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1、-第第七七章章 二二阶阶电电路路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比方两个电容电感串并联情况。重点：重点：1 1电路微分方程的建立电路微分方程的建立2 2特征根的重要意义特征根的重要意义3 3微分方程解的物理意义微分方程解的物理意义难点：难点：1 1 电路微分的解及其物理意义电路微分的解及其物理意义2 2 不同特征根的讨论计算不同特征根的讨论计算7.07.0 知识复习知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式aybycy 0，其特征方程为：ap bp c 0，特征根：p1,2当特征方程有不同的实根p1、p2时，y
2、 A1ep1t A2ep2t当特征方程有一样的实根p时，y (A1 A2t)ept2bb2 4ac。2a4a当特征方程有共轭的复根p1,2 j时，y e(j)t et(A1cost A2sint)二、欧拉公式7.17.1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.1.17.1.1 二阶电路中的能量振荡二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路 即 R=0，无阻尼情况来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。设电容的初始电压为U0，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有didi，这样电流将不断增大，0，0dtdt原
3、来存储在电容中的电能开场转移，电容的电压开场逐渐减小。当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流到达最大值I0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。dudu电容电压虽然为零，但其变化率不为零iCiL I0CC 0，C 0，电路中的电流dtdt储能。此时电流为零，电流的变化率不为零uCuL L.z.-从 I0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电电压的极性与以前不同，当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又到达，只是极性与开场相反。之后电容又开场放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚刚的过程一样，能量再次从电场能转化为电磁
4、能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大局部被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。7.1.27.1.2 二阶电路的微分方程二阶电路的微分方程二阶电路如下，其中电容电压的初始值为uC(0)uC(0)U0，电感电流的初
5、始值为iL(0)iL(0)0。根据该电路列写电路方程为uC uR uL 0duCdtd2uCduCdi因此：uR Ri RC，uR L LC2dtdtdt2d uCduC所以，电路方程为：LC RC uC 0dt2dt其电路电流为：i C7.1.37.1.3 二阶电路微分方程的求解二阶电路微分方程的求解d2uCduC2LCp RCp 1 0。特征根为：方程LC的特征方程为 RC u 0Cdt2dt其中：由特征根的性质不等的实数、相等的实数或共轭的复数就可以确定通解的具体形式。再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。7.1.47.1.4 二阶电路特征根的讨论二阶电路特征根的讨论分别讨论特征根
6、的情况。一、过阻尼情况非振荡放电过程1过阻尼的条件1L4L R 当，即R 2R2时，特征根p1、p2为不相等的负实数。LCCC2L此时固有频率为不相等的负实数，2过阻尼时的响应当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为其中：2.z.-而i C而duduC，Cdtdt t0I0，且电路的初始条件，iL(0)I0，有CuC(0)U0，iL(0)iL(0)0同时i C因此，初始条件为：duduC，Cdtdt t0I00 0CCuC(0)U0，duCdt 0t0代入电路方程uC(t)A1ep1t A2ep2t中，就可以解出其中的待定系数，得出由此可见，uC(t)和iL(t)均为随着时间衰减的指数函数，
7、电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻tm时电流到达最大值。而：3过阻尼时的响应曲线二、临界阻尼情况1临界阻尼的条件1L4L R 当，即R 2R2时，特征根p1、p2为相等的负实数 p；此时固 2LLCCC有频率为相等的负实数，2临界阻尼时的响应当方程的特征根一样时，uC(t)(A1 A2t)ept，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令p1 p2 p 2R，取极限得出。2LU0R(p1ep2t p2ep1t)，令p1 p2 p 取极限，p1 p22L非振荡放电过程的解为：u*C(t)根据罗必塔法则：由此可见，uC(t)和iL(t)也为随着时间衰减的指数函
8、数，仍然为非振荡响应。其中3临界阻尼时的响应曲线临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。三、欠阻尼情况1欠阻尼的条件.z.-1L4L R 当，即R 2R2时，特征根p1、p2为一对共轭复数，其实部为 LCCC2L负数。2欠阻尼时的响应21 R R 令，2，则微分方程的特征根p1 j，p2 j。LC2L2L如下列图，设与及0之间存在三角关系即02 2，arctg2则 0cos，0sin。根据欧拉公式：可将特征根写为：p1 0e j，p2 0ej因此：由此可见，uC(t)和iL(t)均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰减振荡响应。3欠阻尼时的响应曲线4无阻尼的情况无阻
9、尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。当R 0时，0，0为由此可见，uC(t)和iL(t)均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率，当二阶电路的鼓励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。1，此时的响应LC27.27.2 二阶电路的阶跃响应与冲激响应二阶电路的阶跃响应与冲激响应7.2.17.2.1 二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应一、定义二阶电路在阶跃鼓励下的零状态响应，称为阶跃响应。二、求解的步骤二阶电路的阶跃响应的求取类似于一阶电路的阶跃响应的求取方法。其步骤为1计算电路的初始值iL(0)、diLdt0.z.-uC(0)
10、、2列写电路微分方程duCdt0根据 KCL 或 KVL 定理列写将电路方程，将其整理成有关电容电压或电感电流状态变量的二阶微分方程。3计算电路方程的特解因为是阶跃响应，所以电路方程的特解为常数A，且 A 可以根据初始值最后确定为阶跃鼓励的强度。4 计算电路方程的通解而电路方程的通解为齐次方程的解，因此根据其特征方程求得电路方程得特征根为s当 s 为两个不相等的实数p1、p2时，y A1ep1t A2ep2t当 s 为两个一样的实根p时，y (A1 A2t)ept当 s 为两个共轭的复根p1、p2时，p1,2 j时，y e(j)t et(A1cost A2sint)。实际上，在此情况下欠阻尼，
11、可以直接设电路方程的通解为y Aetsin(t )。然后用初始值确定其中的待定系数 A 与。5计算电路的初始值原电路方程的解即为通解于特解之和，再根据电路的初始条件计算出各个待定系数。这样即可得出电路方程的解。三、响应曲线下面给出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况下电路方程的响应曲线，可以看出，三种情况下的稳态值一样。另外，我们再给出衰减振荡欠阻尼与等幅振荡零阻尼情况下的响应曲线示意图。7.2.27.2.2 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应一、定义所谓二阶电路的冲激响应。实际上是零状态的二阶电路在冲激源的作用下所产生的响应，即为二阶电路在冲激源作用下，建立一个初始状态后产生的零输入响应。二、
12、解法因为初始状态的二阶电路的零输入响应的求法在前面的章节中已经有详细的介绍，因此要求解二阶电路的冲激响应，关键在于求出冲激鼓励所产生的电路初始值。7.47.4 状态方程状态方程在电路系统中，以电容电压及电感电流为变量，列写出的微分方程称为状态方程，其中的电容电压及电感电流初始值即为方程的初始值。状态方程在动态系统的研究中具有十分重要的意义。所谓状态变量，是一组数目最少的、能够确定网络所有变量的动态变量。前面我们介绍了电路方程的列写，实际上是用的是输入-输出方法，也就是选取我们需要研究的单个电路变量，列写它跟输入函数之间的微分方程关系，我们称它为输入-输出法。这种方法常常列写出高阶微分方程，其求
13、解存在一.z.-些困难，而且一般每一次只能描述一个变量的情况；而列写电路方程的另一种方法是所谓的状态变量法，也就是先找出关于一组状态变量的一阶微分方程，然后找到该组状态变量跟鼓励函数的关系 也为一阶关系，称为输出方程。可见对于高阶电路的分析而言，状态变量分析法一方面为我们提供了所有动态变量之间的关系，另外也将求解高阶微分方程的问题转化成为两次一阶方程的求取。电路的状态方程形式如下：为电路中的状态变量向量的一阶导数，其中x x*为电路中的状态变量向量，w w 为电路的鼓励向量 输入向量，A A、B B 分别为相应的系数矩阵。电路的输出方程形式如下：其中r r为电路中的待求响应输出相量，*为电路中的状态变量向量，w w 为电路的鼓励向量，C C、D D 分别为相应的系数矩阵。可见该方程组为一组代数方程组。由此可见，状态方程即为有关一组状态变量方程组。下面我们举例说明。例 1因为：整理，得：写成标准式：例 2因为：整理，得：写成标准式：例 3因为：整理，得：写成标准式：.z.