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1、第二章第二章 曲面论曲面论 内内 容容 提提 要要1 1、曲面的概念、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2 2、曲面的第一基本形式、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3 3、曲面的第二基本形式、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的第二基本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4 4、直纹面和可展曲面、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）（直纹面、可展曲面）5 5、
2、曲面论的基本定理、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）（基本方程、基本定理）6 6、曲面上的测地线、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯（测地曲率、测地线、高斯波涅波涅 公式、曲面上向量的平行移动）公式、曲面上向量的平行移动）7 7、常高斯曲率曲面、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何）氏几何）第一节第一节 曲面的概念曲面的概念 1、1 简单曲面及其参数表示 一、初等区域一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约
3、当曲线的内部称为初等区域初等区域。如矩形的内部、园的内部等。如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简单曲面。今后我们所用的都是简单曲面或曲面。如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如果它是橡皮膜，还可变成园环面。二、简单曲面二、简单曲面三、曲面的方程三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x=f1(u,v),y=f2(u,v),z=f3(u,v),(u,v)G称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作
4、 x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)G例：园柱面；球面；旋转面。四、坐标曲线；曲纹坐标网四、坐标曲线；曲纹坐标网。曲面上一点 P 的直角坐标为（x,y,z），它的曲纹坐标为（u,v）。现在取v=常数而 u 变化时的曲线叫 u-曲线(u线）u=常数而 v 变化时的曲线叫 v-曲线（v线）面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一点 P，两族曲线中各有一条经过它。（例题）1 1、2 2 光滑曲面、曲面的切平面和法线光滑曲面、曲面的切平面和法线 一、光滑曲面、正常点、正规坐标网一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x=x(u,v),y=y(u,v),
5、z=z(u,v)或 r=r(u,v)中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面阶正则曲面或 类曲面类曲面。类的曲面又称为光滑曲面光滑曲面。2、过曲面上一点(u0,v0)有一条u-曲线：r=r(u,v0)和一条v曲线：r=r(u0,v),该点处这两条坐标曲线的切向量 为 如果它们不平行，即 ru rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。3、正规坐标网正规坐标网 由ru，rv 的连续性，若 ru rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切，构成一正规坐标网正规坐标网。4、
6、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示，即有 z=z(x,y),事实上，由3，ru rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，即 由隐函数定理，x=x(u,v),y=y(u,v)在 U 中存在唯一的单值连续可微函数 u=u(x,y),v=v(x,y),代入得 z=z u(x,y),v(x,y)=z(x,y)。二、曲面的切平面二、曲面的切平面 设曲面曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),或 r=r u(t),v(t)=r(t)，这条曲线在曲面上(u0,v0)处的切方向称为曲面
7、在该点的切方曲面在该点的切方向向或方向，它平行于其中 分别是在(u0,v0)点处的两条坐标曲线的切向量。以下切方向几种表示通用：du:dv,(d)和 。1、切平面的定义 可以看出，切向量 与 共面，但过(u0,v0)点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面。3 3、切平面的方程、切平面的方程 设面上一点为 P0(u0,v0)，R(X,Y,Z)为平面上任一点，则有 或写成坐标表示式 如果用显函数 z=z(x,y)表示曲面时，有 三、法方向与法线三、法方向与法线 1
8、、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。由定义，曲面的法方向为 单位法向量为 2、法线的方程 设曲面上任一点 r(u,v)的径矢为 R(u,v)则法线的方程为 用坐标表示为 若用 z=z(x,y)表示曲面，则有四、参数变换四、参数变换 如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标 ：则得到曲面关于新曲纹坐标 的方程 对 求导：因此（1），则两个法向量平行。（2），所有参数法向量的正向保持不变，称这个方向为曲面的正向。（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。1 1、3 3 曲面上的曲线簇和曲线网曲面上的曲线簇和曲线网 设光滑曲面上的曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),或者 r=r u(t),v(t)=r(t),消去 t，可得曲面上曲线的方程为1、一阶线性微分方程 表示曲面上的一簇曲线曲线簇，设 则有 解之得 特别 当 A=0 或 B=0 时，有 d u=0 或 d v=0 此时为坐标曲线 u=c 或 v=c 。2、二阶微分方程 则表示曲面上的两簇曲线 曲线网。设 分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面上的曲线网。特别有 它们表示坐标曲线。