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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高三数学一轮复习函数的奇偶性函数的奇偶性、 周期性是函数的重要性质,是高考命题热点之一,在考查时, 常与其他性质 如单调性 综合在一起,从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主,一般为简洁题,周期性与三角函数结合比较明显,但也常显现在抽象函数中,多为求值问题,以挑选题或填空题形式显现一、要点精讲1、函数的奇偶性的定义：对于函数fx定义域内定义域内任意一个x ,如有 _ _ _,就函数fx为奇函数；如有 _ _,那么函数fx 为偶函数 . 2、奇偶函数的性质： 定义域关于原点对称； 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的
2、图象关于原点对称； 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶 +偶 =偶,偶偶=偶,奇偶=奇f00f x 为偶函数f x f|x| 如奇函数f x 的定义域包含 0 ,就3、判定函数奇偶性的途径： 依据图象的对称性进行判定 依据常见函数奇偶性的结论进行判定 运用定义法判定函数奇偶性,第一考虑定义域是否关于原点对称,其次看 fx是否等于 fx或 fx对抽象函数奇偶性的判定,要留意挖掘函数“ 原形”4、周期性,采纳“ 赋值” 等策略1周期函数：对于函数 yfx,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有fxT fx ,那么就称函数 yfx为周期函数,称 T 为这个函数的周期2最小正周期： 假
3、如在周期函数 fx的全部周期中 存在一个最小 的正数, 那么这个最小正数就叫做 fx 的最小正周期二、基本训练1下面四个结论中,正确命题的个数是 ）偶函数的图象关于y 轴对称既是偶函数的图象肯定与y 轴相交奇函数的图象肯定通过原点奇函数,又是偶函数的函数肯定是fx=0xR A.1 B.2 C.3 D.4 解 : 不对；不对,由于奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为fx=0 x-a,a . 2以下各函数中是奇函数的是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （A）fxx2xR学习必备欢迎下
4、载 （B）fx3 x2 x0,（C）fxx3xxR（D）fxlgx3 x0 ,3. 已知函数fx是奇函数,当x0时,fxx1x；当x0时,fx等于（A）x 1x（B）x 1x（C）x 1x（D）x 1x4已知 fx在 R 上是奇函数,且满意fx4fx,当 x0,2时, fx2x 2,就 f2022A 2 B 2 C 98 D 98 解：由 fx4fx, fx的周期为4, f2022 f50243f3f1,又 fx为奇函数, f1 f1,f12 1 22, f1 f1 2. 5已知函数yfx为奇函数,如f3f21,就 f2f3_. , b = ；解： yfx为奇函数,f2f3 f2f31. 6.
5、 已知函数 fx=ax2+bx+ca 0 是偶函数,那么gx=ax3+bx2+cx 是 A. 奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析 : 由 fx 为偶函数,知b=0,有 gx=ax3+cxa 0 为奇函数 . 7、已知fxax2bx3ab为偶函数,且定义域为a,1 2 a ,就 a = b=0. 解析 : 定义域应关于原点对称,故有a-1=-2a ,得 a=1 . 要使 f-x=fx 3恒成立,应三、典例解析考点一：函数奇偶性的判定1、判定以下函数的奇偶性fx |x122 x2；0f x lgx2lg1；f x fx 1x1x奇|x21xf x fx 2 xx fxx2x
6、1解：（ 1）由1x20得定义域为 1,00,1 ,lg1x2lg1x2|x22 | 2x222x22 既是奇函数也是偶函数名师归纳总结 （3）由1 1x0,得定义域为 1,1,关于原点不对称,f x 为非奇非偶函数第 2 页,共 9 页x（4）fxalg12 x lg12x2f x f x 为偶函数x2x（5）分a0与0两种情形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（6）解：当 x1, fx x2x2fx当 x1 时, fx x2, x0 A x|x4 B x|x4 C x|x6 D x|x2 解： fx20 等价于 f|x2|0 f2
7、,又 fxx38x0为增函数, |x2|2.解得 x4 或 x0. 6、定义在 R 上的奇函数f（x）在 0, +上是增函数,又f（ 3）=0,就不等式xf（x） 0 的解集为A. （ 3,0）（ 0,3）C.（ 3,0）（ 3,+）B.（, 3）（ 3,+）D.（, 3）（ 0,3）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载就使得 fx0的 x 的取值范畴解：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 7如函数 fx 是定义在 R上的偶函数 , 在 - ,0 上是减函数 , 且 f2=0,是 A.- ,2 B.2
8、,+ C.- -2 2,+ D.-2,2 解：由图象法可解 , 由函数的性质可画出其图象如下列图 . 明显 fx0 的解集为 x|-2x0上的奇函数, 且存在最大值与最小值如 gxfx2,就 gx的最大值与最小值之和为 A 0 B2 C 4 D不能确定解： fx是定义在 a,a上的奇函数, fx的最大值与最小值之和为0,又 gxfx2 是将 fx的图象向上平移 2 个单位得到的,故 gx的最大值与最小值比 fx的最大值与最小值都大 2,故其和为 4. 5已知函数 fx满意： f12,fx11f x1f x,就 f2022等于 A 2 B 3 C1 2 D.13解： 条件知, f2 3,f31
9、2,f4 1 3,f5f12,故 fx 4 fx xN *fx的周期为 4,故 f2022f31 2. 点评 严格推证如下：fx21 f x11,1 f x1 f xfx4fx22fx即 fx周期为 4. 故 f4kxfx,xN *, kN *,6设 fx lg 1x 2a 是奇函数,就使 fx0 的 x 的取值范畴是 A 1,0 B0,1 C, 0 D, 01, x1 x1解： fx为奇函数, f00,a 1.fxlg,由 fx0 得 0 1,1x2,排除 D,当 x 6时, y6 sin 6 31,排除 B,故第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
10、 - - - - 学习必备 欢迎下载选 C. 8. 设 fx是定义在 R 上的奇函数, 且 yfx的图象关于直线x1 2对称,就 f1 f2f3f4f5_. 解： fx的图象关于直线 x1 2对称,f 1 2x f 1 2x ,对任意 xR 都成立,fxf1x,又 fx为奇函数, fx fx f1 x f1xf2 x,周期T2f0f2 f40 又 f1与 f0关于 x1 2对称f1 0f3f50 填 0. 2x9如 fx lg 1xa a R是奇函数,就 a _. 2x解： fxlg 1xa 是奇函数, fxfx0 恒成立,即 lg 1x 2xa lg2x1 xa lg 1 x 2xax1 2
11、xa 0. 2x 2xaa 1,a 24a 3x 2 a 210,1x x1a 24a30上式对定义内的任意 x 都成立,a 1. a 210点评 可以先将真数通分,再利用 fx fx恒成立求解,运算过程稍简洁些a2 xa假如利用奇函数定义域的特点考虑,就问题变得比较简洁fxlg 为奇函数,明显 x1x1 不在 fx的定义域内,故 x1 也不在 fx的定义域内,令 xa1,得 a 1.故平常解题中要多a 2思少算,培育观看、分析、捕获信息的才能名师归纳总结 10、已知函数fx lg1a 2 x为奇函数,就使不等式fx1 成立的 x 的取值范畴是 _第 8 页,共 9 页解：fx为奇函数, fx
12、 fx0 恒成立,lg1a 2 xlg 1a 2xlg 1a 1a 2x0,2x1a1a 2x1,4aa 0,0,a4,x 2 42xfxlg14 2xlg2x,x2由 fx1 得, lg2x1,2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 02 x 0 得, 2x2,2x学习必备欢迎下载由2x 2x10得, x18 11,18 11x0,；上是增函数；0 x0ln1 xx x0 且 a 1是定义在 , 上的奇函数1求 a 的值；2求函数 fx的值域；3当 x0,1时, tfx 2 x2 恒成立,求实数t 的取值范畴解： 1fx是定义在 , 上的奇函数,即即 140,2 a 0a解得 a2. fx fx恒成立,f0 0. 名师归纳总结 2y2 x 1,22 x 1x1y,1y由 2 x0 知1y 0,1y1y1,即 fx的值域为 1,1第 9 页,共 9 页3不等式 tfx2x2 即为t2 xt22 x 1x2. 即： 2x2t1 2xt20.设 2 xu,x0,1 ,u1,2u1,2时 u 2t1 ut20 恒成立12 t1 1t 20,解得 t0. 22 t1 2t 20- - - - - - -