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1、数学数学(shxu)线性代数习题课线性代数习题课第一页，共103页。第1页/共103页第二页，共103页。把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 、全排列、全排列(pili)(pili)一、主要一、主要(zhyo)内容内容第2页/共103页第三页，共103页。逆序数逆序数(xsh)(xsh)为奇数的排列称为奇排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数(xsh)(xsh)为为偶数的排列称为偶排列偶数的排列称为偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，
2、若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为一个排列中所有逆序的总数称为(chn wi)(chn wi)此排列的逆此排列的逆序数序数、逆序数、逆序数(xsh)(xsh)第3页/共103页第四页，共103页。分别分别(fnbi)(fnbi)计算出排列中每个元素前面比它大的数计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法(fngf)2(fngf)2方法方法(fngf)1(fngf)1分别计算出排在
3、分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数、计算排列逆序数的方法、计算排列逆序数的方法第4页/共103页第五页，共103页。定义定义(dngy)在排列中，将任意两个在排列中，将任意两个(lin)元素对元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个(lin)元素对调，叫做邻换元素对调，叫做邻换定理定理(dngl)一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇
4、偶性推论推论奇排列奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列偶排列调成标准排列的对换次数为偶数调成标准排列的对换次数为偶数、对换、对换第5页/共103页第六页，共103页。、n n阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)(dngy)第6页/共103页第七页，共103页。第7页/共103页第八页，共103页。、n n阶行列式的性质阶行列式的性质(xngzh)(xngzh)第8页/共103页第九页，共103页。第9页/共103页第十页，共103页。）余子式与代数）余子式与代数(dish)余子式余子式、行列式按行（列）展开、行列式按行（列）展开(zhn ki)(zhn
5、ki)第10页/共103页第十一页，共103页。）关于代数）关于代数(dish)余子式的重要性质余子式的重要性质第11页/共103页第十二页，共103页。、Cramer(Cramer(克拉默克拉默)法则法则(fz)(fz)第12页/共103页第十三页，共103页。克拉默法则克拉默法则(fz)的理论价值的理论价值定理定理(dngl)定理定理(dngl)第13页/共103页第十四页，共103页。定理定理(dngl)定理定理(dngl)第14页/共103页第十五页，共103页。(一一)计算计算(j sun)(j sun)排列的逆序数排列的逆序数(二二)计算计算(j sun)(j sun)（证明）行列
6、式（证明）行列式(三三)Cramer)Cramer法则法则(fz)(fz)二、典型例题第15页/共103页第十六页，共103页。分别算出排列中每个元素前面比它大的数码分别算出排列中每个元素前面比它大的数码(shm)之之和，即算出排列中每个元素的逆序数和，即算出排列中每个元素的逆序数解解例例（一）计算排列（一）计算排列(pili)(pili)的的逆序数逆序数第16页/共103页第十七页，共103页。第17页/共103页第十八页，共103页。当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列于是于是(ysh)排列的逆序数为排列的逆序数为第18页
7、/共103页第十九页，共103页。用定义用定义(dngy)计算（证明）计算（证明）例用行列式定义例用行列式定义(dngy)计算计算(二二)计算计算(j sun)(j sun)（证明）（证明）行列式行列式第19页/共103页第二十页，共103页。解解第20页/共103页第二十一页，共103页。评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序(shnx)排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法注意注意(zh y)第21页/共103页第二十二
8、页，共103页。例例设设第22页/共103页第二十三页，共103页。证明证明(zhngmng)由行列式的定义由行列式的定义(dngy)有有第23页/共103页第二十四页，共103页。评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义所带的符号相同这也是用定义(dngy)证明两个行列证明两个行列式相等的常用方法式相等的常用方法第24页/共103页第二十五页，共103页。利用利用(lyng)范德蒙行列式计算范德蒙行列式计算例计算例计算(j sun)利用范德蒙行列式
9、计算行列式，应根据利用范德蒙行列式计算行列式，应根据(gnj)范德范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据式，然后根据(gnj)范德蒙行列式计算出结果。范德蒙行列式计算出结果。第25页/共103页第二十六页，共103页。解解第26页/共103页第二十七页，共103页。上面上面(shng min)(shng min)等式右端行列式为等式右端行列式为n n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知第27页/共103页第二十八页，共103页。评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的评注本题所给行列式各行（列）都是某元素
10、的不同方幂，而其方幂次数或其排列不同方幂，而其方幂次数或其排列(pili)与范德蒙行列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式化成范德蒙行列式第28页/共103页第二十九页，共103页。用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算(j sun)例计算例计算(j sun)第29页/共103页第三十页，共103页。解解第30页/共103页第三十一页，共103页。提取提取(tq)第一列的公因子，第一列的公因子，得得第31页/共103页第三十二页，共1
11、03页。第32页/共103页第三十三页，共103页。评注本题利用行列式的性质，采用评注本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素；若所给行列式中元素(yun s)(yun s)间具有某些特点，则间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质
12、，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的第33页/共103页第三十四页，共103页。用降阶法计算用降阶法计算(j sun)例计算例计算(j sun)解解第34页/共103页第三十五页，共103页。第35页/共103页第三十六页，共103页。第36页/共103页第三十七页，共103页。第37页/共103页第三十八页，共103页。评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降行（列）展开
13、，每展开一次，行列式的阶数可降低低 1阶，如此继续进行阶，如此继续进行(jnxng)，直到行列式能直接计算，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用对阶数不高的数字行列式比较适用第38页/共103页第三十九页，共103页。用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算(j sun)例证明例证明(zhngmng)证证第39页/共103页第四十页，共103页。用递推法计算用递推法计算(j sun)例计算例计算(j sun)解解第40页/共103页第四十一页，共103页。第41页/共103页第四十二页，共
14、103页。第42页/共103页第四十三页，共103页。由此递推，得由此递推，得如此如此(rc)继续下去，可得继续下去，可得第43页/共103页第四十四页，共103页。第44页/共103页第四十五页，共103页。评注评注(pngzh)第45页/共103页第四十六页，共103页。用数学用数学(shxu)归纳法归纳法例证明例证明(zhngmng)第46页/共103页第四十七页，共103页。证证对阶数对阶数n用数学用数学(shxu)归纳法归纳法第47页/共103页第四十八页，共103页。第48页/共103页第四十九页，共103页。评注评注(pngzh)第49页/共103页第五十页，共103页。计算行列
15、式的方法比较计算行列式的方法比较(bjio)灵活，同一行列式可灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法 见下例见下例小结小结(xioji)第50页/共103页第五十一页，共103页。解：解：例例9.计算计算(j sun)行列式行列式(拆分法与递推法拆分法与递推法)下页第51页/共103页第五十二页，共
16、103页。,(D2=5)第52页/共103页第五十三页，共103页。当线性方程组方程个数与未知数个数相等当线性方程组方程个数与未知数个数相等(xingdng)、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解（三）（三）CramerCramer法则法则(fz)(fz)第53页/共103页第五十四页，共103页。解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题
17、意由题意(t y)得得第54页/共103页第五十五页，共103页。由克莱姆法则由克莱姆法则(fz)，得，得于是于是(ysh)，所求的多项式为，所求的多项式为第55页/共103页第五十六页，共103页。例例1111 问问 取何值时，取何值时，齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解？有非零解？解解由于由于(yuy)齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.第56页/共103页第五十七页，共103页。证证第57页/共103页第五十八页，共103页。第58页/共103页第五十九页，共103页。第59页/共103页第六十页，共103页。第60页
18、/共103页第六十一页，共103页。第第1 1章章 测试题测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共4040分分)第61页/共103页第六十二页，共103页。第62页/共103页第六十三页，共103页。第63页/共103页第六十四页，共103页。第64页/共103页第六十五页，共103页。二、计算二、计算(j sun)(j sun)下列行列式下列行列式(每小题每小题9 9分，共分，共1818分分)第65页/共103页第六十六页，共103页。有非零解？有非零解？三、解答三、解答(jid)(jid)题题(9(9分分)第66页/共103页第六十七页，共103页。四、证明四、证明(zh
19、ngmng)(zhngmng)(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)第67页/共103页第六十八页，共103页。第68页/共103页第六十九页，共103页。第69页/共103页第七十页，共103页。五、五、(9(9分分)设设 行列式行列式求第一行各元素求第一行各元素(yun s)的代数余子式之和的代数余子式之和第70页/共103页第七十一页，共103页。测试题答案测试题答案(d n)(d n)第71页/共103页第七十二页，共103页。第第 2 章章 矩阵矩阵(j zhn)习习 题题 课课一、主要一、主要(zhyo)内容内容二、典型二、典型(dinxng)例题例题三、测试题三、测试题第
20、72页/共103页第七十三页，共103页。一、主要一、主要(zhyo)内容内容1 1 向量的概念向量的概念(ginin)(ginin)与与运算运算2 2 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的概念的概念与运算与运算第73页/共103页第七十四页，共103页。cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1,2,m；j1,2,n).a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj.(ai1 a
21、i2 ais)b1jb2jbsj 条件：条件：A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意义才有意义(yy);结果：结果：C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数.过程：过程：向量的内积向量的内积 因此，cij 可表示(biosh)为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.(1).(1).矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的乘法的乘法cij下页第74页/共103页第七十五页，共103页。应注意应注意(zh y)(zh y)的问题的问题 (1)AB BA；(3)AB OA O或或B O；/(2)AC BCA B；/矩阵乘法矩阵乘法(chngf)(chn
22、gf)的性质的性质 (4)AA AA E或或A O./(1)(AB)C A(BC)；(2)(A+B)C AC+BC；(3)C(A+B)CA+CB；(4)k(AB)(kA)B A(kB).下页第75页/共103页第七十六页，共103页。定义定义(dngy)设设A是是n阶方阵，由阶方阵，由A的元素构成的元素构成(guchng)的的n阶行列式阶行列式称为方阵称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为|A|或或det A.性质：设性质：设A、B为为n阶方阵阶方阵(fn zhn)，k为数，则为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A|B|.(2)|kA|=kn|A|;(2).(2).方阵的行列式方
23、阵的行列式显然，显然，|E|=1|=1.一般地，若一般地，若A1,A2,Ak都是都是n阶方阵，则阶方阵，则 显然显然 下页第76页/共103页第七十七页，共103页。3.逆矩阵逆矩阵(j zhn)定义 对于n阶矩阵A，如果存在(cnzi)n阶矩阵B，使得 ABBAE，那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.n阶阶矩矩阵阵(j zhn)A为为可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是|A|0，而而且且其中其中A*为方阵为方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.A*，1|A|A-1方阵可逆的充分必要条件方阵可逆的充分必要条件推论推论 设设A，B都是都是n阶矩阵，若阶矩阵，若AB E，则必有，则必有BA E；若
24、若BA E，则必有，则必有AB E.第77页/共103页第七十八页，共103页。可逆矩阵可逆矩阵(j zhn)(j zhn)的性质的性质 (3)若A、B为同阶可逆矩阵(j zhn)，则AB亦可逆，且(AB)1B 1A1.(2)若若A可逆，数可逆，数l l 0 0，则则l lA 可逆，可逆，且且(l lA)1 l l 1A 1.(1)若若A可逆，则可逆，则A 1也可逆，也可逆，且且(A 1)1 A.(4)若若A可逆，则可逆，则AT也可逆，也可逆，且且(AT)1(A 1)T.(5)|A 1|=|A|1.下页第78页/共103页第七十九页，共103页。4 分块矩阵分块矩阵(j zhn)(1).列分块
25、矩阵列分块矩阵(j zhn)(2).行分块矩阵行分块矩阵(j zhn)第79页/共103页第八十页，共103页。设设A A是一个是一个mnmn矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)，B B是一个是一个nsns矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)，将，将B B的每一列分的每一列分成一个子块，变为列分块矩阵成一个子块，变为列分块矩阵(j zhn)(j zhn)，即，即 此时把此时把A A看作看作(kn zu)(kn zu)只有一块的矩阵，则只有一块的矩阵，则 Abj(j=1,2,.,n)Abj(j=1,2,.,n)有意义有意义,从而有从而有下页 特殊分块矩阵特殊分块矩阵(j zhn)的乘法的乘法(验
26、证，见下例验证，见下例.).)第80页/共103页第八十一页，共103页。分块对角分块对角(du jio)(du jio)矩阵和分块三角矩阵矩阵和分块三角矩阵设设A A是是n n阶方阵，如果阶方阵，如果(rgu)A(rgu)A的分块矩阵除主对角线上有非零子块外，其余子块都是零子块，即的分块矩阵除主对角线上有非零子块外，其余子块都是零子块，即都是方阵，则称方阵为都是方阵，则称方阵为分块对角矩阵分块对角矩阵，其中，其中，或称为准对角或称为准对角(du jio)(du jio)矩阵矩阵.下页第81页/共103页第八十二页，共103页。设有两个分块对角矩阵设有两个分块对角矩阵 其中，其中，A,B同阶，
27、且子块同阶，且子块Ai，Bi同阶，同阶，i=1,2,s，可以证明，可以证明（1）（2）下页第82页/共103页第八十三页，共103页。（3）（4）特别特别(tbi)(tbi)地，若地，若A1A1，A2A2分别为分别为m m阶和阶和n n阶方阵，则阶方阵，则 下页第83页/共103页第八十四页，共103页。特别特别(tbi)地：地：下页第84页/共103页第八十五页，共103页。7、矩阵、矩阵(j zhn)的秩的秩 定义定义(dngy)若矩阵若矩阵A有一个有一个r阶子式不为零，而所有阶子式不为零，而所有r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于零，则全等于零，则r称为矩阵称为矩阵A的秩
28、，记作的秩，记作r(A).方法：方法：任何一个秩为任何一个秩为r r 的矩阵的矩阵(j zhn)A=(aij)mn(j zhn)A=(aij)mn都可以通过初等都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵行变换化为行阶梯形矩阵(j zhn)Br(j zhn)Br结论：结论：行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵的非零行的个数，即为矩阵A的秩的秩.第85页/共103页第八十六页，共103页。例例1 设设 A，B均为四阶方阵均为四阶方阵(fn zhn)，且，且 .计算计算(j sun).解解 由方阵的行列式的运算由方阵的行列式的运算(yn sun)规律，规律，下页二、典型例题二、典型例题第8
29、6页/共103页第八十七页，共103页。例例1 1二、典型二、典型(dinxng)例题例题第87页/共103页第八十八页，共103页。第88页/共103页第八十九页，共103页。思思考考设设n阶阶矩矩阵阵(j zhn)A满满足足aA2+bA+cE=O，证证明明A为为可逆矩阵可逆矩阵(j zhn)，并求，并求A-1(a,b,c为常数，且为常数，且c0)。又因又因c 0，故有，故有 aA2+bAcE，解解 由由aA2+bA+cE O，有，有 c 1(aA2+bA)E，即即 c 1(aA+bE)A E，因此因此(ync)A可逆，且可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE。第89页/共103页第九十页
30、，共103页。解解例例2 2第90页/共103页第九十一页，共103页。例例3 3 设设解解第91页/共103页第九十二页，共103页。例例4.计算计算(j sun)解解 设设，A左右侧矩阵左右侧矩阵(j zhn)都都 是是 初初 等等 矩矩 阵阵.P12左左 乘乘 以以 A相相 当当 于于 交交 换换(jiohun)A的的 一一、二二 行行，而而P122003A相当于将的一、二行交换相当于将的一、二行交换(jiohun)了奇数次，因而了奇数次，因而 而而B右右乘乘以以P13即即是是对对矩矩阵阵B作作一一、三三列列的的交交换换，BP132004表表明明共共交交换换了了偶偶数数次次，因因而而BP
31、132004=B.所以，所以，第92页/共103页第九十三页，共103页。解解例例5 5第93页/共103页第九十四页，共103页。第94页/共103页第九十五页，共103页。第95页/共103页第九十六页，共103页。例例6 6：解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,而得而得.而这而这4次初等变换所对应次初等变换所对应(duyng)的初等方阵为的初等方阵为:第96页/共103页第九十七页，共103页。由初等由初等(chdng)方阵的方阵的性质得性质得第97页/共103页第九十八页，共103页。例例7 7 讨论下列讨论下列(xili)(xili)向量组
32、的线性相关性向量组的线性相关性.解解 对矩阵A作初等(chdng)行变换，得 由于(yuy)r(A)3n rn.3向量组向量组，r，线性无关，线性无关(wgun)的充要条件是（的充要条件是（）r1 它有一个部分向量组线性无关它有一个部分向量组线性无关(wgun)r 它所有的部分向量组线性无关它所有的部分向量组线性无关(wgun)4若矩阵有一个若矩阵有一个(y)r阶子式阶子式，且中有一个，且中有一个(y)含有含有的的r阶子式等于零，则一定有（阶子式等于零，则一定有（）。）。（）（）r （）（）r （）（）r （）（）r+15设向量组设向量组a a，a a，a a，线性无关，则下列向量组中，线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（线性无关的是（a aa a，a aa a，a aaa ，2 2，23，3 ，2322，355第102页/共103页第一百零三页，共103页。