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1、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽一、概念的引入第1页/共48页正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积第2页/共48页2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第3页/共48页二、数列的定义例如第4页/共48页注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数第5页/共48页播放播放三、数列的极限三、数列的极限第6页/共48页问题:当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验
2、的观察:第7页/共48页第8页/共48页如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：注意：第9页/共48页几何解释:其中第10页/共48页数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以,注意：注意：第11页/共48页例例2证证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.第12页/共48页例例3证证第13页/共48页例例4证证第14页/共48页四、数列极限的性质1、有界性例如,有界无界第15页/共48页定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散.
3、第16页/共48页2、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义,故收敛数列极限唯一.第17页/共48页例例5证证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.第18页/共48页3、子数列的收敛性注意：注意：例如，第19页/共48页定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕第20页/共48页五、小结数列数列:研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.第21页/共48页思考题思考题证明要使只要使从而由得取当 时，必有 成立第22页/共48页思考题解答思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第23页/共48页从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件反而缩小为第24页/共48页练练 习习 题题第25页/共48页感谢您的观看。第48页/共48页