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1、精品_精品资料_高中高一数学必修 1 各章学问点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性.2.元素的互异性.3. 元素的无序性说明： 1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(2) 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3) 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样.(4) 集合元素的三个特性使集
2、合本身具有了确定性和整体性.3、集合的表示： 如我校的篮球队员 ,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法.留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R关于“属于”的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合的元素通常用小写的拉丁字母表示, 如：a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反, a 不属于集合 A 记作 a.A列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.描述法：将集合
3、中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x.R| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：1. 有限集含有有限个元素的集合2. 无限集含有无限个元素的集合3. 空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5 二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意： 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,.（ 2）A 与 B 是同一集合.反之: 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“相等”关系5 5,且
4、 55,就 5=5实例：设A=x|x2-1=0B=- 1,1“元素相同 ”结论：对于两个集合 A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B, 即： A=B 任何一个集合是它本身的子集. AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_真子集 :假如 AB,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B 或 B A假如 AB, B C , 那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的
5、真子集.三、集合的运算1交集的定义： 一般的, 由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B的交集记作 AB读作”A交 B”,即 AB=x|xA,且 xB2、并集的定义：一般的,由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作： AB读作”A并 B”,即 AB=x|x A,或 xB3、交集与并集的性质： AA = A, A = , AB = BA,AA = A,A= A ,A B = B A.4、全集与补集（1） ）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即 ）,由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的
6、补集（或余集） 记作： CSA即 CSA =x | x.S 且 x.ASCsA A（2） ）全集：假如集合 S 含有我们所要讨论的各个集合的全部元素,这个集合就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以看作一个全集.通常用 U 来表示.（3） ）性质： CUC UA=A C UA A= CUAA=U二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值
7、范畴 A 叫做函数的定义域. 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意： 2 假如只给出解析式 y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合. 3 函数的定义域、 值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1分式的分母不等于零. 2 偶次方根的被开方数不小于零. 3对数式的真数必需大于零. 4指数、对数式的底必需大于零且不等于1.5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各 部分都有意义的
8、 x 的值组成的集合 .（ 6）指数为零底不行以等于零6实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的, 所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域 和对应关系完全一样, 而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域补充
9、1、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都 应先考虑其定义域 .2. 应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.3. 函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 Px, y的集合 C,叫做函数 y=fx,xA的图象C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x, y,均在 C 上 . 即记为 C= Px,y | y= fx , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线
10、 或直线 ,也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法：依据函数解析式和定义域,求出x,y 的一些对应值并列表,以 x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px, y ,最终用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质. 2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.发觉解题中的错误.4. 快去明白区间的概念（1） ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.（2）无穷区间.（ 3）区可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品_精品资料_间的数轴表示5. 什么叫做映射一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应, 那么就称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作 “：fA B”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,b B. 且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合 A、B 及对应法就 f 是确定的.对应法就有 “方向性 ”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它
12、与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的. 对于映射 f ：AB 来说,就应满意：（）集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的.（）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个.（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判 断一个图形是否是函数图象的依据. 2 解析法：必需注明函数的定义域. 3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域.化简函数的解析式.观看函数的 特点. 4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意啊：解析
13、法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本 P24-25 ）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（ 1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.（2） ）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 y=fu,u M,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx , xA称为
14、 f、g 的复合函数.例如:y=2sinXy=2cosX2+1 7函数单调性（ 1）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2 ,那么就说 fx在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=fx 的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1 ,x2 ,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.2 必
15、需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 ,x2 .当 x1x2 时,总有 fx1fx2.（ 2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的 图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1,x2 D,且 x11,且 *当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数, 负数的 次方根是一个负数 此时, 的次方根用符号表示式子 叫做根式（ radical ）,这里 叫做根指数（ radical exponent ）, 叫做被开方数（ radic
16、and ）当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数的正的 次方根用符号表示,负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的次方根可以合并成 （ 0 ）由此可得：负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是0,记作 .留意：当 是奇数时, ,当 是偶数时,2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：,0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后, 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3. 实数指数幂的运算性质（ 1） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）.（
17、3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般的,函数叫做指数函数（ exponential）,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质a10a10a1图象特点函数性质函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为（ 0, ）图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向 y 轴正负方向无限延长函数的值域为 R函数图象都过定点（ 1,0）自左向右看,图象逐步上升自左向右看,图象逐步下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 0其次象限的图象纵坐标都
18、小于 0其次象限的图象纵坐标都小于 0（三）幂函数1、幂函数定义：一般的,形如的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1） ）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）.（2） ） 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数特殊的,当时, 幂函数的图象下凸.当时,幂函数的图象上凸.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ） 时,幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限的靠近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限的靠近 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把
19、使 成立的实数 叫做函数 的零点.2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标.即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点3、函数零点的求法： 求函数 的零点：1 （代数法）求方程 的实数根.2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点： 二次函数 1） 0 ,方程 有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点2） 0,方程 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0,方程 无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载