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1、 在上一节我们已经看到，直接用定义在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。利用不定积分来计算定积分。微积分基本公式微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为 一、问题的提出一
2、、问题的提出考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得一般情况一般情况注注此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量上限自变量 x 求导，其结果就等于被积求导，其结果就等于被积函数在上限自变量函数在上限自变量 x 处的函数值处的函数值若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函数的函数 a(x)，则求导时必须按复合函数的求导法则进行则求导时必须按复合函数的求导法则进行例例1 1 求求分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型
3、不定式，应用洛必达法则.解解 证证证证证证令令定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）前述变速直线运动的路程问题表明：前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。这就是微积
4、分基本公式。定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）三、三、Newton-Leibniz公式公式令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 证证注注微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：（2）N-L公式揭示了积分学两类基本问题公式揭示了积分学两类基本问题不定积分与定积分两者之间的内在联系不定积分与定积分两者之间的内在联系（3）求定积分问题转化为求原函数的问题）求定积分问题转化为求原函数的问题.（4）为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。简便的方法，使得定积分的计算大为简化。注意注意解解 原式原式例例5 5 设设 ,求求 .解解 例例4 4 求求 例例6 6 求求 解解由图形可知由图形可知例例7 7 求求 解解解解 面积面积1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数3.微积分基本公式微积分基本公式牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系称之为微积分基本公式。间的关系称之为微积分基本公式。注意注意 使用公式的条件使用公式的条件（1）被积函数）被积函数 f(x)连续连续 （2）F（x）是）是 f(x)在在 该区间上的任一原函数该区间上的任一原函数四、小结四、小结 思考题思考题 思考题解答思考题解答