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1、第七章 静定结构的位移计算Displacement of Statically Determinate Structures7.1 概述概述 一、结构的位移一、结构的位移(Displacement of Structures)A位移位移转角位移转角位移线位移线位移A A点线位移点线位移点线位移点线位移A A点水平位移点水平位移点水平位移点水平位移A A点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移A A截面转角截面转角截面转角截面转角P7.1 概述概述 一、结构的位移一、结构的位移(Displacement of Structures)AP引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷
2、载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?为什么要计算为什么要计算位移位移?铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:二、二、计算位移的目的计算位移的目的(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2)超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施
3、工要求）施工要求（3）理想联结）理想联结(Ideal Constraint)。三、三、本章位移计算的假定本章位移计算的假定叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition)(1)线弹性线弹性(Linear Elastic),(2)小变形小变形(Small Deformation),四、四、计算方法计算方法单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)7.2 虚功原理和位移计算的一般公式虚功原理和位移计算的一般公式 一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)功：力对物体作用的累计效果的度量
4、功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移实功：实功：实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功：虚功：虚功：虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)力状态力状态位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：注意：注意：注意：（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满
5、足变形协调条件变形协调条件；力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；7.2 虚功原理和位移计算的一般公式虚功原理和位移计算的一般公式 二、广义力二、广义力(Generalized force)、广义位移、广义位移(Generalized displacement)一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 W=PW=P P-P-广义力广义力广义力广义力;-广义位移广义位移广义位移广义位移例例例例:1)1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2
6、)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力反向的集中力反向的集中力7.2 虚功原理和位移计算的一般公式虚功原理和位移计算的一般公式（1）质点系的虚位移原理）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和某一位置处于平
7、衡的必要和充分条件是：充分条件是：三、变形体的虚功原理三、变形体的虚功原理(Principle of Virtual Work)fi ri=0.对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于质点系的主动力所作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚位移原理）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是：对于任何对于任何可能可能的的虚位移，作用于刚虚位移，作用于刚体系的所有外力所体系的所有外力所做虚功之和为零。做
8、虚功之和为零。P23/2原理的表述：原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立We=Wi（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外
9、力在虚位移上所作的总虚功We,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW=d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWe+d dWn=d dWe=We2.
10、2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW=d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWi=Wi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有We=Wi成立。成立。任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上
11、所作的总虚功We,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW=d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWe+d dWn=d dWe=We2.2.利用平衡
12、条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW=d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWi=Wi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有We=Wi成立。成立。几个问题几个问题:1.虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是条件
13、。因此原理仅是必要性命题必要性命题。2.原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何(线性和非线性线性和非线性)的的变形体变形体，适用于，适用于任何结构任何结构。3.原理可有两种应用：原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。Wi 的计算的计算:Wi=N+Q+Mds微段外力微段外力:微段变形可看成由如下几部分组成微段
14、变形可看成由如下几部分组成:（4）变形体虚功方程的展开式）变形体虚功方程的展开式微段剪切微段剪切微段拉伸微段拉伸微段弯曲微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:We=N+Q+Mds四、虚功原理的两种应用四、虚功原理的两种应用 1）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例.求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)P(c)直线
15、直线待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：将将代入得代入得:通常取通常取单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题例例.求求 A
16、端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 .2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实际的实际的协协调位移状态调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。ABaCbc1ABC由由 求得：求得：解得：解得：这是这是单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell,1864和和Mohr,1874提出，故也称为提出，故也称为Maxw
17、ell-Mohr Method(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。(2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实际位移状态无关，故际位移状态无关，故可设单位广义力可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是求解时关键一步是找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力平衡关系。平衡关系。(4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来解几何问题。解几何问题。虚功方程为：虚功方程为：单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二种应用称为
18、而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。更确切的。更确切的说法为，说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要两种应用的依据是上述两原理的必要性命题性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的它们和虚功原理是有区别的。虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立.虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。7.3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算一一.
19、单位荷载法单位荷载法求求k点竖向位移点竖向位移.由变形体虚功方程由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)We=Wi We=P iPWi=NiP+QiP+MiP ds iP=NiP+QiP+MiP ds 适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性).7.3 荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算一一.单位荷载法单位荷载法求求k点竖向位移点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)iP=NiP+QiP+MiP ds-适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性).对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：适
20、用于线弹性适用于线弹性直杆体系直杆体系,例例 1：已知图示粱的：已知图示粱的E、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.l 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计形相比可略去不计.位移方向是如位移方向是如位移方向是如位移方向是如何确定的何确定的何确定的何确定的?例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移(EI、EA、GA已知已知)ROBAP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示P=1RPR 小曲率杆可利用直杆公式近小曲率杆可利用直杆公式近似计算似计算;轴向变形轴向变形,剪切
21、变形对位剪切变形对位移的影响可略去不计移的影响可略去不计 7.3 荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算一一.单位荷载法单位荷载法1.梁与刚架梁与刚架二二.位移计算公式位移计算公式2.桁架桁架3.组合结构组合结构4.拱拱这些公式的适这些公式的适用条件是什么用条件是什么?解：解：例例:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点水平位移点水平位移.NPNi练习练习:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点竖向位移点竖向位移.NPNi例例:1)求求A点水平位移点水平位移 7.3 荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算一一.单位荷载法单位荷载法二二.位移计算公式位移计算公式
22、所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位该单位广义力在所求广义位移上做功广义力在所求广义位移上做功.三三.单位力状态的确定单位力状态的确定2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的
23、单位广义力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便.下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.7.4 图乘法图乘法(Graphic Multiplication Method and its Applications)刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：一、图乘法(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的
24、，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。例例.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:MPMi为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?例例.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:MPMi二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法Ch二次抛物线二次抛物线图图（）图图BAq例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:三、图形分解三、图形分解求求MPMi三、图形分解三、图形分解求求MPMi 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时
25、,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.MP三、图形分解三、图形分解求求Mi 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.能用能用 Mi图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?三、图形分解三、图形分解求求MPMi三、图形分解三、图形分解求求MPMi三、图形分解三、图形分解求求C截面竖向位移截面竖向位移MPMi三、图乘法小结三、图乘法小结1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。2.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的
26、同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.例例 1.已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。三、应用举例三、应用举例lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例例 2.已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。三、应用举例三、应用举例解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP 例例 3.已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。三、应用举例三、应用举例解：作
27、荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP 例例 4.图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。三、应用举例三、应用举例l/2ql/2MP 例例 4.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。三、应用举例三、应用举例l/2ql/2MP 例例 4.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。l/2ql/2MPlPlPl 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角。MP 练习练习1111对称弯矩图对称弯矩图
28、反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.11 作变形草图作变形草图PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利用。如：求求B点水平位移。点水平位移。练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷
29、载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点水平位移点水平位移,EI=常数。常数。lPllMP1MP练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lllMP 已知：已知：E、I、A为常数，求为常数，求 。ABCPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCPaDABC1aD若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成
30、弹簧,该如何计算该如何计算?B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ABCk=1PABCk有弹簧支座的结构位移计算公式为有弹簧支座的结构位移计算公式为:练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数。MPlllAkk7.5 温度变化和支座移动引起的位移计算温度变化和支座移动引起的位移计算(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
31、一、一、温度变化引起的位移计算温度变化引起的位移计算 变形体虚功方程为变形体虚功方程为:We=Wi We=1kPWi=MikPds kP=MikPds 其中其中:荷载作用荷载作用求求K点竖向位移点竖向位移.We=1kP温度作用温度作用求求K点竖向位移点竖向位移.Wi=Nit+Qit+Mikt ds 关键是计算微关键是计算微段的温度变形段的温度变形设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘的温差，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数为线膨胀系数为 .微段的温度变形分析微段的温度变形分析无剪应变无剪应变若若温度引起的位移计算公式温度引起的位移计算公式:对等
32、对等 截截 面面 直直 杆杆:上式中的正、负号：上式中的正、负号：若若 和和 使杆件的同一边使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。产生拉伸变形，其乘积为正。例：例：刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为，试求冬季外侧温度为-10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态MiNi例：例：求图示桁架温度改变引起的求图示桁架温度改变引起的AB杆转角杆转角.解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态Ni二二.静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座
33、移动时的位移计算 K1K变形体虚功方程为变形体虚功方程为:We=Wi We=1kC+R1 C1+R2 C2+R3 C3Wi=0 其中其中:计算公式为计算公式为:例例1：求：求CBAP=1解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态CBAll解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态()例例 2：已知：已知 l=12 m,h=8 m,求求制造误差引起的位移计算制造误差引起的位移计算每个上弦杆加长每个上弦杆加长8mm,求求由此引起的由此引起的A点竖向位移点竖向位移.7.6 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理（Reciprocal Theory in Linear Structures)1.功的互等定理功的
34、互等定理:方法一方法一第第 I 状态状态2第第 状态状态由由W1=W 2先加广义力先加广义力P1后再加广义力后再加广义力P2先加广义力先加广义力P2后再加广义力后再加广义力P11.功的互等定理功的互等定理:方法一方法一先加广义力先加广义力P1,后加广义力后加广义力P2。第第 I 状态状态先加广义力先加广义力P2,后加广义力后加广义力P1。由由W1=W 2在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，I I I I 状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在 II II II II 状态位移上状态位移上状态位移上状态位移上所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，
35、恒等于所做虚功，恒等于 II II II II 状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 I I I I 状态位移上所状态位移上所状态位移上所状态位移上所做虚功。做虚功。做虚功。做虚功。功的互等定理功的互等定理2第第 状态状态方法二方法二由虚功原理由虚功原理2第第 II 状态状态第第 I 状态状态2.位移互等定理位移互等定理:2第第 II 状态状态第第 I 状态状态2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力单位广义力单位广义力单位广义力1 1引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力2 2作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力2 2方方方方向的位
36、移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力2 2引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力1 1作作作作用处沿广义力用处沿广义力用处沿广义力用处沿广义力1 1方向的位移方向的位移方向的位移方向的位移。-位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力是量纲为一的量单位广义力是量纲为一的量；互等不仅是指互等不仅是指数值相等数值相等，且，且量纲也相同量纲也相同。如图示长如图示长 l，EI 为常数的简支梁为常数的简支梁第第 II 状态状态ACB第第 I 状态状态ACB跨中跨
37、中数值、量纲都相等数值、量纲都相等3.反力互等定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：支座支座支座支座 1 1 1 1 发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座2 2 2 2中的反中的反中的反中的反力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座 2 2 2 2 发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支座座座座1 1 1 1中的反力。中的反力。中的反力。中的反力。-反力互等定理反力互等定理4.反力位移互等定理反力位移互等定理:单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。-反力位移互等定理反力位移互等定理