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1、 第八章 微分方程与差分方程简介 我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。第1页/共85页 8.1 8.1 微分方程的基本概念 一.引例 例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解 设所求曲线方程
2、为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：第2页/共85页 例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为4,问汽车是否会撞到小孩？解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：第3页/共85页在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要第4页/共85页的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的基本概念 凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differential equation）.未知函数为一元函数的微分方
3、程，叫常微分方程（ordinary differential equation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partial differential equation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如第5页/共85页等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。第6页/共85页如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解
4、，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。第7页/共85页的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initial
5、value condition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为第8页/共85页 从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如是方程（1）的积分曲线族,而第9页/共85页 8.2 8.2 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程 一阶微分方程（一阶微分方程（differential equation of first orderdifferential equation of first order）(differential
6、equation of separated variables).第10页/共85页例1 求微分方程解 首先分离变量，得第11页/共85页 以后为了方便起见，我们可把记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2 求微分方程的通解即在条件解 分离变量，得第12页/共85页 例3 种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数 的最大容量为b，则种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子成正比，试确定种群生长规律。第13页/共85页第14页/共85页 8.3 一阶线性微分方程 （linear differential equation o
7、f firstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数第15页/共85页第16页/共85页二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,第17页/共85页第18页/共85页 上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（method of constant）.将（5）式改写成两项之和的形式第19页/共85页上式右端第一项是方程（1）对应的齐次
8、方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。第20页/共85页第21页/共85页 方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得第22页/共85页第23页/共85页第24页/共85页第25页/共85页第26页/共85页第27页/共85页(Bernoulli differential equation).第28页/共85页第29页/共85页第30页/共85页第31页/共85页第32页/共85页 8.4 可降阶的高阶微分方程 二阶
9、及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differential equation of higher order）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。第33页/共85页第34页/共85页 例2 一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度 试求其位移s与时间t的关系式。解 由题意知则需要n个初值条件。第35页/共85页第36页/共85页第37页/共85页第38页/共85页第39页/共85页第40页/共85页第41页/共85页第42页/共85页第43页/共85页 8.5 二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶常系
10、数线性微分方程（linear second order differential equation with constant coefficients），其中f(x)叫做自由项，当 时，方程（1）叫做二阶线性齐次微分方程，当时，方程（1）叫做二阶线性非齐次微分 方程。第44页/共85页下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构 定理1 如果 是二阶线性齐次方程第45页/共85页第46页/共85页 第47页/共85页综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。第48页/共85页知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更
11、高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。第49页/共85页第50页/共85页二.二阶常系数线性齐次微分方程 由定理2 可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，使它和它的导数间只差一个常数因第51页/共85页 我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就归结为求特征方程的根：第52页/共85页第53页/共85页第54页/共85页第55页/共85页第56页/共85页第57页/共85页特征方程 的根齐次方程 的通解两个相异实根两个相等实根
12、一对共扼复根第58页/共85页第59页/共85页第60页/共85页 三.二阶常系数线性非齐次微分方程 由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，可归结为求它对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解。在解决了齐次方程的通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程（3）的一个特解 的方法 我们只介绍当方程（3）中的 取两种常见形式时求 的方法，这种方法的特点是不用积分就可 求出来，把它叫做待定系数法。第61页/共85页第62页/共85页第63页/共85页第64页/共85页第65页/共85页第66页/共85页第67页/共85页第68页/共85页第69页/共85页第70页/共85页第71页/共85页
13、第72页/共85页第73页/共85页第74页/共85页 8.6 微分方程应用实例 许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。一。嫌疑犯问题 受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 ，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为第75页/共85页室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时
14、打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？第76页/共85页 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即第77页/共85页第78页/共85页第79页/共85页第80页/共85页 三.悬链线方程问题 将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。解 以绳索所在的平面为 平面，设绳索最低点为y轴上的P点，如图81所示。考察绳索上从点p到另一点Q(x,y)的一段弧 ，该段弧长为 ，绳索线密度为 ,则这段绳索所受重力为 。由于绳索是软的，第81页/共85页第82页/共85页第83页/共85页第84页/共85页谢谢您的观看！第85页/共85页