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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面对量一、向量的相关概念1、向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意 不能说向量就是有向线段（向量可以平移） ；如已知 A（1,2）,B（4,2）,就把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 _（3,0 ）2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量 . 起点在前,终点在后；有向线段的长度表示向量的大小,用 _箭头所指的方向 _表示向量的方向 .用字母 a, b, 或用 AB ,BC , 表示（1）模：向量的长度叫向量的模,记作 | a| 或| AB |. （2）零向
2、量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是AB ；| AB |（4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作：a b ,规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（由于有 0 ；三点A、 、C
3、共线 AB AC 共线；（6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；零向量的相反向量时零向量；二、向量的线性运算1. 向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法 . 如图,已知向量 a,b, 在平面内任取一点 A,作AB a, BC b,就向量 AC 叫做 a与 b 的和,记作 a+b,即 a+b AB BC AC ； AB BC CD DE AECCa ba+bB a+bD Bb ab a三角形 法就 平行四 边形法就A 1 A特殊情形：a ab ba b a bA B C C A B 2 3 对于零向量与任一向量 a,有 a 0 0 a a（
4、2）法就： _三角形法就 _,_平行四边形法就 _ （3）运算律： _ a +b=b+a；_,_（a+b）+c=a+（ b+c）._ 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 a、b 不共线时,2. 向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算,叫做向量的减法 . 已知向量 a、 b,求作向量 a b + b = a + b + b = a + 0 = a减法的三角形法就作法：在平面内取一点 O,作 OA = a, OB = b, 就 BA = a b （指向被减数）即 a b 可以表示为从向量 b 的终
5、点指向向量 a 的终点的向量留意：用“ 相反向量” 定义法作差向量,a b = a +-b b 明显,此法作图较繁,但最终作图可统一a b c a b = a + b a b3. 实数与向量的积：（1）定义：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a,规定： | a|=| | a|. 当 0 时, a的方向与 a 的方向相同；当 0 时, a的方向与 a 的方向相反；当 =0 时, a=0, a 与 a 平行 . （2）运算律： （ a）=（ ）a, （ + ） a= a+ a, （a+b） = a+ b. 特殊提示：1向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量； ,使得 b=2向量共线定理：向
6、量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 a,即 b ab= a（a 0）. 例题：1.2022 .四川 设点 M是线段 BC的中点 , 点 A 在直线 BC外,BC2 =16, |ABAC| |ABAC|,就| AM |= A.8B.4 C.2D.1 解析 : 由 |ABAC| |ABAC 可知 , AB AC 就 AM为 Rt ABC斜边 BC上的中线 ,因此 ,|AM|1 2|BC|2,选 C. 答案 :C 名师归纳总结 2. 已知 ABC中, 点 D在 BC边上 , 且CD2DB CDr ABsAC 就 r+s 的值是 第 2 页,共 5 页A .2B.4 C.-3 D.0
7、 33解析 : CD2 DB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CD,2CB学习必备sAC,欢迎下载2 3ABAC3CD2AB2AC 又CDr AB33r=2 32s, r+s=0. 应选 D. 3答案 :D 3. 平面对量 a,b 共线的充要条件是 A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在 R, 使 b= a D.存在不全为零的实数1, 2, 使1a+2b=0 共线时 ,a,b 不肯定是零向量, 故 B解析 :a,b 共线时 ,a,b方向相同或相反, 故 A错 .a,b错. 当 b= a 时,a,b 肯定共线 , 如 b 0
8、,a=0. 就 b= a 不成立 , 故 C错. 排除 A、B、C,应选 D. 答案 :D 4. 已知 O.A.B 是平面上的三个点, 直线 AB上有一点 C,满意 2ACCB0,就 OC 等于 A .2 OAOBBCB .OA2 OB2OCOA ,OC2OAOB 应选 A. C.2OA1OBD.1OA2OB3333解析 :OCOBOB2ACOB答案 :A 名师归纳总结 DC5. 设 D.E.F 分别是ABC的三边 BC、CA、AB上的点 , 且2CA,第 3 页,共 5 页2BD CE2EA AF2FB 就 ADBECF 与BCA. 反向平行B. 同向平行C.不平行D.无法判定解析 :ADA
9、BBDAB1BC BEBCCEBC33CFCAAFCA2AB,3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ADBECF学习必备4BC1欢迎下载5AB5CA333应选 A. 5ABCA4BC5CB4BCBC.33333答案 :A 练习题组一 向量的基本概念1.给出以下六个命题：两个向量相等,就它们的起点相同,终点相同；如 |a|b|,就 ab；如 AB DC ,就四边形 ABCD 为平行四边形；在 .ABCD 中,肯定有 AB DC ；如 mn,np,就 mp；如 a b,b c,就 a c,其中不正确的个数是 A2 B 3 C4 D5 2以下四个命题,其中正确
10、的个数有对于实数m 和向量 a,b,恒有 ma b mamb对于实数m,n 和向量 a,恒有 mnamana如 mambm R,就有 ab 如 manam,nR,a 0,就有 mnA1 个B2 个题组二C3 个D 4 个向量的线性运算3.如 A、B、C、D 是平面内任意四点,给出以下式子：AB DC BC DA ；AC BD BC AD ； AC BD DC AB . 其 中 正 确 的 有名师归纳总结 第 4 页,共 5 页A 0 个B1 个C2 个D3 个4如下列图, D 是 ABC 的边 AB 的中点,就向量CD A BC 1 2BAB BC 1 2BAC BC 1 2BAD. BC 1
11、 2BA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载c. 题组三 向量的共线问题7.2022湖南高考 对于非零向量a、b,“ ab0” 是“a b” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件e1e2可以表C充分必要条件D既不充分也不必要条件8设 e1、e2是平面内一组基向量,且ae12e1、b e1e2,就向量示另一组基向量a、b 的线性组合,就e1e2_a_b. 题组四向量线性运算的综合应用名师归纳总结 9.已知平面上不共线的四点O、A、B、C.如 OA 4OB 3OC 0,就AB_ 第 5 页,共 5 页BCA.1B.1C2 D3 32- - - - - - -