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1、学习必备欢迎下载高三数学一轮复习函数的奇偶性函数的奇偶性、 周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时， 常与其他性质 (如单调性 )综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现一、要点精讲1、函数的奇偶性的定义：对于函数)(xf定义域内定义域内任意一个x， 若有 _ _ _， 则函数)(xf为奇函数；若有 _ _，那么函数)(xf为偶函数 . 2、奇偶函数的性质： 定义域关于原点对称； 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称； 奇+奇=奇，奇奇
2、=偶，偶 +偶 =偶，偶偶=偶，奇偶=奇( )f x为偶函数( )(|)f xfx 若奇函数( )f x的定义域包含0，则(0)0f3、判断函数奇偶性的途径： 依据图象的对称性进行判断 依据常见函数奇偶性的结论进行判断 运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看 f(x)是否等于 f(x)或 f(x)对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用“赋值”等策略4、周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(xT) f(x) ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期(2)最小正周期： 如
3、果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期二、基本训练1下面四个结论中，正确命题的个数是( ）偶函数的图象一定与y 轴相交奇函数的图象一定通过原点偶函数的图象关于y 轴对称既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR) A.1 B.2 C.3 D.4 解 :不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0 x(-a,a) . 2下列各函数中是奇函数的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载
4、（A）Rxxxf2（B）,032xxxf（C）Rxxxxf3（D）,0lg3xxxf3. 已知函数xf是奇函数，当0 x时，xxxf1；当0 x时，xf等于（A）xx 1（B）xx 1（C）xx 1（D）xx 14已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当 x(0,2)时， f(x)2x2，则 f(2011)() A 2 B 2 C 98 D 98 解：由 f(x4)f(x)， f(x)的周期为4， f(2011) f(502 43)f(3)f(1)，又 f(x)为奇函数，f(1) f(1)，f(1)2 122， f(1) f(1) 2. 5已知函数yf(x)为奇函数，若f
5、(3)f(2)1，则 f(2)f(3)_. 解： yf(x)为奇函数，f(2)f(3) f(2)f(3)1. 6. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a 0) 是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析 : 由 f(x) 为偶函数，知b=0，有 g(x)=ax3+cx(a 0) 为奇函数 . 7、已知babxaxxf32为偶函数，且定义域为2, 1aa，则a= ，b= 。解析 : 定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a ，得 a=31. 要使 f(-x)=f(x)恒成立，应b=0. 三、典例解析考点一：函数奇偶性的
6、判断1、判断下列函数的奇偶性2|2|1)(2xxxf；221( )lglgf xxx；xxxxf11)1()(22lg(1)( )|2 | 2xf xx；2)(2axxxf f(x)x2(x1)解： （1）由2210|2| 20 xx得定义域为( 1,0)(0,1)，22lg(1)( )(2)2xf xx22lg(1)xx奇(2) 既是奇函数也是偶函数（3）由101xx，得定义域为 1,1)，关于原点不对称，( )f x为非奇非偶函数（4）2222lg1() lg(1)()()xxfxxx( )f x( )f x为偶函数（5）分0a与0a两种情况精选学习资料 - - - - - - - - -
7、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载（6）解：当x1， f(x) ( x)2x2f(x)当 x1 时， f(x) x2， x0 () A x|x4 B x|x4 Cx|x6 D x|x2 解： f(x2)0 等价于 f(|x2|)0 f(2)，又 f(x)x38(x0) 为增函数， |x2|2.解得 x4 或 x0. 6、定义在R 上的奇函数f（x）在 (0， +)上是增函数，又f（ 3）=0，则不等式xf（x） 0 的解集为A.（ 3，0）（ 0，3）B.（， 3）（ 3，+）C.（ 3，0）（ 3，+）D.（， 3）（ 0，3）xxxf33)(x
8、xxg33)()(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg)(xf)(xg()33( ),()33( )xxxxfxf xgxg x412xxfx)(241214)(xfxfxxxx)(xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载解：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 7若函数f(x) 是定义在R上的偶函数 ,在 (- ,0 上是减函数 , 且 f(2)=0,则使得 f(x)0的 x 的取值范围是( ) A.(- ,2) B.(2,+) C.(- -2) (2,+ ) D.(-2,2) 解：由图象法可
9、解,由函数的性质可画出其图象如图所示. 显然 f(x)0的解集为 x|-2x0)上的奇函数， 且存在最大值与最小值若 g(x)f(x)2，则 g(x)的最大值与最小值之和为() A0 B2 C 4 D不能确定解： f(x)是定义在 a，a上的奇函数， f(x)的最大值与最小值之和为0，又 g(x)f(x)2 是将 f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4. 5已知函数f(x)满足： f(1)2，f(x1)1f x1f x，则 f(2011)等于 () A2B 3C12D.13解： 条件知， f(2) 3，f(3)12，f(4)
10、13，f(5)f(1)2，故 f(x 4) f(x)(x N*) f(x)的周期为4，故 f(2011)f(3)12. 点评 严格推证如下：f(x2)1 f x11 f x11f x， f(x4)f(x2)2f(x)即 f(x)周期为 4. 故 f(4kx)f(x)，(x N*， k N*)，6设 f(x)lg21xa是奇函数，则使f(x)0 的 x 的取值范围是() A(1,0) B(0,1) C(， 0) D(， 0)(1， ) 解： f(x)为奇函数， f(0)0， a 1. f(x)lgx11x，由 f(x)0 得0 x11x1，1x2，排除 D，当 x6时， y6sin631，排除
11、B，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载选 C. 8. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 yf(x)的图象关于直线x12对称，则 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_. 解： f(x)的图象关于直线x12对称，f12x f12x ，对任意x R 都成立， f(x)f(1x)，又 f(x)为奇函数， f(x) f(x) f(1 x) f(1x)f(2 x)，周期T2 f(0)f(2)f(4)0 又 f(1)与 f(0)关于 x12对称f(1)0 f(3)f(5)0填 0. 9若 f(x)
12、lg2x1xa(a R)是奇函数，则a _. 解： f(x)lg2x1xa是奇函数， f(x)f(x)0 恒成立，即 lg2x1xalg2x1 xa lg2x1 xa2xx1a0. 2x1xa2xx1a1， (a24a 3)x2 (a21)0，上式对定义内的任意x 都成立，a24a30a210， a 1. 点评 可以先将真数通分，再利用f(x) f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单f(x)lga2 xa1x为奇函数，显然x1 不在 f(x)的定义域内，故x1 也不在 f(x)的定义域内，令xaa 21，得 a 1.故平时解题中要多思少算，培养观
13、察、分析、捕捉信息的能力10、已知函数f(x)lg1a2 x为奇函数，则使不等式f(x)1 成立的 x 的取值范围是 _解： f(x)为奇函数， f(x) f(x)0 恒成立， lg1a2 xlg1a2xlg1a2x 1a2x0，1a2x1a2x1， a0，4ax2 40， a4， f(x)lg142xlg2xx2，由 f(x)1 得， lg2x2x1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载 02 x2 x0 得， 2x2，由2x2x110得， x1811，1811x0)0 (x0)ln(1 xx) (x
14、0 且 a1)是定义在 (， )上的奇函数(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的值域；(3)当 x(0,1时， tf(x) 2x2 恒成立，求实数t 的取值范围解： (1) f(x)是定义在 ( ， )上的奇函数，即f(x) f(x)恒成立，f(0) 0. 即 142a0a0，解得 a2. (2) y2x 12x 1， 2x1y1y，由 2x0 知1y1y0， 1y1，即 f(x)的值域为 (1,1)(3)不等式 tf(x)2x2 即为t 2xt2x 12x2. 即： (2x)2(t1) 2xt20.设 2xu， x (0,1， u (1,2 u (1,2时 u2(t1) ut20 恒成立12 t1 1t 2022 t1 2t 20，解得 t0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页