《数值分析数值积分.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析数值积分.pptx（62页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、8.1 数值微分第1页/共62页对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有（1）f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值;（2）f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数;（3）f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难。以上这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法。第2页/共62页第3页/共62页第4页/共62页插值型数值微分公式第5页/共62页第6页/共62页第7页/共62页第8页/共62页第9页/共62页第10页/共62页第11页/共62
2、页第12页/共62页第13页/共62页8.2 数值积分第14页/共62页上式称数值求积公式。由定积分的定义知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。第15页/共62页 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。因此定义代数精度的概念:定义1.若求积公式 则称该求积公式具有m次的代数精度。代数精度也称代数精确度第16页/共62页使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。例设有求积公式试确定系数解：令公式依次对都精确成立，即第17页/共62页故该求积公式应
3、为对有即对也精确成立，但对不能精确成立，因此该求积公式具3次代数精度。解得第18页/共62页若已知函数f(x)在a,b上一组节点值ax0 x1xnb以及函数值 f(x0)，f(x1),f(xn)，构造f(x)的n次Lagrange插值多项式：插值型求积公式则若记第19页/共62页则插值型求积公式Ak为求积系数。余项：（1）当f(x)取次数n的多项式时，R0，即含n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。注：（2）特别地，当f(x)1时，有第20页/共62页Newton-Cotes公式的导出设函数f(x)Ca,b，将积分区间a,bn等分，步长h=(b-a)/n，节点xk=a+kh为等距节
4、点。Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。由插值型求积公式知第21页/共62页可得引进变换x=a+th，则有dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h，第22页/共62页所以插值型求积公式化为称Newton-cotes公式，式中ck(n)称柯特斯系数。记第23页/共62页第24页/共62页第25页/共62页2.梯形(trapezia)公式及其余项Cotes系数为求积公式为第26页/共62页上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为即几何意义如右图：第27页/共62页第二积分中值定理梯形(trapezia)公
5、式具有1次代数精度。故第28页/共62页3.Simpson公式及其余项Cotes系数为求积公式为第29页/共62页上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式。记为Simpson公式的余项：Simpson公式具有3次代数精度。即第30页/共62页4.Cotes公式及其余项Cotes系数为第31页/共62页求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式。记为Cotes公式的余项：Cotes公式具有5次代数精度。第32页/共62页注：n 8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法。C
6、otes系数表：n Ck(n)1234581/2 1/2 1/6 4/6 1/6 1/8 3/8 3/8 1/87/90 16/45 2/15 16/45 7/9019/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288989/28350 5888/28350 -928/28350 10496/28350 -4540/28350 第33页/共62页偶阶求积公式的代数精度研究Simpson公式，是二阶Newton-Cotes公式，因此至少具有二次代数精度。将f(x)=x3代入Simpson公式：直接对f(x)=x3求积，得有 I2(f)=I，又易证Simpson公式对f(x
7、)=x4不能够准确成立。故Simpson公式具有3次代数精度。第34页/共62页定理：当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。证明：只要验证当n为偶数时，公式对 f(x)=xn+1余项为零即可。由余项公式又故一般地，可以证明下述论断：第35页/共62页此时，被积函数是奇函数，故Rf=0。证毕。若n为偶数，则n/2为整数，再令t=u+n/2，得引进变换x=a+th，则xj=a+jh，第36页/共62页第37页/共62页第38页/共62页第39页/共62页第40页/共62页8.3 复合求积公式第41页/共62页将a,bn等分，h=(b-a)/n，在每个子区间xk,xk+
8、1(k=0,1,n-1)上采用梯形公式，得1、复合梯形公式复合梯形公式记第42页/共62页复合梯形公式的余项：由于即有由得设被积函数f(x)C2a,b，第43页/共62页 将a,bn等分，在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,n-1)上采用Simpson公式，若记xk+1/2=xk+h/2，则可得复合Simpson公式形式为2、复合Simpson公式第44页/共62页复合Simpson公式的余项：则当n足够大时，复合Simpson公式的余项为：第45页/共62页第46页/共62页第47页/共62页第48页/共62页第49页/共62页第50页/共62页第51页/共62页第52页/共62页第53页/共62页第54页/共62页第55页/共62页第56页/共62页第57页/共62页第58页/共62页第59页/共62页第60页/共62页P170习题七：8，9本章作业第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页