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1、2、设设n 维向量维向量 =(a,0,0,a)T(a0),其中其中A的逆矩阵为的逆矩阵为B B，求求a的值的值。A=E-T,B=E-T/a,解：解：AB=E+(1-1/a-2a)T,AB=E 1-1/a-2a=0a=-1/2(a=1舍去舍去)线性代数习题习题课（一）第1页/共60页3、设设A与A+E均可逆均可逆，G=E-(A+E)-1,求求 G-1。G=E-(A+E)-1=A(A+E)-1G-1=(A(A+E)-1)-1=(A+E)A-1=(A+E)(A+E)-1-(A+E)-1由由A与与A+E均可逆可知均可逆可知G也可逆，且也可逆，且线性代数习题习题课（一）第2页/共60页4、设四阶矩阵设四
2、阶矩阵A=(,r2,r3,r4),B=(,r2,r3,r4),|A+B|=|+，2r2,2r3,2r4|=8(|A|+|B|)=40 其中其中，r2,r3,r4均为均为4维向量维向量，且已知且已知|A|=|=4,|B|=1,求求|A+B|。线性代数习题习题课（一）第3页/共60页5、设设且且 AX=A+2X,求矩阵求矩阵X.线性代数习题习题课（一）第4页/共60页解解:因为因为 AX=A+2X,所以所以(A2E)X=A,而而又线性代数习题习题课（一）第5页/共60页所以所以线性代数习题习题课（一）第6页/共60页6、设设求求 An线性代数习题习题课（一）第7页/共60页解：解：设设 A=E+H
3、，Hn=0(n3),，H=0 1 1 0 0 1 0 0 0 则则H2=0 0 1 0 0 0 0 0 0 其其中 故故 An=(E+H)n=n E+n-1H+n-2H2 n nn-1 n(n-1)n-2/2 0 n nn-1 0 0 n=线性代数习题习题课（一）第8页/共60页7、设矩阵设矩阵且且r(A)=2，求求 和和 的值的值。线性代数习题习题课（一）第9页/共60页1 -1 1 25 3 63 -1 2解：解：A r2r3 r2-5r1 r3-3r11 -1 1 20 8 -5 -40 +3 -4 -4 r3-r21 -1 1 20 8 -5 -40 -5 +1 0 又又 r(A)=2
4、,故 =5,=-1线性代数习题习题课（一）第10页/共60页8、多项式多项式 ,x -1 0 x 2 2 3 x-7 10 4 3 1 -7 1 x f(x)=求求f(x)中常数项的值中常数项的值。解：观察解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为的结构可知，常数项的值为d=-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3)=3线性代数习题习题课（一）第11页/共60页9、设、设 ,求求A2014。解：注意到解：注意到A3=-E,A6=E，故故 A2014=(A6)335A3A=-A线性代数习题习题课（一）第12页/共60页10、计算行列式、计算行列式 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -1
5、1 2 3 0 D=解：解：5 5 4 05 1 0 02 2 1 -11 2 3 0 D=5 5 4 5 1 0 1 2 3 =-20 5 4 0 1 0 -9 2 3 =-20 4 -9 3 =24线性代数习题习题课（一）第13页/共60页11、设设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*,(1)若|A|=0,则则|A*|=0;证明证明:(2)|A*|=|A|n1.线性代数习题习题课（一）第14页/共60页证证(1):当当A=0时时,则则|A|的所有代数余子式的所有代数余子式从而从而A*=0,故故|A*|=0.当当 A O且且|A|=0时时,用反证法证明用反证法证明.假设假设|A*|0
6、,则有则有A*(A*)1=E,故故 A=AE=AA*(A*)1=AA*(A*)1 =|A|E(A*)1=O,这与这与A 0矛盾矛盾,故当故当|A|=0时时,|A*|=0.均为均为0,线性代数习题习题课（一）第15页/共60页(2)当当|A|=0时时,则由则由(1)得得|A*|=0,从而从而|A*|=|A|n1成立成立.当当|A|0时时,由由 AA*=|A|E 得得,|A|A*|=|AA*|=|A|E|=|A|n,由由|A|0得得,|A*|=|A|n1.线性代数习题习题课（一）第16页/共60页 12、设设A A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是也是证证:A为可逆矩阵为
7、可逆矩阵，则则|A*|=|A|n-10，故故A*是可逆的是可逆的。又又 A*=|A|A-1，故故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A显然显然 A*(A-1)*=E，故故(A*)=(A-1)*。可逆的可逆的，且且(A*)=(A-1)*。线性代数习题习题课（一）第17页/共60页13、设矩阵、设矩阵A,B满足满足A*BA=2BA-E,其中其中A=diag(1,-2,1),A*为为A的伴随矩阵，求矩阵的伴随矩阵，求矩阵B解解:|A|=-2,故故A可逆，且可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1),又又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2)故故2(E+A-1)
8、BA=E,即即B=(E+A-1)-1A-1/2故故B=diag(-1,1/2,-1)又又(E+A-1)-1=diag(-1,1/2,-1)线性代数习题习题课（一）第18页/共60页14、设、设n阶矩阵阶矩阵 A、B、A+B可逆，可逆，试证明试证明:A-1+B-1可逆可逆,并求其逆矩阵。并求其逆矩阵。证明：证明：A+B=A(A-1+B-1)B,|A+B|=|A|A-1+B-1|B|,又因为又因为 A、B、A+B可逆，可逆，故故A、B、A+B的行列式不为零。的行列式不为零。故故A-1+B-1的行列式不为零，的行列式不为零，即即A-1+B-1为可逆矩阵。为可逆矩阵。又A-1(A+B)B-1=A-1+
9、B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A线性代数习题习题课（一）第19页/共60页15、设行列式、设行列式 ，1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 D=解：解：1 1 2 23 -1 -1 11 -1 1 -11 2 3 0D=2 1 3 2 -4 4 3 2 1 =34第三行各元素余子式之和。第三行各元素余子式之和。1 2 1 33 2 -4 41 0 0 01 3 2 1 =显然 M31+M32+M33+M34=D=34线性代数习题习题课（一）第20页/共60页线性代数习题习题课（一）16、设设 1=(1,1,1)T,2=(1,2,3)T,1=(1,3
10、,t)T(1)问问t为何值时为何值时，向量组向量组 1、2、3线性无关？线性无关？(2)问问t为何值时为何值时，向量组向量组 1、2、3线性相关？线性相关？线性相关时，将线性相关时，将 3 由由 1、2线性表出。线性表出。解解：(1,2,1)=1 1 11 2 31 3 t1 1 10 1 20 0 t-51 0 -10 1 20 0 t-5故故t=5时时，向量组向量组 1、2、3线性相关，线性相关，且且 3=-1+2 2第21页/共60页线性代数习题习题课（一）17、设、设 1=m 1+3 2+3,2=2 1+(m+1)2+3,3=-2 1-(m+1)2+(m-1)3,其中向量组其中向量组
11、1、2、3线性无关，线性无关，试讨论向量组试讨论向量组 1、2、3线性相关性。线性相关性。第22页/共60页线性代数习题习题课（一）解：解：(1 2 3)=(1 2 3)m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1 m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1=m(m-2)(m+1)故故m=0,否则否则向量组线性无关。向量组线性无关。或或m=-1,或或m=2时向量组线性相关。时向量组线性相关。第23页/共60页1、设设A为为n阶方阵阶方阵，A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵，det (-1)n 3det(A)=1/3,则则线性代数习题习题课（一）第24页/共60页2、设三阶方阵A0，B=
12、,且AB=0，则t=41 3 52 4 t3 5 3解：设解：设A=(1,2,3),则则AB=(1+2 2+3 3,3 1+4 2+5 3,5 1+t 2+3 3)由于由于AB=0，则则B的列向量为的列向量为AX=0的解的解又三阶方阵A0，故故AX=0至多有两个至多有两个线性无关的解向量线性无关的解向量,即即r(B)2。线性代数习题习题课（一）第25页/共60页3、若若n阶矩阵阶矩阵A满足方程满足方程A2+2A+3E=0则则 A-1=4、设设A为三阶矩阵，且为三阶矩阵，且|A|=1则则|2A-1+3A*|=53=125线性代数习题习题课（一）第26页/共60页5、设A=,则 An=3 0 0
13、0 1 0 0 0 4 3n 0 0 0 1 0 0 0 4n线性代数习题习题课（一）设A=,0 0 3 0 1 0 4 0 0则 An=12n 0 0 0 1 0 0 0 12nA2n+1=0 0 4n3n+1 0 1 0 4n+13n 0 0 A2n=第27页/共60页6、设A=,则 A-1=3 0 0 0 1 0 0 0 4 1/3 0 0 0 1 0 0 0 1/47、设设 =(a1,a2,an)0,=(b1,b2,bn)0且且A=T，则则 r(A)=1r(AB)minr(A),r(B)线性代数习题习题课（一）设A=,0 0 3 0 1 0 4 0 0则 A-1=0 0 1/4 0 1
14、 0 1/3 0 0第28页/共60页8、设设A为4阶方阵阶方阵,则则r(A*)=1 r(A*)=n,若r(A)=n1,若r(A)=n-10,若r(A)n-2(2)若若矩阵矩阵A的秩的秩r(A)=2，A*为为A的伴随矩阵的伴随矩阵，则则r(A*)=0线性代数习题习题课（一）(1)若若矩阵矩阵A的秩的秩r(A)=3，第29页/共60页线性代数习题习题课（一）9、设设A为为43矩阵矩阵，且且r(A)=2,而而B=,1 0 2 0 2 0-1 0 3则则 r(AB)=210、设设A=,k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k且且r(A)=3,则则 k=-3第30页/共60页11
15、、设三阶矩阵设三阶矩阵A=,B=,1 2 1 2且|A|=2,|B|=3,则则|3A|=|A+B|=,|A-B|=|AT+BT|=5420020线性代数习题习题课（一）第31页/共60页作 业 题 答 案1、设矩阵设矩阵2 0 4 11 -2 4 3A=1 2 -2 30 2 -1 4B=3 4 1 22 -3 2 -1C=则则(1)A+B=3 2 2 41 0 3 72A-3C=-2 -2 -3 1-2 5 -3 5B-C=-5 -12 5 -4-4 5 2 9(2)若矩阵若矩阵X满足满足A+2X=C,则则X=(C-A)/2=1/2 2 -3/2 1/21/2 -1/2 -1 -2第32页/
16、共60页(3)若矩阵若矩阵Y满足满足(2A+Y)+3(B-Y)=0,则则Y=(2A+3B)/2=7/2 3 1 11/2 1 1 5/2 9(4)若矩阵若矩阵X、Y满足满足3X-Y=2A,X+Y=B,则则X=(2A+B)/4=5/4 1/2 3/2 5/41/2 -1/2 7/4 5/2则则Y=(3B-2A)/4=-1/4 3/2 -7/2 7/4-1/2 5/2 -11/4 3/5作 业 题 答 案第33页/共60页 4 -1 0 5-2 2 1 32、设矩阵设矩阵A=,B=1 0 -2 34-2 -1 05 -3 2 1则则ABT=4 -1 0 5-2 2 1 3 1 4 5 0 -2 -
17、3 -2 -1 2 3 0 119 18 28 5 -13 11=作 业 题 答 案第34页/共60页线性代数习题习题课（一）3、用初等变换将矩阵、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、化成阶梯形矩阵、行最简形矩阵、及标准型行最简形矩阵、及标准型。A=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 91 1 -2 1 42 -1 -1 1 24 -6 2 -2 43 6 -9 7 9 r1r2 r4-(r1+r2)r3-2r2 r2-2r11 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 -4 4 -4 00 6 -6 5 3(-1/4)r3 r4+r21 1 -2
18、 1 40 -3 3 -1 -60 1 -1 1 00 2 -2 1 3第35页/共60页 r3+3r2 r4-2r2 r2r31 1 -2 1 40 1 -1 1 00 -3 3 -1 -60 2 -2 1 31 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 2 -60 0 0 -1 3 r3r41 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 -1 30 0 0 2 -6 r1+r3 r1-r2 r4+2r3 -r31 0 -1 0 70 1 -1 0 00 0 0 1 -30 0 0 0 0 c3+c1 c3-c2 c5-7c1 c3-3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0
19、 0 1 00 0 0 0 0 c3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0作 业 题 答 案第36页/共60页作 业 题 答 案4、求、求A的逆矩阵的逆矩阵(AE)=1 1 -1 1 0 0 1 2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 r2-r1 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2-1 1 0 0 1 1 0 0 1 r3-r2 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2-1 1 0 0 0 3 1-1 1(1/3)r3 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1+r3 r2+2r3 1 1 0 4
20、/3 -1/3 1/3 0 1 0-1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1-r2 1 0 0 5/3 -2/3 -1/3 0 1 0-1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3第37页/共60页作 业 题 答 案5、解矩阵方程、解矩阵方程:(AB)=1 2 1 -1 3 3 2 4 5 3r2-3r1 1 2 1 -1 3 0 -4 1 8 -6(AX=B)(-1/4)r2 1 2 1 -1 3 0 1 -1/4 -2 3/2r1-2r2 1 0 3/2 3 0 0 1 -1/4 -2 3/2 3/2 3 0 -1/4 -2 3/2 X=第38页/共
21、60页作 业 题 答 案6、解矩阵方程、解矩阵方程:(AXB=C)2 -4 3 2 0 1 1 -2 4=A=E(r1,r2)=A-1,B=E(r2,r3)=B-1,X=A-1CB-1=E(r1,r2)E(r2,r3)2 1 0 2 3 -4 1 4 -2第39页/共60页作 业 题 答 案7、设矩阵、设矩阵A、B满足满足AB=2B+A,且且A=3 0 1 1 2 0 0 1 4解、有题设可知：解、有题设可知：(A-2E)B=A(A-2E A)=1 0 1 3 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 1 4 1 0 0 1 2 0 0 1 0 -4 5 2 0 0 1 2 -2 1B=
22、1 2 0-4 5 2 2 -2 1第40页/共60页8、计算行列式、计算行列式2 0 0 40 1 -1 20 -4 0 05 2 -3 8 D=2 0 40 -1 25 -3 8 =41 0 10 -1 15 -3 4=161 0 00 -1 15 -3 -1=161 0 00 -1 05 -3 -4=16=64作 业 题 答 案第41页/共60页作 业 题 答 案9、求矩阵、求矩阵A的伴随矩阵及逆矩阵。的伴随矩阵及逆矩阵。1 1 11 0 -13 2 3 A=矩阵矩阵A的代数余子式为：的代数余子式为：A11=2,A21=-1,A31=-1,A12=-6,A22=0,A32=2,A13=2
23、,A23=1,A33=-1,A的伴随矩阵为：的伴随矩阵为：2 -1 -1-6 0 2 2 1 -1A*=矩阵矩阵A行列式：行列式：|A|=-2A的逆矩阵为：的逆矩阵为：-1 1/2 1/2 3 0 -1-1 -1/2 1/2 A-1=第42页/共60页作 业 题 答 案10、设、设 A=1 -2 3k-1 2k -3 k -2 3则则 A 1 -2 3k 0 2(k-1)3(k-1)0 0 3(k-1)(k+2)若若r(A)=1,则则 k=1;若若r(A)=2,则则 k=-2;若若r(A)=3,则则 k1,k-2.第43页/共60页作 业 题 答 案11、设、设 A=1 -1 1 2 3 a
24、-1 2 5 3 b 6则则 A若若r(A)=2,则则 1 -1 1 2 0 8 b-5 -4 0 a+3 -4 -4a+3 8=-4b-5-4-4=故故 a=5,b=1第44页/共60页第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 12.已知向量组已知向量组 1=(1,1,1,2),2=(3,1,2,5),3=(2,0,1,3),4=(1,-1,0,1),(2)求出该向量组所有的极大无关组；求出该向量组所有的极大无关组；(1)求该向量组的秩；求该向量组的秩；(3)确定一个极大无关组，并将其余向量确定一个极大无关组，并将其余向量 5=(4,2,3,7),用该极大无关组线性表
25、出用该极大无关组线性表出 复复 习习第45页/共60页第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 解解：(1T,2T,3T,4T,5T)=1 3 2 1 4 1 1 0 -1 2 1 2 1 0 3 2 5 3 1 7初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 1 3 2 1 4 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换极大无关组为：极大无关组为：且且 3=-1+2，4=-2 1+2,1 0 -1 -2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,2；1,3；1,4；1,5；5=1+2 2,3
26、；2,4；2,5；3,4；3,5；4,5；复复 习习第46页/共60页作 业 题 答 案第47页/共60页作 业 题 答 案第48页/共60页作 业 题 答 案第49页/共60页线性代数习题习题课（一）第50页/共60页线性代数习题习题课（一）第51页/共60页线性代数习题习题课（一）第52页/共60页线性代数习题习题课（一）第53页/共60页线性代数习题习题课（一）第54页/共60页线性代数习题习题课（一）第55页/共60页线性代数习题习题课（一）第56页/共60页线性代数习题习题课（一）第57页/共60页线性代数习题习题课（一）第58页/共60页线性代数习题习题课（一）第59页/共60页感谢您的观看！第60页/共60页