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1、如果到初等区域D到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面称 为 的坐标式参数方程。坐标式参数方程。称 为曲面的向量式参数方程。向量式参数方程。u和v称曲面上的点的曲面上的点的曲纹坐标，曲纹坐标，U=U=常数或常数或V=V=常数在曲面上的常数在曲面上的象称为曲面的曲面的坐标曲坐标曲线。（线。（U=U=常数而常数而v v变动的曲线叫变动的曲线叫V-V-线，线，v=v=常数而常数而u u变动的曲线叫变动的曲线叫u-u-线，线，V-V-线线u-u-线构线构成的网称为曲面上的成的网称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网 第1页/共15页曲纹坐标网曲纹坐标网
2、坐标曲线坐标曲线第2页/共15页曲线（z=常数）即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。曲线（是常数）即:它是原柱面上的直母线。设 是长方形区域常见曲面圆柱面的参数表示 第3页/共15页球面的参数表示为：是一个长方形区域：坐标曲线是曲线=常数），即，是球面上等纬度的圆纬线，曲线：它是球面上过两极的半圆经线（子午线）。=，第4页/共15页旋转面把xz平面上一条曲线：x=绕z轴旋转，得旋转面x=，y=,，第5页/共15页光滑曲面 曲面的切平面和法线1定义：如果曲面 有直到 阶连续偏微商，则称为K阶正则曲面，或 曲面。当 时，此曲面又称为光滑曲面2 u线v线表示.u线：.v线u-线的切向量v
3、-线的切向量第6页/共15页定义 曲面 的点P是正则点(正常点)若有正则曲面:处处是正则点的曲面.曲面的正规坐标网：若则存在 的一个邻域U，使得U内每一点有 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如 z=z(x,y)的表示因为 ，至少有一分量不为零此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网第7页/共15页假设 则有隐函数存在定理有唯一一对单值连续函数代入则有z=z(x,y)命题2：曲面在正常点某个的邻域内点都是正常点曲面上一点P0处的切方向(方向):上的经过 P的曲线在P0的切方向.（切方向很多）曲面：r r=r r(u,v)上曲线的(曲纹)坐标式参 数方程-:u=u(t)，v=v(t).的
4、向量式参数方程:r=r(u(t),v(t)=r(t).（一个 参数）第8页/共15页曲线的切向量也可写为曲线r=r(u(t),v(t)=r(t)其切方向在正常点所有切向量都有可定成u线v线切向的组合都有在由u线v线切向确定的平面上，称此平面为曲面在这一点的切平面命题2 曲面上正常点的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所决定的切平面上 第9页/共15页从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv值完全确定，切方向也可表示成 ,或 二者视为同一方向.例如,du:dv=(-2):3表方向,也表方向 ，二者视为同一方向.曲面S 一点 处切平面的方为：其中 是切平面上一点的向径:,坐标形式为：第1
5、0页/共15页法向：垂直于切平面的方向 法线：经过曲面上的一点并平行于法方向的直线 法向量:单位法向量：法线的方程为其中R（X，Y，Z）是线上任一点的向径，参数。用坐标形式表达的法线的方程为：=第11页/共15页=过点（1，2）的切平面方程是即3x+y-2z-4=0.例：求S 在点(1,2)处的单位法向量及切平面的方程。解：第12页/共15页3.3.曲面上的曲线族和曲线网S S上的曲线用方程曲面消去t得 或 或 微分方程 表示曲面上的一族曲线，特别地当 方程变为它表示曲面上的u曲线族（v=常数）。当 它表示曲面上的v曲线族 (v族)或第13页/共15页微分方程:+=0当0时它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网表示曲面上的两族曲线曲线网。当 时，方程变为第14页/共15页感谢您的观看！第15页/共15页