页132【例2.19】第四节分块矩阵及其运算 则设 求 解将 分成块 下页继续 第132页/共272页133 其中第四节分块矩阵及其运算 所以第133页/共272页1344.分块矩阵的转置 设第四节分块矩阵及其运算 则第134页/共272页135第四节分块矩阵及其运算三、特殊的分块矩阵 1.分块对角阵的定义 其中 都是方阵，称为分块对角阵或准对角矩阵。形如 的分块矩阵，分块对角阵是一个方阵，且 的分块矩阵中仅在主对角线上有非零子块，这些子块又都是方阵，而其余子块都为零矩阵。第135页/共272页1362.分块对

44、角阵的性质 第四节分块矩阵及其运算 则有 设 是同阶方阵，且分块方式相同，又都是分块对角阵：（1）（2）第136页/共272页137第四节分块矩阵及其运算 即相同结构的分块对角阵的和、积仍是分块对角矩阵。（4）可逆的充要条件为 都可逆，且有 （3）第137页/共272页138【例2.20】第四节分块矩阵及其运算 解下页继续 因为 ，则 都可逆，且将 分成块 设 求第138页/共272页139 所以第四节分块矩阵及其运算第139页/共272页140对于其它特殊的分块矩阵，我们也可以相应得到一些结论：如 第四节分块矩阵及其运算第140页/共272页141第五节矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换的定义

45、【定义2.11】下列三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）互换矩阵某两行的对应元素。以下用 表示矩阵的第 列，用表示其第 行，如互换第 与第 行，则记为 。（2）以非零常数乘 矩阵某一行元素。如第 行的元素乘 ，记为 （3）把矩阵中某一行元素的 倍加到另一行相应元素上去。如把第行的 倍加到第 行上去，记为 。将上列定义中的“行”、“”分别以“列”、“”代之，即为矩阵的初等列变换定义与记号。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。第141页/共272页142第五节矩阵的初等变换 一般来说，一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个不同的矩阵。当矩阵 经过初等变换变成矩阵 时，记作 。有时，为了

46、便于检验运算过程，往往用记号注明所作的变换。例如，将矩阵 的第一行与第三行作交换，有 第142页/共272页143第五节矩阵的初等变换又如表示将三阶单位矩阵的第1列元素的5倍加到第3列相应元素上去。第143页/共272页144第五节矩阵的初等变换二、行阶梯形矩阵的定义 如果在一个矩阵中，任一行的第一个非零元素所在的列中，在该非零元素下方的元素皆为零，则称此矩阵为行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵的特征为：元素全为零的行（如果存在的话）在矩阵的最下方，而各个非零行（即元素不全为零的行）中的第一个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。第144页/共272页145 例如，以下矩阵 第五节矩阵的初等变换都是

47、行阶梯形矩阵，辅助虚线形象地显示了它们各自的阶梯形状。矩阵个非零元素的列标相同。不是行阶梯形矩阵，因为其第二、三行的第一 又矩阵 也不是行阶梯形矩阵。第145页/共272页146 但是，这两个矩阵通过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵，即 第五节矩阵的初等变换 一般地我们有结论；任何一个非零矩阵都可经过有限次的初等行变换化简为行阶梯形矩阵。第146页/共272页147【例2.21】解第五节矩阵的初等变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵。第147页/共272页148第五节矩阵的初等变换三、矩阵的标准形 1 行最简形矩阵：矩阵是行阶梯形的，而且各个非零行的第1个元素都是1，又这个元素所在列的其他元素都是零。【

48、例2.22】分别将下列矩阵化为行最简形矩阵 解（1）（2）（3）（1）第148页/共272页149第五节矩阵的初等变换（2）（3）第149页/共272页150第五节矩阵的初等变换2.矩阵的标准形 上面我们介绍了一个 阶非零矩阵 经过初等行变换，可以化为行阶梯形即行最简形矩阵。事实上，对行最简形矩阵（不妨设其恰有 行非零行），还可以作初等列变换，使之进一步转化为如下 阶最简形式的矩阵 ：第150页/共272页151 我们将这类矩阵 称为矩阵 的标准形。第五节矩阵的初等变换其标准形矩阵是唯一的。任何一个矩阵经过有限次的初等变换都可以化为标准形矩阵 ，且第151页/共272页152【例2.23】求例

49、2.22中矩阵的标准形。第五节矩阵的初等变换 解 所以矩阵 的标准形为以上的（1）（2）即 的行最简形就是 的标准形矩阵 第152页/共272页153第五节矩阵的初等变换（3）即 就是矩阵 的标准形矩阵。需要指出的是，将矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，以及通过初等变换化为其标准形矩阵，是一种极其重要的方法，它的实用性将在下节方阵求逆以及下一章解线性方程组、向量组的秩中得以体现。第153页/共272页154【定义2.12】第五节矩阵的初等变换四、矩阵的等价 （3）传递性:如 与 等价，与 等价，则 与 一定是等价的。（1）反身性:任何矩阵 与自身等价；任何一个 阶矩阵 都与其标准形矩阵 等价

50、。的初等变换得到，则称矩阵 与 是等价的。设 都是 矩阵，如果矩阵 可以由 经过有限次 那么，从上面的讨论中，我们实际上可以得到以下定理：【定理2.4】且由定义2.12，我们立即可以得出矩阵等价的以下三个性质：（2）对称性：如 与 等价，则 与 也是等价的。第154页/共272页155第六节初等方阵一、初等矩阵的定义【定义2.13】由于初等变换有三种，而每种初等变换都有一个与其相应的初等方等方阵。阵，从而以下三类矩阵揭示了初等方阵的所有形式。由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵，称为初 第155页/共272页156到的都是初等矩阵，我们记为 ，即 （1）互换单位矩阵 的第 行与第 行（或第