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1、6.3.1 二阶线性微分方程解的结构6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 的特征根求法6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.3 二阶线性微分方程的解法 第6章 6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 一、概念的引入一、概念的引入解解受力分析受力分析物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程强迫振动的方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程二
2、、二阶线性微分方程的解的结构二、二阶线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:问题问题:例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关特别地特别地:例如例如2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理解的叠加原理6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 的特征根求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根 对于二阶常系数齐次线性微分方程对于二阶常系数齐次线性微分方程 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程
3、的通解为特征根为特征根为反之：反之：有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为反之：反之：有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征根求法特征根求法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2*n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根
4、特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项,且每一且每一项各一个任意常数项各一个任意常数.特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例4 4二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法 机动 目录
5、上页 下页 返回 结束 第6章 对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程一、一、型型综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例2 2解解设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解
6、为则所求特解为特征根特征根（重根）重根）例例3 写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.利用欧拉公式利用欧拉公式注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）取虚部）例例4 4解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例5 5所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）取实部）注意注意解解对应齐方通解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例6 6课外作业P28-29 习题6-3 12(1)(4)(6)3(2)4(2)(3)5(1)(3)（选做）