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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案14.1.1 变量与函数执笔：林俊伟（民航广州子弟学校）一内容和内容解析【教学内容 】,郑青青（广州石化中学）14.1 变量与函数 是义务训练课程标准试验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元,教参建议本单元内容5 个课时完成我们把第1、2、3 小节整合为两个课时,第1课时介绍变量与函数的概念,第2 课时探究量与量之间的函数关系,并用合适的函数表示方法进行描述,第3 课时熟识函数图象（ “ 看图说话”）,第 4、5 课时画函数图象本设计是第 1 课时,是典型的概念课,引导同学从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念,其中函数的
2、概念是本节核心内容【教材分析 】函数是数学中最重要的基本概念之一,它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“ 特 殊对应关系”方程、不等式、函数是中学数学的核心概念,它们从不同的角度刻画一类 数量关系本节课是函数入门课,第一必需精确熟识变量与常量的特点,初步感受到现实 世界各种变量之间联系的复杂性,同时感受到数学争论方法的化繁就简,在中学阶段主要 争论两个变量之间的特殊对应关系课本的引例较为丰富,但有些内容同学较为生疏,本 设计只选取了其中较为简洁的例子考虑到中学列函数的解析式是一个难点,其本质是用含 x 的式子 f x 表示 y,本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待定系数法才是
3、新的教学内容）,也不是本节课 能 解 决 的 问 题 ,因此把设计的重点放在熟识“ 两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯独确定的含义”考虑到 同学在日常生活中也能接触到函数图象,函数图象较为直观形象,便于同学懂得函数的概 念,因此把函数图象中的部分内容提前到第 1 课时【学情分析 】名师归纳总结 变量与函数的概念把同学由常量数学的学习引入变量数学学习中. “ 变量与函数” 较为抽象, 同学初次接触函数的概念,难以懂得定义中 “ 唯独确定”的精确含义 另一方面,第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案
4、同学在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例在本节教学中,试图 从同学较为熟识的现实情形入手,引领同学熟识变量和函数的存在和意义,体会变量之间 的相互依存关系和变化规律,借助生活实例,熟识“ 由哪一个变量确定另一个变量？唯独 确定的含义是什么？”,初步懂得函数的概念二目标和目标解析【学问目标 】（1）基于生活体会,同学初步感知用常量与变量来刻画一些简洁的数学问题能指 出详细问题中的常量、变量（2）借助简洁实例,初步懂得变量与函数的关系,知道存在一类变量可以用函数方 式来刻画能举出涉及两个变量的实例,并指出由哪一个变量确定另一个变量,这两个变 量是否具有函数关系（3）借助简洁实例,
5、初步懂得对应的思想,体会函数概念的核心是两个变量之间的 特殊对应关系能判定两个变量间是否具有函数关系【过程与方法目标】借助简洁实例,引领同学参加变量的发觉和函数概念的形成过程 , 体会从生活实例抽 象出数学学问的方法,感知现实世界中变量之间联系的复杂性,数学争论从最简洁的情形 入手,化繁为简 . 【情感与态度目标】1 从同学熟识、感爱好的实例引入课题,同学初步感知实际生活隐藏着丰富的数学 学问,感知数学是有用、好玩的学科 .2 借助简洁实例,引领同学参加变量的发觉和函数概念的形成过程 , 体验“ 发觉、制造” 数学学问的乐趣【目标解析 】函数的概念具有高度的抽象性同学知道代数式中的字母可以表示
6、数,方程中的未知,从“ 静态” 的角度懂得字母所表示的数同学的生活经 数求出来后也是一个“ 已知数”验中已具备一些朴实的函数关系的实例同学初次接触两个变量之间的特殊对应关系,教名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案师应依据同学的认知基础,创设丰富的现实情境,使同学在丰富的现实情境中感知变量和 函数的存在和意义,熟识常量与变量,懂得详细实例中两个变量的特殊对应关系,初步理 解函数的概念【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯独对应关系 .借助简洁实例,
7、从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念【教学重点】【教学难点】怎样懂得“ 唯独对应”【教学关键】借助实例,明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化,进而指出由哪一个变量确定 另一个变量； “ 唯独对应” 是一种特殊的对应关系,包括“ 一对一”、“ 多对一” “ 一对多”不是函数关系三、教学问题诊断分析【同学已有的学问结构】同学已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算,学习了列代数式及求代数式的 值,会列一次方程 组 及解方程组,知道字母可以表示数,方程中的未知数求出来后也是,从“ 静态” 的角度懂得字母所表示的数同学的生活体会中具有一些朴 一个“ 已知数”素的函数实例,依靠同学熟识的生活实
8、例,引导同学熟识抽象的函数的概念符合同学的认 知规律【同学学习的困难】同学对“ 唯独对应关系” 的懂得是一个难点,特殊是没有实例背景的变量间的对应关 系应借助同学熟识的简洁实例明确争论函数的目的,懂得变量间的特殊对应关系,初步 懂得函数的概念函数关系的本质,是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）如 果直接争论某个量 y 有肯定困难,我们可以去争论另一个与之有关的量 x,而 x 相对于 y来说,比较简洁争论,从而达到争论的目的 四、教学方法与教学手段. 这也是一种化繁为简的转化思想名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - -
9、 名师精编 优秀教案同学的 学法 应以自主探究与合作沟通为主通过小组合作,熟识“ 唯独确定” 的精确 含义教法 采纳师生互动探究式教学函数概念具有高度的抽象性,借助几何画板形象演示 几何图形中量与量之间的函数关系,借助同学熟识的生活实例,引领同学经受从详细实例 中抽象出常量、变量与函数的过程,初步懂得抽象的函数概念五、教学过程 导言：1. 名侦探柯南中有这样一个情形：柯南依据案发觉场的脚印,锁定疑犯的身高你知 道其中的道理吗？脚印 身高 理由：2. 我们班中同学 A 与职业相扑运动员,谁的饭量大？你能说明理由吗？体重 饭量 理由：上述两个问题中都涉及两个量的关系,这一节课我们争论两个量的关系,
10、争论怎样由 一个量来确定另一个量板书课题：两个_量的关系：另一个 _量1.一个 _量说明：从同学的生活入手,开门见山,在极短的时间 一两分钟 内指明本节课的学习内容空格中将来填上变量的“ 变” 字现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂,应向学 生说明我们数学的争论方法是化繁就简,本节课只关系注一类简洁的问题（一）概念的引入1. 票房收入问题：每张电影票的售价为10 元. 元； . （1）如一场售出150 张电影票,就该场的票房收入是（2）如一场售出205 张电影票,就该场的票房收入是元；（3）如一场售出310 张电影票,就该场的票房收入是元；（4）如一场售出x 张电影票,就该场的票房收入y 元,就
11、 y摸索：名师归纳总结 （1） 票房收入随售出的电影票变化而变化,即y 随的变化而变化；第 4 页,共 11 页（2）当售出票数x 取定一个确定的值时,对应的票房收入y 的取值是否唯独确定？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 例如,当 x =150 时, y 的取值是唯独、仍是有多个值？ 答： _2如图,是某班同学一次数学测试中的成果登记表：这一数学测试中,（1） 13 号的成果为 _；（2） 17 号的成果为 _；（3） 18 号的成果为 _；（4） 23 号的成果为 _摸索：（1）测试成果随 _的变化而变化；x,对应的成果 f 的
12、取值是否唯独确定？（2）任意确定一个学号 例如,当学号 x =13 时,所得成果 f 的取值是唯独、 仍是有多个值？ 答：_ 3. 温度变化问题：如图一,是抚顺春季某一天的气温随时间图一t 变化的图象,看图回答：（1）这天的 8 时的气温是,14 时的气温是,22 时的气温是；（2）这一天中,最高气温是,最低气温是；（3）这一天中, 在 4 时 12 时,气温（）,在 12 时14 时气温 （）,在 16 时24 时,气温（）. A. 连续上升 B. 连续降低 C. 连续不变摸索：（1） 天气温度随 的变化而变化,即 T 随 的变化而变化 ；（2）当时间 t 取定一个确定的值时,对应的温度 T
13、 的取值是否唯独确定？ 例如,当 t =12 时,所得温度 T 的取值是唯独、仍是有多个值？ 答： _ 设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系,通过争论这些问题引出常量、变量、函数等概念,通过这种从实际问题动身开头争论的方式,使同学体验从详细到抽象地熟识过程 . 问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等,隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法 . （二）概念的定义名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1. 上述四个问题中,分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可
14、以确定另一个量？答：票房收入问题中,涉及票价10 元 、售出票数 x 、票房收入 y ,票数 x 的变化会引起票房收入 y 的变化,如下列图：售出票数 票房收入类似的,有：学号 x 成果 f时间 气温在上面的四个问题中,其中一个量的变化引起另一个量的变化（依据某种规律变化）,变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价 个变量取定一个值时,另一个变量就随之确定一个值以气温问题为例,时间的变化引起温度的变化,1 当 t=0 点时, T=2; 当 t=2 点时, T=0; 2 当 t=12 点时, T=8; 当 t=12 点 1 分时, T=8; 当 t=12 点 2 分时, T=8;
15、当 t=14 点时, T=8; 10 元 ）并且当其中一情形（ 1）（2）中,时间取定一个值时,所得 T 的对应值只有一个（可能是“ 一对一”,也可能是“ 多对一”）,即通过时间 t, 能把温度 T“ 唯独确定”. 反之,当 T=8 时,所得 t 的值为 1214 点之间的任一时刻（ “ 多对一” ）,通过温度 T,不能把时间 t “ 唯独确定”. 在这个问题中,我们把温度 T 称为时间 t 的函数（但时间 t 不是温度 T 的函数,因为通过温度 T,不能把时间 t “ 唯独确定”. ）一般地,在一个变化过程中：x 是（1）发生变化的量叫做；的值与之对应,称（2）不变的量叫做；（3）假如有两个
16、变量x 和 y ,对于 x 的每一个值,y 都有, y 是 x 的；（4）假如当xa时,yb, b 叫做当xa时的函数值 . 说明：如何把详细的实例进行抽象,形式化为数学学问是本课的关键这里提出的问题“ 上述四个问题中,分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？” 是一个关键的“ 脚手架”,通过“ 脚手架” 引领同学经受数学概念的形成过程,引导同学熟识为什么要引进变量、常量、函数的概念,逐步明白如何给数学概念下定义名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案问题回忆指出前面三个问题中的涉及到的量,
17、并指出其中的变量、常量、自变量与函数 . 1. “ 票房收入问题” 中,（1 涉及到的量有 _,其中的变量是 _,常量是 _；（2）_是自变量,y 是 x 的函数 . 2. “ 成果问题” 中,（1 涉及到的量有 _,其中的变量是 _,常量是 _；（2）_是自变量,y 是 x 的函数 . _,常量是 _；3. “ 气温变化问题”,（1 涉及到的量有 _,其中的变量是（2）_是自变量,y 是 x 的函数 . 留意：常量与变量必需依存于一个变化过程中,判定一个量是常量仍是变量,关键看它在这个变化过程中是否发生变化. 设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念,例 1 一个三角形的底边为5,这一边
18、上的高h 可以任意伸缩,三角形的面积s也随之发生了变化 . 解：（1）面积 s 随 h 变化的关系式s_ ,其中常量是,变量是,是自变量,是的函数；（ 2）当 h3 时,面积 s_；（ 3）当 h10 时,面积 s_；（ 4）当高由 1 变化到 5 时,面积从 _ _ 变化到 _. 图二例 2 假如用 r 表示圆的半径, 半径 r 的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半 径 r 的函数吗？分析：半径圆面积并有Sr2,S 是 r 的函数；半径圆周长 C并有C2r ,C是 r 的函数；半径圆直径 d并有d2r ,d 是 r 的函数说明：此两例引导同学体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依
19、存关系,顺便名师归纳总结 说明字母“ ” 是常量,但这并不是本节课的核心念第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （三）概念巩固名师精编优秀教案x 支,依据题意填表：1.购买一些签字笔,单价3 元,总价为y 元,签字笔为x （支）1 2 3 y （元）（1） y 随 x 变化的关系式 y,是自变量,是 的函数；（2）当购买 8 支签字笔时,总价为 元. 2. 周末,小李 8 时骑自行车从家里动身,到野外郊游, 16 时回到家里 . 他离开家后的距离 s（千米）与时间 t （时）的关系如下列图 . （1）当 t 12 时,s _；当 t
20、 14 时,s _；（2）小李从 _时开头第一次休息,休息时间为 _小时,此时离家 _千米 . 图三（3）距离是时间 t 的函数吗？（4）* 时间是距离的函数吗？设计意图： 1. 例题和巩固练习,巩固变量与函数等概念,让同学充分体会到很多问题中的变量关系都存在着函数关系,隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法 .2. 练习二 24 涉及反函数的学问,不少老师认为超纲不应涉及,本人的实践证明,提出这样的问题更有利于同学懂得函数的“ 单值对应关系”,有利于同学明确“ 由哪一个量能唯独确定另一个量”,从而更好地懂得自变量与函数的关系,更重要的是让同学养成逆向思维的习惯当然,
21、不宜在反函数的概念上作过多的拓展（四）概念辨析1. 两个变量 x、y 满意关系式yx ,填表并回答疑题：9 16 x 1 4 y y 是 x的函数吗？为什么？名师归纳总结 2. 以下各图中,表示y 是 x 的函数的有 _（可以多项） . 第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案懂得函数概念把握两点：由哪一个变量确定另一个变量；唯独对应关系 . 设计意图：懂得函数概念的核心是“ 由哪一个变量确定另一个变量；唯独对应关系” ,给定自变量 x 的任意一个值就有唯独确定的 y 的值和它对应, 这样的对应可以是 “ 一个自变量
22、对应一个因变量”（简称“ 一对一” ）,也可以是 “ 几个自变量对应一个因变量”（简称“ 多对一”）,但不行以是“ 一个自变量对应多个因变量”（简称“ 一对多”）. 3你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？（五）小结函数的概念：自变量（确定）函数（值_ 确定）设计意图：通过小结,让同学抓住懂得函数概念的实质名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案（六）作业1. 行程问题： 汽车以 60 千米 / 秒的速度匀速行驶,请依据题意填表：行驶里程为 s 千米,行驶时间为 t 小时 . t（时）1 2
23、 3 4 5 10 s（千米）从表中可以发觉：（1） 行驶路程随 的变化而变化,即（2）当行驶时间 t 取定一个确定的值时,行驶路程 例如,当 t =3 时, s的取值是唯独、仍是有多个值？s 随 的变化而变化 ；s的取值是否唯独确定？ 答： _2写出以下问题中的函数解析式,并指出其中的自变量、函数：（1）正方形的面积 s与边长 x 关系式；（2）秀水村的耕地面积是 10 m 6 2,这个村人均占有耕地面积 y 随这个村人数 n 的变化而变化 . 解：（ 1）函数解析式：4%,是自变量,是的函数；（ 2）函数解析式：,是自变量,是的函数 . 3. 一年期的存款利率是（）填表：本金 x （元）1
24、00 200 500 1000 一 年 到 期 后 所 得 的利息 y （元）（）本金 x元与一年到期后所得的利息 y 元之间的关系式是 _ ；（） 常量是,变量是,其中 是自变量,是 的函数 . 4. 小明、爸爸和爷爷同时从家中动身到同一目的地又立刻返回 时步行；爷爷去时步行,返回时骑自行车；爸爸来回都步行. 小明去时骑自行车,返回 . 三人的步行速度不等,小明名师归纳总结 与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的路程与时间的关系图中,表示小明的是第 10 页,共 11 页图 , 表示爷爷的是图 , 表示爸爸的是图 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
25、 - - 5. 一辆汽车从甲地开往乙地,开头名师精编优秀教案时的速度前进,但由于汽车显现3 小时内以 50 千米 / 故障,进行修理花去了2 小时,接着以75 千米 / 时的速度前进,经过2 小时到达乙地（1）请用图象表示汽车行驶的路程与时间的关系t1 2 3 4 5 6 7 s（ 2）路程 S 和时间 t 具有函数关系吗？假如具有函 数关系,请指出其中的自变量与函数图四设计理念：变量与函数的概念把同学由常量数学引入变量数学,是同学数学熟识上的 一天飞跃 . 因此,设计本课时应依据同学的熟识基础,创设在肯定历史条件下的现实情境,使同学从中感知到变量函数的存在和意义,体会变量之间的相互依存关系和变化规律 . 遵 循从详细到抽象、感性到理性的渐进熟识规律和以老师为主导、同学为主体的教学原就,引导同学探究新知,引导同学在观看、分析后归纳,然后提出留意问题,帮忙同学把握概念的本质特点,并在概念的形成过程中培育同学的观看、分析概括和抽象等的才能 . 同时 在引导同学探究变量之间的规律,抽象出函数概念的过程中,要留意同学的过程经受和体 验,让同学领会到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题,并能从中提出问题、分析问题 和解决问题 . 仍要培育一种团队合作精神,提高探究、争论和应用的才能,使同学真正成名师归纳总结 为数学学习的主人. 第 11 页,共 11 页- - - - - - -