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1、平面向量数量积的物理背景及其含义高一平面向量数量积的物理背景及其含义高一数学必修数学必修问题提出问题提出 1.1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为00，9090，180180时，这两个向量的位置关系如何？时，这两个向量的位置关系如何？2.2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行
2、乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.第1页/共16页第2页/共16页探究（一）探究（一）:平面向量数量积的背景与含义平面向量数量积的背景与含义 WFscos 思考思考2 2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功功”称为向量称为向量F F与与s s“数量积数量积”.一般地，对于非零向量一般地，对于非零向量a与与b的数量积是指什么？的数量积是指什么？思考思考1 1：如图，一个物体在力如图，一个物
3、体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s，且力，且力F F与位移与位移s s的夹角为的夹角为，那么力，那么力F F所做的功所做的功W W是多少？是多少？sF第3页/共16页思考思考3 3：对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹角为，设其夹角为，把，把a|bcoscos叫做叫做a与与b的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作ab，即，即 ab=a|b bcoscos.那么那么ab的运算结果是向量还是数量？的运算结果是向量还是数量？思考思考4 4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？0a=0=0第4页/共16页思考思考5 5：
4、对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，其数量积，其数量积ab何时为正数？何时为负数？何时为零？何时为正数？何时为负数？何时为零？当当009090时，时，ab0 0；当当9090180180时，时，ab0 0；当当9090时，时，ab0.0.ab=a|b bcoscos第5页/共16页思考思考6 6：对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹角为，设其夹角为，那么，那么acoscos的几何意义如何？的几何意义如何？ab bO OA AB BA A1 1思考思考7 7：对于两个非零向量对于两个非零向量a与与b，设其夹角为，设其夹角为，acoscos叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向
5、上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量那么该投影一定是正数吗？向量b在在a方向上的投影是什么？方向上的投影是什么？不一定；不一定；bcos.|a|cos|cos第6页/共16页思考思考8 8：根据投影的概念，数量积根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义如何？的几何意义如何？数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的投影方向上的投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积，第7页/共16页探究（二）：探究（二）：平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质 思考思考1 1：设设a与与b都是非零向量，若都是非
6、零向量，若ab，则，则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ab ab0思考思考2 2：当当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？当等于什么？当a与与b反向时，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .第8页/共16页思考思考3 3：ab与与ab的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？abab 思考思考4 4：ab与与ba是什么是什么关系？为什么？关系？为什么？abba 思考思考5 5：对于实数对于实数，(a)b有意义吗？它可以转化为哪些运算？有意义
7、吗？它可以转化为哪些运算？(a)b(ab)a(b)第9页/共16页思考思考6：对于向量对于向量a，b，c，(ab)c有意义吗？它与有意义吗？它与acbc相等吗？为什么？相等吗？为什么？A1B1ABOC Cabcab12思考思考7：对于非零向量对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？有意义吗？(ab)c与与a(bc)相等吗？为什么？相等吗？为什么？(ab)ca(bc)第10页/共16页思考思考8：对于非零向量对于非零向量a，b，c，若，若abac，那么，那么 bc吗？吗？思考思考9：对于向量对于向量a，b，等式，等式(ab)2 a22abb2和和(ab)(ab)a2b2是否成立？为什么？是否
8、成立？为什么？思考思考1010：对于向量对于向量a，b，如何求它们的夹角，如何求它们的夹角？第11页/共16页理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知a5，b4，a与与b的夹角为的夹角为120120，求，求ab.1010 例例2 2 已知已知a6 6，b4 4，a与与b的夹角为的夹角为6060，求，求(a2b)(a3b).72 72 例例3 3 已知已知a3 3，b4 4，且，且a与与b不共线不共线.求当求当k k为何值时，向量为何值时，向量akb与与 ak kb互相垂直？互相垂直？第12页/共16页小结作业小结作业1.1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有
9、明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.第13页/共16页2.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.3.利用利用a 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.4.4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.第14页/共16页作业：作业：P108 P108 习题习题2.4A2.4A组：组：1 1，2 2，3 3，6 6，7 7，8.8.第15页/共16页