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1、一、内容小结 1.1.随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义分布函数 密度函数 数学期望 描述了随机变量的概率取值中心均值详细地描述了随机变量的概率分布情况相关系数 描述了X与Y的线性相关程度方 差 描述了随机变量的取值与期望的偏离程度第1页/共16页 方差 D(X)协方差 Cov(X,Y)Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X)=EX-E(X)2 D(X)=E(X2)-E2(X)相关系数 XY 数学期望 E(X)函数Y=H(X)连续型离散型在定义式中用H(x)代替x 2.2.常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义
2、式与计算式 E(X2)=D(X)+E2(X)第2页/共16页计算期望的六个公式：计算期望的六个公式：第3页/共16页 3.3.常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质数学期望 E(aX+b)=aE(X)+b E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)X,Y相互独立方差 D(aX+c)=a2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)X,Y相互独立相关系数 第4页/共16页X与Y相互独立？Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)有特殊情况独立性与数字特征关系图第5页/共16页 4.4.几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征分布(0-1)分布二项分布泊松分布指数分布均
3、匀分布正态分布分布律或概率密度函数期望方差ppq npnpq第6页/共16页5.5.其它其它 契比雪夫不等式设Xn为相互独立的随机变量序列，E(Xi)存在,D(Xi)M，(i=1，2，则对 0，有契比雪夫(大数定律)定理独立同分布中心极限定理设X1,X2,Xn,独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）=20，则第7页/共16页例1 将3只球随机地逐个放入4只编号为1,2,3,4的盒子中,以X表 示至少有一只球的盒子的最小号码,试求E(X)。xk=1,2,3,4,关键是求pk，样本点的总个数为43=64用对立事件计算:k=4时,p4=1/64 分析:离散型,用公式直接计算1 2 3 41 2 3 4
4、k=1时,p1=(43-33)/64=37/64k=3时,p3=(23-1)/64=7/64k=2时,p2=(33-23)/64=19/641 2 3 41 2 3 41 2 3 4二、例题分析第8页/共16页例2 将n只球(1n)随机地放进n只盒子中去,一只盒子只能装一 只球。若一只球装入与球同号的盒子中去,则称为一个配对.记X为总的配对数,求E(X).则有利用性质E(X+Y)=E(X)+E(Y),关键是把X写成某些随机变量的和的形式，若记 分析:1 2 3 4 5 n-2 nX的取值为:0,1,2,，n。用求分布律的方法十分困难Xi 0 1E(Xi)=1(1/n)=1/n所以 E(X)=n
5、 E(Xi)=1 这是一个典型的离散型的分布求数学期望的问题。第9页/共16页例3 设随机变量X的概率密度为求Y=1/X2的数学期望和方差。解:这样,Y的数学期望存在但方差不存在发散第10页/共16页例4设二维随机变量（X,Y)具有概率密度（2）求 Cov(X,Y)解解：（1 1）先求fX(x),fY(y)求（1）X与Y是否相互独立。X与Y不相互独立。第11页/共16页没有必要计算 Cov(XY)=0第12页/共16页例5 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布,并且X和Y分别服从正态分布 N(1,32)和N(0,42),X与Y的相关系数为-1/2,设Z=X/3+Y/2 (1)求Z的数学期望E
6、(Z)和方差D(Z)(2)求X与Z的相关系数 解:(1)E(Z)=E(X)/3+E(Y)/2=1/3.注意到 D(X)=9,D(Y)=16,而 本题难点在于熟练掌握计算性质.第13页/共16页1、设随机变量X与Y独立,且X服从数学期望为1,标准差(均方差)为 的正态分布而Y服从标准正态分布,试求随机 变量 Z=2X-Y+3的概率密度函数解:由于Z为独立正态随机变量X与Y的线性组合,Z仍然服从 正态分布,故只需确定Z的数学期望E(Z)和方差D(Z).由期望和方差的性质:所以Z服从正态分布N(5,9),从而得Z的概率密度函数为:三、补充练习第14页/共16页2、某个单位设置一个电话总机，共有200个分机。设每个分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线通话时可供使用。查表得分析分析：设X 表示同时要求使用外线的分机数，由隶莫佛拉普拉斯定理:E(X)=np=10,D(X)=np(1-p)=9.5 m 为总机需配备外线条数，而 XB(200,0.05)则要求使 PX m 0.9成立的最小m故总机需配备14条外线第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页