清华大学结构力学第七章.pptx

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1、1 超静定结构有如下特征：1)从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系。2)若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要补充位移条件。7-1 7-1 超静定结构的组成超静定结构的组成 和超静定次数和超静定次数一、超静定结构的组成 若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答。第1页/共104页2 如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座B的竖向反力可以是任意值。ABEI,l第2页/共104页3二、超静定次数超静定次数 n=结构多余约束数目。为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆除

2、的多余约束数。规则：1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；第3页/共104页43）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束；4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。例：a)n=2原结构n=2第4页/共104页5b)n=2n=2n=2原结构第5页/共104页6c)n=3原结构d)n=2原结构第6页/共104页7e)n=1f)n=3 不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除。原结构原结构第7页/共104页87-2 7-2 力法基本原理力法基本原理 解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件。

3、一、一次超静定结构的力法计算1.力法的基本体系和基本未知量 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。EIFPABl/2l/2第8页/共104页91PEIFP（BV=0）ABl/2l/2原结构FPAB基本体系AB11+FPABAB11）AB(X1基本结构第9页/共104页102.力法方程力法方程为基本体系的位移=原结构的位移原结构B截面竖向位移因为方程可写为第10页/共104页11讨论：1）力法方程是位移方程；2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支

4、座竖向位移；3）系数的物理意义：基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移；基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。第11页/共104页123.力法计算lABl/2图FPABMP图1)求系数及自由项第12页/共104页133)作内力图M图FQ图2)求未知力X1AB第13页/共104页14二、多次超静定结构的力法计算 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图。原结构基本体系ABFPCDBH=0BV=0B=0ABFPCDX1X3X2第14页/共104页15AFPABCD2P1P3PBCD221232X2=1ABCD211131X1=1ABCD231333X3=1第15页/共1

5、04页16力法方程为 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义。主系数：11、22、33恒大于零。副系数：ij(ij)可能大于、等于或小于零。i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。第16页/共104页17 由位移互等定理：ij=ji，即12=21，23=32，31=13。作 图及MP图，求出力法方程的系数和自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求内力：第17页/共104页18三、超静定结构支座移动时的力法计算 超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时

6、力法的解题思路。原结构（受X1及支座转角共同作用）（只有X1作用，支座转角 对杆端A无影响）ABEI lABEI l基本体系IX1B基本体系IIX1AEI l第18页/共104页19（受X1及支座转角共同作用）解：1）选两种基本体系如下图示2）力法基本方程位移条件力法方程（只有X1作用，支座转角 对杆端A无影响）ABEI l基本体系IX1B基本体系IIX1AEI l第19页/共104页203）求系数和自由项4）求未知力X1AB图X1=1AB图X1=11l第20页/共104页215）作内力图 在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示，则力法方程成为：ABX1=1M图FQ图BABA第21页/

7、共104页22小结：1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：为基本体系由X=1产生的支座反力；为基本体系的支座位移。3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。第22页/共104页23例7-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数iC。解:1）取两种基本体系如下图示ACEI lEI lba原结构第23页/共104页24基本体系I基本体系IICABbX1X2AH=-aA=2）建立力法方程讨论方程及系数的物理意义。CABbCH=0CV=

8、0X1X2a第24页/共104页25lBCX1=1l10图基本体系IA3）求自由项本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。lBCX2=1l01图基本体系IlAl第25页/共104页26ABCX2=1基本体系II图11ABC1X1=1图基本体系IIl第26页/共104页277-3 7-3 力法举例力法举例一、连续梁 用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间支座处变为铰，如下图所示。原结构 B=0 C=0ABCDlllEIEIEIABCD基本体系X1X2第27页/共104页28B=0 B左右截面相对转角等于零。C=0 C左右截面相对转角等于零。位移方程ABCD1PABCDX1=11121ABCDX

9、2=11222第28页/共104页291.力法方程 方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的物理意义。2.方程求解 图、图及MP图见下页图示。上述弯矩图的一个特征是：弯矩图局部化。第29页/共104页30ABCDMP图ABCDX1=11图ABCDX2=11图第30页/共104页31将系数代入力法方程就得到：解方程得：3.作内力图1)根据下式求各截面M值，然后画M图。第31页/共104页322)根据M图求各杆剪力并画FQ图。ABFQABFQBAlABCDM图第32页/共104页33BCFQBCFQCBl很容易求得CD杆剪力为:ABCDFQ图第33页/共104页34二、超静定刚架二、超静定刚架例7

10、-3-1 求图示刚架M图。1.力法方程ABCE1I1 lE2I2 l原结构ABCX2基本体系X1A=0B=0第34页/共104页352.方程求解ABCX1=111图E1I1 lE2I2 lABCMP图ABCX2=11E1I1 lE2I2 l图第35页/共104页36ABCX1=111图E1I1 lE2I2 lABCX2=11E1I1 lE2I2 l图第36页/共104页37将求得的系数代入力法方程就得到：解方程得：第37页/共104页383.讨论1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则刚架弯矩图为：可见，柱AB相当于在横梁BC的B端提供了固定约束。M图ABCBC第38页/共104页392

11、）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。3）当k=，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当于简支梁，M图见图b)。ABCa)M图ABCb)M图第39页/共104页40结论：在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k 相关，而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关。若荷载不变，只要k 不变，结构内力也不变。第40页/共104页41三三 、超静定桁架、超静定桁架 以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。E1A1原结构FPaa第41页/共104页42基本体系I：力法方程：力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共

12、同作用下，杆AB切口左右截面相对于水平位移等于零。基本结构中包括AB杆。基本体系IFPABX1aaX1X1第42页/共104页43基本体系II：力法方程：力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸长，但符号相反。基本结构中不包括AB杆。AB基本体系IIX1FPaaX1X1第43页/共104页44例7-3-2 求上图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。根据上述基本体系I求得各杆FNP及 标于图中。ABFPaaFPFP000FNP图ABaa1111X1=1图解:第44页/共104页45第45页/共104页46求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：FN图第4

13、6页/共104页47四四 、排架、排架E1I1E2I2E1I1E2I2EA 第47页/共104页48例7-3-3 求图示排架M图。EIEI原结构5kN/mEA EIEA 6m2m 排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。这样，MP图和 图局部化，求解力法方程系数比较简单。第48页/共104页49解：1）基本体系和力法方程基本体系5kN/mX2X1MP图90kN.m2）求系数和自由项 方程物理意义：横梁切口左右截面相对水平位移等于零。第49页/共104页50X1=16X2=1286图图28第50页/共104页514）作M图M图(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.67

14、5.443）求多余未知力第51页/共104页52五、单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图五、单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图 杆件抗弯刚度EI与杆长l的比值称为线刚度，用符号i表示。1)ABi lAAB图X1=11i lABMAB=3iAM图FQ图AB第52页/共104页532)ABi lAB图X1=1lABM图FQ图AB第53页/共104页543)ABMBA=2iAM图FQ图ABMAB=4iAABi lAABX1i lX2ABX1=11图AB1X2=1图第54页/共104页554)ABi lABX2=1lABX1X2i l图ABX1=11图第55页/共104页56ABM图FQ图AB依据3)，很容

15、易得到右图示内力图。ABMBA=4iBM图FQ图ABMAB=2iB5)ABi lB第56页/共104页576)ABM图图ABi lX1=1ABi lA第57页/共104页587-4 7-4 力法简化计算力法简化计算一、力法简化计算的思路 若一个结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法方程为：第58页/共104页59 在上列方程中，主系数ii恒大于零，副系数 ij（ij）则可能大于零、等于零或小于零。若能使全部副系数ij等于零，则方程组解耦，力法方程变为：即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。所以，力法简化计算的目的：使尽可能多的副系数等于零。第59页/

16、共104页60二、非对称结构的简化计二、非对称结构的简化计算算 对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 图及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本结构时应考虑这一因素。ABCD连续梁基本体系X2X3X1第60页/共104页61排架结构基本体系X2X1EA EA 多跨刚架基本体系第61页/共104页62三三 、对称结构的简化计算、对称结构的简化计算 对称结构：结构的几何形状、支承条件、杆件的材料性质及杆件的刚度均关于某轴对称就称为对称结构。用力法解对称结构，应取对称的基本结构，只有这样才能简化计算。1.对称结构在对称荷载作用下的简化计算FPaal/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原

17、结构FPFP基本体系FPFP对称FPaMP图EI2第62页/共104页63l/2X1，X2对称未知力X3反对称未知力根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：对称11图对称hh图反对称l/2图第63页/共104页64结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称未知力为零，只有对称未知力。2.对称结构在反对称荷载作用下的简化计算al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原结构FPFP基本体系FPFP反对称FPaFPaMP图EI2第64页/共104页65根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：对称11图对称图反对称l/2l/2hh第65页/共104页66 对于前

18、两个方程组成的方程组，因其右端项为零，且系数行列式的值通常不等于零，即结论：对称结构在反对称荷载作用下，其对称未知力为零，只有反对称未知力。于是，方程组只有零解：X1=0，X2=0。第66页/共104页673.奇数跨或偶数跨对称结构的处理 若对称结构是奇数跨，则有与对称轴相交之截面。切开该截面，则该截面的未知力分为两组：对称未知力和反对称未知力。若荷载对称或反对称，则按前述方法处理。X1,X2为对称未知力;X3为反对称未知力。第67页/共104页68 若对称结构是偶数跨，则不存在与对称轴相交之截面，此时应根据荷载情况分别处理：1）对称荷载。对称结构在该对称荷载作用下，其内力和位移均对称。FPF

19、PFP原结构FP基本体系第68页/共104页69 2）反对称荷载。对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移均反对称。FPFP原结构FP基本体系FP第69页/共104页704.非对称荷载的处理对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法为：1）非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载分别计算，然后叠加两种情况的结果。aaEI1EI1对称荷载aaFP/2FP/2EI1EI1反对称荷载EI2al/2FPl/2EI1EI1原结构FP/2FP/2=+EI2EI2第70页/共104页712）荷载不分解，只取对称基本体系。al/2FPl/2EI1EI1原结构FP基本体系FPFpaMP图EI2对称第71页/共104页7

20、2根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：l/2对称11图对称图反对称l/2图第72页/共104页735.组合未知力（广义未知力）结合下图示刚架进行说明。EI1原结构EI2EI1hl/2l/2EI1基本体系EI2EI1X1X2X1X2第73页/共104页74力法方程为：X1=1lMP图X1=1对称图X2=12lX2=1ll图反对称第74页/共104页75 在上题中，X1实质上是对称结构在对称荷载作用下产生的未知力，而X2则是反对称荷载产生的未知力。EI1对称荷载EI2EI1l/2l/2X1X1q/2EI1反对称荷载EI2EI1l/2l/2X2X2q/2q/2第75页/共10

21、4页76四四 、举例、举例例7-4-1 右图示结构，讨论用力法简化计算。将荷载分解为对称荷载和反对称荷载。在对称结点荷载作用下，由于不考虑杆件的轴向变形，其M等于零。在反对称结点荷载作用下，只有一个未知量X1。FPEIEI原结构EIEI2EI2EI第76页/共104页77FP/2EIEI对称荷载EIEI2EI2EIEIEI反对称荷载EIEI2EI2EIFP/2ABFN=-FP/2FP/2FP/2X2=0X1=0X40X3=0FP/2FP/2第77页/共104页78图示对称结构，各杆EI相同，讨论力法的简化计算。解：将荷载分为两组：第一组荷载关于x和y 轴都对称，见图b)。第二组荷载关于y 轴对

22、称，关于x 轴反对称，见下页图c)。yaaaAB04FP2FP2FPa）2FPFPFPb）2FPFPFPxFN=-FPFN=-2FPFN=-FPM=0例7-4-2第78页/共104页79由于不考虑杆件的轴向变形，图 b)荷载作用下各杆弯矩等于零。图c)荷载关于x轴反对称，切开与x轴相交的截面，未知力分为两组：对称未知力X1，X2以及反对称未知力X3。所以对称未知力X1，X2等于零，只有反对称未知力X3，如图d)所示。yX1=0X1=02FPFPFPc）2FPFPFPx2FPFPFPd）2FPFPFPyxX30X2=0X30X2=0第79页/共104页807-5 7-5 温度变化及有弹簧支座结构

23、温度变化及有弹簧支座结构的计算的计算一、温度变化时的计算下面通过例题进行说明。例7-5-1 图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。，到冬季时室外温度为-35。，室内保持不变，求M图。各杆EI相同，线膨胀系数为。原结构8m6m0.6m0.4m第80页/共104页81X1=11)温度改变值：所以2)力法方程基本体系X166图解：3)求未知力第81页/共104页824)作弯矩图超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI成正比。94.4EI94.4EIM图第82页/共104页83二二 、具有弹簧支座结构的力法求、具有弹簧支座结构的力法求解解 弹簧支座分为拉压弹簧支座和转动弹簧支座两类

24、，如下图示。FP拉压弹簧支座M转动弹簧支座第83页/共104页84解：1)将拉压弹簧与杆端C分开，取基本体系如图示。2)力法方程3)求系数和自由项例7-5-2 求下图示刚架M图。ABCEI lEI l原结构EI lABCEI l基本体系X1第84页/共104页85ABCMP图ABCX1=1图ll第85页/共104页864)求未知量并作弯矩图 若基本体系保留有弹簧支座，则求方程的系数比较繁琐，应尽量避免。详见下面的例。ABC0.1590.0455(ql2)M图第86页/共104页87例7-5-3 求下图示具有弹簧支座梁的M图。解：1)基本体系见图 b)。2)力法方程：3)求系数和自由项：ABEI

25、 la)原结构ABEI lb)基本体系X1第87页/共104页88ABX1=1产生的变形图X1=1AB荷载产生的变形图ABX1=11图第88页/共104页894）求未知力并作M图ABMp图ABM图ABX1=11图第89页/共104页907-6 7-6 超静定结构的位移计算及力法计算校核超静定结构的位移计算及力法计算校核一、超静定结构的位移计算 用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全

26、相同。所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。第90页/共104页91例7-6-1 求梁中点竖向位移CV，EI为常数。解：1)单位荷载加在原结构上原结构ABl/2l/2Cl/8CABCAB1l/8l/8图M图12y1y2第91页/共104页92基本体系I2)单位荷载加在基本体系I上ABCCABCAB1l/4图M图12y1y2第92页/共104页93基本体系II3）单位荷载加在基本体系II上ABCCABCAB1l/2图M图21y2y1第93页/共104页94例7-6-2 求图示刚架结点水平位移DH，各杆EI如图示。解：单位荷载分别加在四种基本体系上，显然基本体系1的计算最简单（见下页图）。2

27、EI2EI7kN/m3EI6m6mACDBACDB14.431.557.630.623.4M图(kN.m)第94页/共104页95X167kN/mACDB基本体系1ACDB1图67kN/mCDB基本体系2X1X2X3X2X3CDBAA1图第95页/共104页96图图37kN/mCDB基本体系3X3X2X1CDBAA13367kN/mCDB基本体系4X3X1X2CDBAA16第96页/共104页97二、二、超静定结构内超静定结构内力图的校力图的校核核 超静定结构内力图的校核，除了校核求得的M、FQ、FN是否满足平衡条件外，最主要的是变形条件的校核。只有既满足平衡条件又满足变形协调条件的解答才是超

28、静定结构正确的解答。在进行变形条件的校核时，通常选择原结构位移等于零的截面进行校核，也就是进行超静定结构的位移计算。如下图连续梁，可以校核BV、CV、DV是否等于零，也可以校核A、B、C是否等于零。第97页/共104页98图校核校核A图校核DVABCD1ABCD1图校核 BABCD1M图ABCD第98页/共104页99 对于如下图示封闭型刚架，可以得到位移校核的简单公式。梁、柱长均为6m。图 上图封闭刚架已求得弯矩图，为验算E左右截面相对转角E是否等于零，切开E截面，加上一对单位集中力偶，得到 图，则ACDB14.431.557.630.623.4M图(kN.m)ACDB1111E2EI2EI

29、3EI第99页/共104页100 由上式得出结论，当结构只受荷载作用时，沿封闭刚架M/EI图形的面积之和等于零。在计算M/EI的面积之和时，规定刚架外侧的面积为正，刚架内侧的面积为负，或者相反。第100页/共104页101M图(kN.m)ACDB14.431.557.630.623.42EI2EI3EI第101页/共104页102例7-6-3 判断如下图a)所示弯矩图是否正确。显然，可知M图有错误。ABCDM图a)ABCD图b)1第102页/共104页103例7-6-4 判断如下图a)所示结构结点D水平位移的方向。解：取图b)所示基本体系，在结点D加单位水平荷载，作 图。可见，结点D水平位移方向向右。ACDB14.431.557.630.623.4a)M图(kN.m)2EI2EI3EIACDB16b)图y第103页/共104页104感谢您的观看！第104页/共104页