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1、第1页/共103页把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 、全排列一、主要内容一、主要内容第2页/共103页逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数、逆序数第3页/共103页分别计算出排列中每个元素前
2、面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数、计算排列逆序数的方法第4页/共103页定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一
3、次素不动，称为一次对换对换将相邻两个元素对调，将相邻两个元素对调，叫做叫做邻换邻换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列偶排列调成标准排列的对换次数为偶数调成标准排列的对换次数为偶数、对换第5页/共103页、n阶行列式的定义第6页/共103页第7页/共103页、n阶行列式的性质第8页/共103页第9页/共103页）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式、行列式按行（列）展开第10页/共103页）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质第11页
4、/共103页、Cramer(Cramer(克拉默)法则第12页/共103页克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理定理定理第13页/共103页定理定理定理定理第14页/共103页(一一)计算排列的逆序数计算排列的逆序数(二二)计算（证明）行列式计算（证明）行列式(三三)Cramer)Cramer法则法则二、典型例题第15页/共103页分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数解解例例（一）计算排列的逆序数第16页/共103页第17页/共103页当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列于是排列的逆序数为第18页/共103页用定义计算（证明）用定
5、义计算（证明）例例用行列式定义计算(二)计算（证明）行列式第19页/共103页解解第20页/共103页评注评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法注意注意第21页/共103页例例设第22页/共103页证明证明由行列式的定义有第23页/共103页评注评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法第24页/共103页利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式
6、化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第25页/共103页解解第26页/共103页上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知第27页/共103页评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成化成范德蒙范德蒙行列式行列式第28页/共
7、103页用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算第29页/共103页解解第30页/共103页提取第一列的公因子，得第31页/共103页第32页/共103页评注评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的第33页/共103页用降阶法计算用降阶法计算例例计算解解第34页/共103页第35页/共103页第36页/共103页第37
8、页/共103页评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低低 1 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用对阶数不高的数字行列式比较适用第38页/共103页用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算例例证明证证第39页/共103页用递推
9、法计算用递推法计算例例计算解解第40页/共103页第41页/共103页第42页/共103页由此递推，得如此继续下去，可得第43页/共103页第44页/共103页评注评注第45页/共103页用数学归纳法用数学归纳法例例证明第46页/共103页证证对阶数n用数学归纳法第47页/共103页第48页/共103页评注评注第49页/共103页计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法 见下例小结小结第50页/共103页解：例9.计算行列式(拆分法与递推
10、法)下页第51页/共103页,(D2=5)第52页/共103页当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解（三）CramerCramer法则第53页/共103页解解设所求的二次多项式为由题意得第54页/共103页由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为第55页/共103页例例1111 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？解解由于齐次方程组有非零解，则所以 或 时齐次方程组有非零解.第56页/共103页证证第57页/共103页第58页/共103页第59页/共1
11、03页第60页/共103页第1章 测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共4040分分)第61页/共103页第62页/共103页第63页/共103页第64页/共103页二、计算下列行列式二、计算下列行列式(每小题每小题9 9分，共分，共1818分分)第65页/共103页有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)第66页/共103页四、证明四、证明(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)第67页/共103页第68页/共103页第69页/共103页五、五、(9(9分分)设设 行列式行列式求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第70页/共10
12、3页测试题答案第71页/共103页第第 2 章章 矩阵矩阵习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、测试题三、测试题第72页/共103页一、主要内容一、主要内容1 1 向量的概念与运算2 2 矩阵的概念与运算第73页/共103页 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1,2,m；j1,2,n).a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj.(ai1 ai
13、2 ais)b1jb2jbsj 条件：条件：A的列数等于B的行数，AB才有意义;结果：C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.过程：过程：向量的内积向量的内积 因此，因此，cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.(1).(1).矩阵的乘法矩阵的乘法cij下页第74页/共103页应注意的问题应注意的问题 (1)AB BA；(3)AB OA O或或B O；/(2)AC BCA B；/矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 (4)AA AA E或或A O./(1)(AB)C A(BC)；(2)(A+B)C AC+BC；(3)C(A+B)CA+CB；(4)k(AB)(kA)B A(kB).
14、下页第75页/共103页定义设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或det A.性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A|B|.(2)|kA|=kn|A|;(2).(2).方阵的行列式方阵的行列式显然，显然，|E|=1|=1.一般地，若A1,A2,Ak都是n阶方阵，则 显然 下页第76页/共103页3.逆矩阵 定义定义 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果存在，如果存在n阶矩阵阶矩阵B，使得，使得 AB BA E，那么矩阵那么矩阵A称为可逆的，而称为可逆的，而B称为称为A的逆矩阵的逆矩阵.n阶矩阵阶矩阵A为可逆的充分必要条件是
15、为可逆的充分必要条件是|A|0，而且，而且其中其中A*为方阵为方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.A*，1|A|A-1方阵可逆的充分必要条件方阵可逆的充分必要条件推论推论 设设A，B都是都是n阶矩阵，若阶矩阵，若AB E，则必有，则必有BA E；若若BA E，则必有，则必有AB E.第77页/共103页可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 (3)若若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且亦可逆，且(AB)1 B 1A 1.(2)若若A可逆，数可逆，数l l 0 0，则则l lA 可逆，可逆，且且(l lA)1 l l 1A 1.(1)若若A可逆，则可逆，则A 1也可逆，也可逆，且且(A 1)
16、1 A.(4)若若A可逆，则可逆，则AT也可逆，也可逆，且且(AT)1(A 1)T.(5)|A 1|=|A|1.下页第78页/共103页4 分块矩阵(1).列分块矩阵(2).行分块矩阵第79页/共103页 设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，将B的每一列分成一个子块，变为列分块矩阵，即 此时把A看作只有一块的矩阵，则 Ab bj(j=1,2,.,n)有意义,从而有下页 特殊分块矩阵的乘法特殊分块矩阵的乘法(验证，见下例.).)第80页/共103页分块对角矩阵和分块三角矩阵设A是n阶方阵，如果A的分块矩阵除主对角线上有非零子块外，其余子块都是零子块，即都是方阵，则称方阵为分块对角矩阵分块对角矩
17、阵，其中，或称为准对角矩阵准对角矩阵.下页第81页/共103页设有两个分块对角矩阵 其中，A,B同阶，且子块Ai，Bi同阶，i=1,2,s，可以证明（1）（2）下页第82页/共103页（3）（4）特别地，若A1，A2分别为m阶和n阶方阵，则 下页第83页/共103页特别地：特别地：下页第84页/共103页7、矩阵的秩 定义 若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).方法：任何一个秩为r 的矩阵A=(aij)m n都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br结论：结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.第85页/共103
18、页例例1 设 A，B均为四阶方阵，且 .计算计算 .解解 由方阵的行列式的运算规律，下页二、典型例题二、典型例题第86页/共103页例例1 1二、典型例题二、典型例题第87页/共103页第88页/共103页 思思考考设设n阶阶矩矩阵阵A满满足足aA2+bA+cE O，证证明明A为可逆矩阵，并求为可逆矩阵，并求A 1(a,b,c为常数，且为常数，且c 0)。又因又因c 0，故有，故有 aA2+bAcE，解解 由由aA2+bA+cE O，有，有 c 1(aA2+bA)E，即即 c 1(aA+bE)A E，因此因此A可逆，且可逆，且A 1c 1aA c 1bE。第89页/共103页解解例例2 2第9
19、0页/共103页例例3 3 设解解第91页/共103页例例4.计算 解解 设，A左右侧矩阵 都是初等矩阵.P12左乘以A相当于交换A的一、二行，而P122003A相当于将的一、二行交换了奇数次，因而 而B右乘以P13即是对矩阵B作一、三列的交换，BP132004表明共交换了偶数次，因而BP132004=B.所以，第92页/共103页解解例例5 5第93页/共103页第94页/共103页第95页/共103页例6：解解可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:第96页/共103页由初等方阵的性质得第97页/共103页例例7 7 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.解解 对矩阵对矩阵A A作初等行变换，得作初等行变换，得 由于由于r(A)=3n rn.3向量组，r，线性无关的充要条件是（）r1 它有一个部分向量组线性无关 r 它所有的部分向量组线性无关4若矩阵有一个r阶子式，且中有一个含有的r阶子式等于零，则一定有（）。（）r （）r （）r （）r+15设向量组a a，a a，a a，线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（a aa a，a aa a，a aaa ，2 2，23，3 ，2322，355第102页/共103页感谢您的观看。第103页/共103页