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1、 试验结果与数值有关的例子：试验结果与数值有关的例子：1.掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；4.七月份北京的最高气温；七月份北京的最高气温；2.每天北京站下火车的人数；每天北京站下火车的人数；3.每年每年12月份北京发生交月份北京发生交 通事故的次数；通事故的次数；5.5.一部电梯一年内出现故障的次数一部电梯一年内出现故障的次数。第1页/共115页 试验结果看起来与数值无关，但试验结果可试验结果看起来与数值无关，但试验结果可以数值化的例子：以数值化的例子：1.在投篮试验中，用在投篮试验中，用0 表示投篮未中，表示投篮未中，1 表表示罚篮命中，示罚篮命中，3 表
2、示三分线外远投命中，表示三分线外远投命中，2 表示三分线内投篮命中，则表示三分线内投篮命中，则随机试验结随机试验结果可数值化果可数值化。2.在掷硬币试验中，用在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头表示带国徽或人头 的一面朝上，的一面朝上，0 表示另一面朝上，则表示另一面朝上，则随机随机 试验的结果也可数值化试验的结果也可数值化。第2页/共115页这种随机试验结果与数值的对应关系，在数这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为学上可理解为:.X定义一个实值函数定义一个实值函数 X(),将将 称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间上的实值单值函数上的实值单值函数为为随机变量随机变量，简记
3、为，简记为 r.v.(random variable)。第3页/共115页 X()的取值是不确定的，它随试验结果的不的取值是不确定的，它随试验结果的不同而取不同的值。故同而取不同的值。故,在试验之前只知道其可在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值。值。由于试验结果的出现具有一定的概率，所以由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “X()取每个值或某个确定范围内的值取每个值或某个确定范围内的值”也也有一定的概率。有一定的概率。注意：注意：第4页/共115页随机变量的取值一般用小写字母随机变量的取值一般用小写字母 x,y,z 等表等表示。
4、示。随机变量通常用英文大写字母随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z 或希腊字母或希腊字母,等表示。等表示。第5页/共115页 有了随机变量，随机试验中的各种事件有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。都可以通过随机变量的关系式表达出来。引入随机变量的意义引入随机变量的意义 如：如：用用 X 表示单位时间内某信号台收到表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。是一个随机变量。事件事件 收到呼叫收到呼叫 X 1；没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0。第6页/共115页 随机变量概念的产生是概率论发展史上重随机变量概念的产生是概率论发展史上
5、重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。充到对随机变量及其取值规律的研究。第7页/共115页随机变量的分类随机变量的分类 (通通常分两大类常分两大类)：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等。等。随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量所有取值可所有取值可以逐个列举以逐个列举如：如：“电视机的使用寿命电视机的使用寿命”，实际中常遇到，实际中常遇到的的“测量误差测量误差”等。等。
6、全部可能取值不仅有无全部可能取值不仅有无穷多，而且不能一一穷多，而且不能一一列举，充满某些区间。列举，充满某些区间。第8页/共115页 这两种类型的随机变量因都是随机变量，这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。式不同，故又有其各自的特点。随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时要注意它们各自的特点及描述方法。学习时要注意它们各自的特点及描述方法。第9页/共115页 设设X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，其其可可能能取取值为值为 x1,x2,。
7、为描述随机变量为描述随机变量 X，我们不仅要知道其，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。所有可能的取值，还应知道取各值的概率。2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量第10页/共115页 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X 这个取值的概率分布。这个取值的概率分布。例例1：从盒中任取从盒中任取3 球，球，记记 X 为取为取到白球数。则到白球数。则 X 是一随机变量。是一随机变量。X 可能取的值为可能取的值为:0,1,2。取各值的概率为取各值的概率为且且第11页/共115页用这两条性质判断用这两条性质判断一个数列是否是某一个数列是否是某个随机变量的概率个随机变量的概率分布
8、。分布。离散型随机变量概率分布的定义离散型随机变量概率分布的定义 定义定义1：设离散型随机变量设离散型随机变量 X 所有可能取所有可能取的值为的值为 且有且有则称（则称（1）式为离散型随机变量）式为离散型随机变量 X 的概率分布的概率分布或分布律，也称概率函数。其中或分布律，也称概率函数。其中 p1,p2,满足满足（1）第12页/共115页概率分布也可用下面表格的形式给出：概率分布也可用下面表格的形式给出：第13页/共115页解：解：依据概率分布的性质依据概率分布的性质欲使上述数列为概率分布，应有欲使上述数列为概率分布，应有 例例2 2：设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为确定常
9、数确定常数 a。第14页/共115页从中解得从中解得这里用到了幂级数展开式这里用到了幂级数展开式第15页/共115页例例 3：如上图所示如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为独立。已知各电器接通的概率为0.8，记，记X为线为线路中接通的继电器的个数。路中接通的继电器的个数。求求 (1).X 的概率分布；的概率分布；(2).线路接通的概率。线路接通的概率。第16页/共115页解：解：(1).记记 Ai=第第 i 个继电器接通个继电器接通,i=1,2.因因两
10、个继电器是否接通是相互独立的两个继电器是否接通是相互独立的,所以所以A1和和A2相互独立，且相互独立，且 P(A1 1)=)=P(A2 2)=)=0.8.下面求下面求 X 的概率分布的概率分布:首先，首先，X 可能取的值为可能取的值为:0,1,2.P X=0=0 =P 表示两个继电器都没接通表示两个继电器都没接通 第17页/共115页P X=1=1 =P 恰有一个继电器接通恰有一个继电器接通 P X=2=2 =P 两个继电器都接通两个继电器都接通 第18页/共115页所以，所以，X的分布律为的分布律为(2).因线路因线路是并联电路，所以是并联电路，所以 P(线路接通线路接通)=P(只要一个继电
11、器接通只要一个继电器接通)=P X11 =P X=1+=1+P X=2=2 =0.32+0.64 =0.96.第19页/共115页常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布1.1.（0 01 1）分布（也称）分布（也称两点分布两点分布）设设 E 是一个只有两种可能结果的随机试是一个只有两种可能结果的随机试验验,用用=1,2 表示其样本空间。表示其样本空间。P(1)=p,P(2)=1-p.则称则称X的概率分布是（的概率分布是（01）分布（或两点分）分布（或两点分布）布）,记成记成 XB(1,p)。从而第20页/共115页例例 4：200 件产品中，有件产品中，有196件正品，件正品
12、，4件次品，件次品，今从中随机地抽取一件，若规定今从中随机地抽取一件，若规定则则 PX=1=196/200=0.98,PX=0=4/200=0.02.故故 X 服从参数为服从参数为0.98的两点分布，的两点分布，即即 XB(1,0.98)。第21页/共115页例例5：某射手每次射击时命中某射手每次射击时命中10环的概率为环的概率为 p,现进行现进行 4 次独立射击，求次独立射击，求 恰有恰有 k 次命中次命中10环环的概率。的概率。2.伯努利概型与二项分布伯努利概型与二项分布解：解：用用X 表示表示 4 次射击后次射击后,命中命中10环的次数环的次数,则则其中其中“”表示未中，表示未中，“”表
13、示命中。表示命中。第22页/共115页易见：易见：X 的概率分布为的概率分布为例例6：将一枚匀称的骰子掷将一枚匀称的骰子掷 3 次，令次，令X 表示表示 3 次次中出现中出现“4”点的次数。点的次数。不难求得，不难求得，X 的概率分布是为的概率分布是为第23页/共115页 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”射击：射击：“中中1010环环”，“未中未中1010环环”抽验产品：抽验产品：“抽到正品抽到正品”,“,“抽到次品抽到次品”设重复地进行设重复地进行 n 次独立试验，次独立试验，每次试验每次试验“成功成功”的概率都是的概率都是 p,“失败失败”的概率是的概率是
14、 q=1-p。一般地，设在一次试验中只有两个互逆一般地，设在一次试验中只有两个互逆的结果：的结果：,形象地把两个互逆结果叫形象地把两个互逆结果叫做做“成功成功”和和“失败失败”。如：。如：第24页/共115页 这样的这样的 n 次独立重复试验称作次独立重复试验称作 n 重伯努利重伯努利试验，简称伯努利试验或伯努利试验，简称伯努利试验或伯努利概型概型。用用X 表示表示 n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的发生的次数，则次数，则称随机变量称随机变量 X 的概率分布是参数为的概率分布是参数为 n,p 的二项的二项分布分布,记成记成 X B(n,p)。第25页/共115页伯努利概型对试验结
15、果有下述要求：伯努利概型对试验结果有下述要求：(1).每次试验条件相同；每次试验条件相同；二项分布描述的是：二项分布描述的是：n 重伯努利试验中重伯努利试验中,事件事件A发生的次数发生的次数 X 的概率分布。的概率分布。(3).各各次试验相互独立。次试验相互独立。(2).每次试验只考虑两个互逆结果每次试验只考虑两个互逆结果 A 或或 ,第26页/共115页例例7：已知某类产品的次品率为已知某类产品的次品率为0.2，现从一大，现从一大批这类产品中随机地抽查批这类产品中随机地抽查20件件,问恰有问恰有k件次品件次品的概率是多少？的概率是多少？解解:设设X为为20件产品中次品的个件产品中次品的个数，
16、则数，则X B(20,0.2)，这是不放回抽取，但抽取这是不放回抽取，但抽取的数量比产品的数量小很的数量比产品的数量小很多，故可当不放回抽取多，故可当不放回抽取第27页/共115页则有则有20件产品中恰有件产品中恰有k件次品的概率分布表件次品的概率分布表第28页/共115页 下面我们研究二项分布下面我们研究二项分布 B(n,p)和两点分布和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系。之间的一个重要关系。设试验设试验 E 只有两个结果只有两个结果:A 和和 。将试验将试验 E 在相同条件下独立地进行在相同条件下独立地进行 n 次，次，记记 X 为为 n 次独立试验中次独立试验中A出现的次数。描述第出
17、现的次数。描述第i 次试验的随机变量记作次试验的随机变量记作 Xi,则则 Xi B(1,p)，且且 X1,X2,Xn相互独立相互独立(随机变量相互独随机变量相互独立的严格定义将在后面讲述立的严格定义将在后面讲述)。则有。则有X=X1+X2+Xn.第29页/共115页 设随机变量设随机变量 X 所有可能取的值为所有可能取的值为:0,1,2,概率分布为：概率分布为：3.泊松分布泊松分布易见易见第30页/共115页例例8：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数数X服从参数服从参数 =3 的泊松分布。的泊松分布。求：求：(1).一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次寻
18、次寻呼呼的概率；的概率；(2).一分钟内收到一分钟内收到2至至5次寻呼的概率。次寻呼的概率。.解解:(1).PX=3=P(3;3)=(33/3!)e-3 0.2240；(2).P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169.第31页/共115页解解:例例 9:某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参服从参数为数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生的泊松分布。求该城市一天内发生 3 次次以上火灾的概率。以上火灾的概率。P X33=1-PX0，则称，则称X服从参数为服从参数为和和的正
19、态分布。的正态分布。第55页/共115页II.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点特点特点“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”。正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于X=对称对称的的钟形曲线钟形曲线。第56页/共115页 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 决定了图形的中心位置,决定了图形决定了图形峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。第57页/共115页故故 f(x)以以 x=为对称轴，并在为对称轴，并在 x=处达到处达到最大值最大值:令令x1=+c,x2=-c(c0),分别代入分别代入 f(x),得得f(x1)=f(x2)，且且 f(+c)f()，f(-c)f
20、().第58页/共115页这说明：曲线这说明：曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴向左右伸展时，越来越贴近近 x 轴。即轴。即 f(x)以以 x 轴为渐近线。轴为渐近线。当当 x 时，时，f(x)0。第59页/共115页用求导的方法可以证明：用求导的方法可以证明：为为f(x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x=第60页/共115页III.正态分布正态分布 的分布函数的分布函数第61页/共115页IV.标准正态分布标准正态分布 称称 N(0,1)为标准正态分布，其为标准正态分布，其密度函数密度函数和分布函数常分别用和分布函数常分别用 来来表示。表示。第62页/共115页它的依据是下面的定
21、理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。标准正态分布。根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。率计算问题。定理定理1：第63页/共115页 书末附有标准正态分书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的可以解决一般正态分布的概率计算问题。概率计算问题。V.正态分布表正态分布表表中给出的是表中给出
22、的是 x 0时，时，(x)的取值的取值;第64页/共115页若若 XN(0,1),服从服从N(0,1)第65页/共115页例例1：假设某地区成年男性的身高假设某地区成年男性的身高(单位单位:cm):cm)XN(170,7.,7.692),),求该地区成年男性的身高超求该地区成年男性的身高超过过 175cm175cm 的概率。的概率。解解:根据假设根据假设 XN(170,7.,7.692)，知，知事件事件 X 175 的概率为的概率为第66页/共115页解解:设车门高度为设车门高度为 h，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来
23、求满足上式的最小的 h。例例2 2：公共汽车车门的高度是按成年男性与车公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某地设某地区成年男性身高区成年男性身高(单位单位:cm)XN(170,7.692),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?第67页/共115页因为因为XN(170,7.,7.692),),求满足求满足 P(X h)0.99 的最小的最小 h。故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。第68页/共115页若若随机变量随机变量 X 的概率密度
24、为：的概率密度为：则称则称 X 服从区间服从区间 a,b 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua,b2.均匀分布均匀分布(Uniform)(注注:有时也记作有时也记作 X U(a,b)。第69页/共115页若若X Ua,b，则对于满足，则对于满足 acdb 的的c 和和 d，总有，总有第70页/共115页 指数分布常用于可靠性统计研究中，如指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布元件的寿命服从指数分布。定义：定义：若随机变量若随机变量 X 具有概率具有概率密度密度3.指数分布指数分布则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布，记成记成 X E()。第71
25、页/共115页例例3：设某电子管的使用寿命设某电子管的使用寿命X(单位：小时单位：小时)服从参数服从参数=0.0002的指数分布，求的指数分布，求电子管使电子管使用寿命超过用寿命超过3000小时的概率。小时的概率。解：解：第72页/共115页随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义2:设设 X()是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数 F(x)=PXx,-x 为随机变量为随机变量 X 的分布函数的分布函数。分布函数的性质分布函数的性质(1).(1).a b,总有总有F(a)F(b)()(单调非减性单调非减性)；(2).(2).F(x)是一个右连续函数；是一个右连续函数；(3).(3
26、).x R，总有，总有00F(x)1()1(有界性有界性)，且，且第73页/共115页证明：证明：仅证仅证(1)。因因 aa =Xb-Xa，而而 Xa Xb，所以，所以 PaXb=PXb-PXa =F(b)-F(a).又又，因，因 PaXb0，故故 F(a)F(b).注意：注意：上述证明中我们得到一个重要公式上述证明中我们得到一个重要公式:P aXb=F(b)-F(a).它表明随机变量落在区间它表明随机变量落在区间(a,b 上的概率可以上的概率可以通过分布函数来计算。通过分布函数来计算。第74页/共115页 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的概率分布为的概率分布为 pk=P X=xk ,k
27、=1,2,X 的分布函数为的分布函数为离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数第75页/共115页所以，离散型随机变量的所以，离散型随机变量的分布函数分布函数 F(x)是一是一个右连续的函数个右连续的函数，在，在 X=xk(k=1,2,)处有处有跳跃值跳跃值 pk=PX=xk，如下图所示。，如下图所示。第76页/共115页P29P29，例中，例中X 的分布函数为的分布函数为第77页/共115页连续型连续型随机变量随机变量的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的变上限积分。即分布函数是密度函数的变上限积分。由上式，得：由上式，得：在在 f(x)的连续点，有的连续点，有 若若X 是连续型
28、随机变量，是连续型随机变量，f(x)是是X 的的密度密度函数，函数，F(F(x)是分布函数，则对任意是分布函数，则对任意x R，总有，总有第78页/共115页求连续型求连续型随机变量的分布函数随机变量的分布函数例例4：设随机变量设随机变量 X 的密度函数的密度函数解：解：求求 F(x).第79页/共115页对对 x 1，有有 F(x)=1.第80页/共115页即即第81页/共115页 本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续型随机变量：型随机变量：正态分布，均匀分布正态分布，
29、均匀分布和和指数分布指数分布；最后介绍随机变量的分布函数。分别讨论了离散最后介绍随机变量的分布函数。分别讨论了离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。小结小结第82页/共115页 概率论与数理统计概率论与数理统计第六讲第六讲(续）续）主讲教师：郭念国主讲教师：郭念国河南工业大学理学院河南工业大学理学院第83页/共115页随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义2:设设 X()是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数 F(x)=PXx,-x 为随机变量为随机变
30、量 X 的分布函数的分布函数。分布函数的性质分布函数的性质(1).(1).a b,总有总有F(a)F(b)()(单调非减性单调非减性)；(2).(2).F(x)是一个右连续函数；是一个右连续函数；(3).(3).x R，总有，总有00F(x)1()1(有界性有界性)，且，且第84页/共115页证明：证明：仅证仅证(1)。因因 aa =Xb-Xa，而而 Xa Xb，所以，所以 PaXb=PXb-PXa =F(b)-F(a).又又，因，因 PaXb0，故故 F(a)F(b).注意：注意：上述证明中我们得到一个重要公式上述证明中我们得到一个重要公式:P aXb=F(b)-F(a).它表明随机变量落在
31、区间它表明随机变量落在区间(a,b 上的概率可以上的概率可以通过分布函数来计算。通过分布函数来计算。第85页/共115页 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的概率分布为的概率分布为 pk=P X=xk ,k=1,2,X 的分布函数为的分布函数为离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数第86页/共115页所以，离散型随机变量的所以，离散型随机变量的分布函数分布函数 F(x)是一是一个右连续的函数个右连续的函数，在，在 X=xk(k=1,2,)处有处有跳跃值跳跃值 pk=PX=xk，如下图所示。，如下图所示。第87页/共115页P27P27，例中，例中X 的分布函数为的分布函数为第88页
32、/共115页连续型连续型随机变量随机变量的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的变上限积分。即分布函数是密度函数的变上限积分。由上式，得：由上式，得：在在 f(x)的连续点，有的连续点，有 若若X 是连续型随机变量，是连续型随机变量，f(x)是是X 的的密度密度函数，函数，F(F(x)是分布函数，则对任意是分布函数，则对任意x R，总有，总有第89页/共115页求连续型求连续型随机变量的分布函数随机变量的分布函数例例4：设随机变量设随机变量解：解：求求 F(x).第90页/共115页当当 x a a时时,有有 F(x)=0；对对 x b，有有 F(x)=1.第91页/共115页即即第92页/
33、共115页例例5：设随机变量设随机变量 X 的密度函数的密度函数解：解：求求 F(x).第93页/共115页对对 x=1，有有 F(x)=1.第94页/共115页即即第95页/共115页问题的提出问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如更感兴趣。如:已知圆轴截面直径已知圆轴截面直径 D 的分布的分布,求截面面积求截面面积 的分布。的分布。2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第96页/共115页又如又如：已知：已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 I 的分布，的分布，求功率求功率 W=I2R (R为电阻为电阻)的分布等。的分布等。一
34、般地，设随机变量一般地，设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，求求Y=g(X)(设设 g 是连续函数是连续函数)的分布。的分布。设设X是一维随机变量，是一维随机变量，g(x)为一元函数，为一元函数，那么那么Y=g(X)也是随机变量，称为随机变量也是随机变量，称为随机变量X的函数。的函数。第97页/共115页 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布解：解：当当 X 取值取值-1，0，1，2 时，时，Y 取对应值取对应值 4，1，0 和和 1。由由 PY=0=PX=1=0.1，PY=1=PX=0+PX=2=0.3+0.4=0.7，PY=4=PX=-1=0.2.例例4.14.1：设随机变
35、量设随机变量 X 有如下概率分布：有如下概率分布：求求 Y=(X 1)2 的概率分布。的概率分布。第98页/共115页得得 Y 的概率分布：的概率分布：第99页/共115页例例4.24.2 在应用上认为：单位时间内，一个地在应用上认为：单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数一个月内发生火灾的次数X XP(5),P(5),求求Y Y=|=|X X-5|-5|的概率分布。的概率分布。对任意对任意Y=i，当，当00 时时,例例4.4：设设 X 具有概率密度具有概率密度fX(x)，求，求Y=X2的密度。的密度。解：解：设设Y
36、 和和X的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和FX(x),注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y0时，时，FY(y)=0；第105页/共115页若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：第106页/共115页 从上述两例中可以看到从上述两例中可以看到,在求在求P(Yy)的过的过程中程中,关键的一步是设法从关键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X的不等式的不等式。例如例如:用用X(y-8)/2 代替代替 2X+8y,用用 代替代替 X2 y。这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，求出的分布，求出相应的相应
37、的Y的分布函数的分布函数 FY(y)。这是求随机变量函数这是求随机变量函数 Y=g(X)的分布函的分布函数的一种常用方法。数的一种常用方法。第107页/共115页 下面给出一个定理，当定理的条件满足下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求连续性随机变量函数的概率密时，可直接求连续性随机变量函数的概率密度度。第108页/共115页定理的证明与前面的解题思路类似。定理的证明与前面的解题思路类似。其中其中 x=h(y)是是 y=g(x)的反函数，的反函数，定理定理1:设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b,具具有概率密度有概率密度 fX(x)的连续型随机变量的连续型随机变量,又设又设
38、y=g(x)是在是在a,b上处处可导的严格单调函数上处处可导的严格单调函数,记记(,)为为g(x)的值域，则随机变量的值域，则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为第109页/共115页例例4.5.已知已知X X N N(,2 2),),求求 解解：的概率密度的概率密度关于关于x严格单调函数严格单调函数,反函数为反函数为故故第110页/共115页例例4.6：设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求 Y=-2ln X 的概率密度。的概率密度。解：解：在区间在区间(0,1)上，上，于是于是 y=-2ln x 在区间在区间(0,1
39、)上严格单调下降，上严格单调下降，有反函数有反函数由前述定理，得由前述定理，得注意取注意取绝对值绝对值第111页/共115页已知已知 X 在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y 服从参数为服从参数为1/2的指数分布。的指数分布。第112页/共115页 本讲首先随机变量的分布函数。分别讨论了本讲首先随机变量的分布函数。分别讨论了离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。其次为其次为随机变量函数的分布问题随机变量函数的分布问题。对于连续型随。对于连续型随机变量，在求机变量，在求Y=g(X)的分布时的分布时,关键一步是把关键一步是把事件事件 g(X)y 转化为转化为X在一定范围内取值在一定范围内取值 X G 的形式，接着利用的形式，接着利用 X 的分布求的分布求 P g(X)y。小结小结第113页/共115页作业习题22.19 2.20 2.21 第114页/共115页感谢您的观看。感谢您的观看。第115页/共115页