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1、Chap2 极限与连续极限与连续古希腊Archimede“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽“割圆术”；Newton“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。Chap2 1 数列极限数列极限一、数列定义1 函数 f:NR称为数列，记为xn.即xnf(n),nN,或x1,x2,xn,xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项通项。几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取例例1 讨论数列的单调性和有界性（n重根号）二、数列极限定义定义2 设有数列xn.若存在常数A，使得0,NN,当nN时，|xnA|，则称xn的极限极限为A，或称xn收敛收敛于A，记
2、为若A不存在，则称数列xn无极限，或称为发散发散(不收敛不收敛)是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。N的存在性存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足|xnA|N成为 的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.适当放大法：例7 设数列xn对常数A和0 q 0,使得nN有推论1 无界数列必发散。推论2 若数列定理3（不等式性）若u 即使将“xn yn”换为“xn yn”,结论也不能改为“A B”.推论4 若推论3（保号性）若u 若将“A0”换为“A 0,且 ,则有推论推论3 若
3、an 0,且 ,则有例14 求极限Ex.求极限五、数列收敛准则1单调有界定理单调有界定理 设数列xn单调增加.则当xn有上界时,xn收敛，当xn 上无界时,xn为正无穷大，且均成立u 若xn为单调数列.则xn收敛 xn有界.u 想一想 数列xn单调减少时的情形？(n重根号),例15 设例17 证明数列u e=2.7182818284是自然对数的底(lnx=logex),是无理数.证明 存在并求之.且xn单调增加收敛于e,yn单调下降收敛于e.例18 设证明cn收敛.实际上,我们还有定义5 数列xn中依次取出下标为n1 n2 nk 1时，an收敛；当p 1时，an为正无穷大.3 Cauchy收敛准则收敛准则 数列xn收敛的充要条件是：基本列(Cauchy列)满足上述必要性条件的数列！等价形式：否定形式：数列xn发散当且仅当 问题：数列xn为基本列 与pN有 等价吗？例22 设证明xn发散.注 此例中，对pN有例23 设证明xn收敛.思考题 如何求极限值