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1、一 微积分的基本公式 引 积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题，我们在第5章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题.如果我们要按定积分的定义来计算定积分,将会十分困难.我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念.但是,牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的内在联系,提出了“微积分学基本定理”.从而使积分学与微分学一起构成微积分学.第1页/共26页Newton-Leibniz 公式（微积分基本公式）公式（微积分基本公式）(牛顿-莱布尼茨公式)定理.函数,则微积分基本公式表明：一个连续函数在区间a,b上的定积分
2、等于它的任意一个原函数在区间a,b上的增量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。第2页/共26页例例1.计算计算解:解原式 例2.求 第3页/共26页例3.设,求解例4.计算正弦曲线的面积.解:第4页/共26页不定积分二、定积分的计算换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法2、定积分的分部积分法 1、定积分的换元法 3、定积分的计算技巧第5页/共26页先来看一个例子例1换元求不定积分令则故1、定积分的换元法 第6页/共26页定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上则令则 当x 从0连续地增加到3时，t 相应地从1连续地增加到2于是第7页/共26页说明说明:1)当 ,即区间换为定理 1 仍
3、成立.2)必须注意换元必换限。但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回.第8页/共26页例例2.计算计算解:令则 原式=且 第9页/共26页例例3：计算计算解：令例4：计算 换元必换限不换元则不换限第10页/共26页解 例5 计算 注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新的变量，则上下限不必变动。即 配元不换限 换元必换限不换元则不换限第11页/共26页2、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 定理定理2.2.则边积边代限例1 求 原式 解：则第12页/共26页例2.计算解:原式=第13页/共26页例3 计算解第14页/共26页例4 求 解 令则 x=t 2,dx=2tdt原式=注 此题同时
4、使用了换元法和分部积分法.第15页/共26页例例5.计算计算解:原式=第16页/共26页规律规律(1)若(2)若1）偶倍奇零3、定积分的计算技巧特别的，当出现积分区间关于原点对称时，可以先考察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。第17页/共26页例1 求 解 原式=奇函数例2 求 解 原式=奇函数第18页/共26页例例8 计算下列定积分计算下列定积分 解奇函数偶函数第19页/共26页解奇函数第20页/共26页2）利用定积分的几何意义曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。计算o解 由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积第21页/共
5、26页例3 计算解由定积分的几何意义该积分等于半圆面积，即o-222第22页/共26页例4 计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积第23页/共26页内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限作业P178 5(1)(2)(4)(5)(6)(8)(11);P183 1(1)(2)(10)(11);2(1)(2);3(1)(6)牛顿-莱布尼茨公式 积分技巧偶倍奇零利用定积分的几何意义第24页/共26页2）利用定积分的几何意义曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。例2.计算解:令则 原式=且第25页/共26页谢谢您的观看！第26页/共26页