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1、（14）设随机变量 A 独立同分布，且其方差为 令，则 (B)(C).(D)(A)Cov(2004年数学一试题 第1页/共30页 (22)（本题满分9分）设A,B为随机事件，且，令 求:（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X和Y的相关系数2004年数学一试题 第2页/共30页习 题 课参 数 估 计假假 设设 检检 验验第3页/共30页 一.基本概念总体X，简单随机样本(X1,X2,Xn)样本值(x1,x2,xn)，统计量。无偏估计；上分位点，双侧分位点；样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩。置信水平，置信区间；检验水平，检验统计量，接受域，拒绝域。二.主要估计方法 1、
2、矩估计：将要估计的总体参数表示成总体X的矩的函数，然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。方法步骤:1）建立待估参数 与总体的矩之间的关系式；2）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到的估计量。3）代入样本值得到的估计值。共有m个待估参数时，需要建立m个这样的关系式！第4页/共30页3、区间估计：2、极大似然估计：当我们用样本值估计总体的参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本值出现的概率为最大。方法步骤 从已知条件出发，寻求一个含有（而不含有其它 未知参数）的样本函数Z=Z(X1,X2,Xn,),使得随机变量Z的分布为已知的（最好是常用的）分布；根据Z的分布的分位点，解
3、出的置信区间。方法步骤(4)在最大值点的表达式中,用样本代入就得参数的极大似然 估计量.(2)由总体分布导出似然函数L();似然函数为分布律(或概率密度)乘积;(3)求似然函数L()的最大值点 (常转化为求ln L()的最大值点);(1)设（x1,x2,，xn)为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值；第5页/共30页统计三大分布记为分布 设 相互独立,且都服从正态分布N(0,1),则,r.v 服从自由度为 n 的 分布.服从自由度为n的t分布,记为Tt(n).又称Student分布.t 分布设U 2(n1),V2(n2),且U与V相互独立,则称 r.v服从自由度为(n1,n2)的F分布.F分布
4、第6页/共30页 6 设 和S2是来自正态总体N(0,2)的样本的样本均值和样本方差,样本容量为n,则统计量 服从 分布。分析：C （6）设随机变量，则 (B)(C)(D)(A)第7页/共30页（1)样本均值的分布 设XN(,2),(X1,X2Xn)是它的一个样本常用统计量的分布常用统计量的分布（一）单个正态总体（2）样本方差的分布 与与S S2 2相互独立。相互独立。（二）两个正态总体（4）（3）第8页/共30页十二、（本题满分8分）设总体X的概率密度为 其中是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本，记(1)求总体X的分布函数F(x);(2)求统计量的分布函数(3)如果用作为的估计量，讨论它是
5、否具有无偏性.第9页/共30页X t(n)T(n)分位点：设01,对随机变量X，称满足的点 为X的概率分布的上 分位点.第10页/共30页双侧分位点第11页/共30页（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的 C 数满足，若，则等于.(B).(C).(D)(A)2004年数学一试题 第12页/共30页注意：1、双边检验的拒绝域取在两侧;单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不等式的取向完全一致。2、单边检验中的等号总是在原假设中。三.假设检验依据小概率原理基本步骤:（2）根据假设确定检验统计量。（3）按，求出拒绝域。（4）根据样本值作出拒绝还是接受H0的判断。（1）根据实际
6、问题的要求，提出原假设H0及备择假设H1；通常只控制犯第一类（弃真）错误的概率,即只控制使适量地小,而不考虑第二类（纳伪）错误的概率.原则:理论依据：第13页/共30页四四.正态总体的区间估计及假设检验正态总体的区间估计及假设检验 总体方差2已知时，用 总体方差2未知时，用 对于单一正态总体参数的检验，估计或检验 均值 无论总体均值怎样，用估计或检验 方差2方差 已知时，用方差未知，但相等时，用 对于双正态总体参数的检验，估计或检验 均值差估计或检验方差比用:第14页/共30页五、区间估计与假设检验的关系以 2未知，关于的区间估计与假设检验为例说明.设置信度为1,即检验水平为 ,则对,查t分布
7、表使得 的置信区间为选用统计量共同点：区间估计假设检验假设 H0:=0，H1:0H0的拒绝域为:求得统计量的观测值区间估计与假设检验的统计处理是相通的.但区间估计是估计未知参数所在的区间；假设检验是给了有关未知参数的假设,去判定假设的对错。结论：区别：第15页/共30页（1）（本题满分9分）设总体X的分布函数为 其中未知参数为来自总体X的简单随机样本，求：的矩估计量；的极大似然估计量.（I）（II）2004年数学一试题 六、应用举例第16页/共30页2003年考研数学（一）（2）已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度
8、为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值第17页/共30页6.设有两个工厂独立地生产同种零件,其质量指标均服从正 态分布.分别从它们某天的产品中抽25件和15件,求得样本方差分别为6.38和5.15,求两正态总体方差比 置信度为0.90的置信区间.解：统计量对给定的 ,查表可得 与 使由此可得 的 置信区间为大作业第18页/共30页查表得注：第19页/共30页课后8.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干样品测量零件尺寸，测得数据如下：机器甲：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0机器乙：5.6 5.9 5.6 5.7 5.
9、8 6.0 5.5 5.7 5.5问两台机器的加工精度是否有显著差异（）？解：在检验水平下，检验假设 因为均未知，且不知(1)故先检验假设是否相等，当假设为真时，取检验统计量 由 查表得：故拒绝域为第20页/共30页代入样本值得T值为所以接受，故可以认为(2)再检验假设 当假设为真时，取检验统计量 由 查表得：，故接受域为代入样本值所以拒绝,故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。第21页/共30页一、是非题 参 数 估 计 大 作 业1.从50只灯泡中任意抽取5只做破坏性试验,测得寿命分别是 ,则 不是一个简单随机样本.()2.样本的函数一定是统计量.()由样本构成（不含有其他未知参数）的函
10、数统称为统计量。什么是统计量？分析：4.设总体N(,2)，未知，则的无偏估计量不是唯一的。第22页/共30页2.设 是总体 的未知参数 的极大似然估计,则 的极大似然估计是.性质：若 是参数 的极大似然估计量，而函数 具有单值反函数，则 是 的极大似然估计量。二、填空题 3 X1,X2,X3,X4,X5是来自正态总体N(0,1)的一个简单随机样本,则第23页/共30页2、设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布 N(20,3)，分 别取容量为10和15的样本，求两样本均值差的绝对值大于 0.3 的概率。分析：三、解答题第24页/共30页三、解答题 4、设总体 ，未知，为总体 的 样本，求 的极大
11、似然估计量。的极大似然估计量为（课本P114例3）分析：第25页/共30页假 设 检 验 大 作 业一、是非题 2、检验水平 恰好是犯“弃真”错误的概率；实际应用中，取得越小越好。（）三、选择题1、假设检验中，显著性水平 表示 （）第26页/共30页3、各在十块相同条件的土地上试种甲、乙两个品种的农作物，其产量都服从正态分布，且方差相同；计算知样本均值各为30.97，26.79,样本方差各为26.7，12.1。现欲通过假设检验推断这两个品种的产量是否存在显著差异，则该检验应为 （）分析：假设统计量第27页/共30页4、假设检验中所可能犯的第一类错误 与第二类错误 之间的关系为 （）第28页/共30页考试内容：第一章全考第二章随机变量的函数分布只考一个随机变量的函数分布，两个随机变量的函数分布不考。第三章第四节不考第四章统计量的分布只考区间、检验用到的内容第五章最后一节不考。第29页/共30页感谢您的欣赏！第30页/共30页