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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载中考数学复习必备教案函数的综合学问点回忆：学问点一：分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范畴内,其函数关系式（或图象）也不同的函数,如分段计费问题, 实际上是复合函数问题；分段函数的应用题解答时需分段争论、分段运算；例 1. （20XX年吉林省） A、B 两地相距 45 千米,图中折线表示某骑车人离 A 地的距离 y与时间 x 的函数关系有一辆客车 9 点从 B 地动身,以 45 千米 / 时的速度匀速行驶,并来回于 A、B 两地之间（乘客上、下车停留时间忽视不计）（ 1）从折线图可以看出,骑车人一共休息 次,共休息
2、 小时；（ 2）请在图中画出 9 点至 15 点之间客车与 A地距离 y 随时间 x 变化的函数图象；（ 3）通过运算说明,何时骑车人与客车其次次相遇y/千米45 30 0 9 10 11 12 13 14 15 x/时【解析】（1）无论是观看函数图象、写出函数关系式,仍是解决函数问题,弄清变量的含义是关键；此题中 y 表示“ 骑车人（客车）与 A 地距离” , 骑车人休息时时间 x 增大而 y值不变；（2）从实际看“ 骑车人与客车相遇” 是在相同的时间骑车人与客车与 A 地的距离相同,从图象看是两函数图象的交点；【解答】（1）两,两；（2）见下图：y/千米45 F 30 名师归纳总结 y0
3、9 E 11 12 13 14 15 x/时ykxb把E10,0,F11,45分 别 代 入第 1 页,共 13 页10 （ 3 ） 设 直 线 EF 所 表 示 的 函 数 解 析 式 为kxb,得：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10 kb0,解得k学习好资料欢迎下载45,11 kb45b450.直线 EF 所表示的函数解析式为y45x450.把y30代入y45x450,得 45x45030. x1023答： 10 点 40 分骑车人与客车其次次相遇同步检测：（20XX年湖北孝感） 5 月份,某品牌衬衣正式上市销售5 月 1 日的销售量为 10
4、件,5 月 2 日的销售量为 35 件,以后每天的销售量比前一天多 25 件,直到日销售量达到最大后,销售量开头逐日下降,至此,每天的销售量比前一天少 15 件,直到 5 月 31 日销售量为 0设该品牌衬衣的日销量为 p（件）,销售日期为 n（日）,p 与 n 之间的关系如下列图（ 1）写出 p 关于 n 的函数关系式 p = （注明 n 的取值范畴） ；（2）经争论说明, 该品牌衬衣的日销量超过 150 件的时间为该品牌衬衣的流行期请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？（3）该品牌衬衣本月共销售了 件【解析】（ 1）函数图象是折线,有两支,因此p 关于 n 的函数关系式有两种,是分段
5、函数；销售日期n 为正整数,因此函数图象是一些离散的点；（ 2）由“ 衬衣的日销量超过150件” ,即两支函数的函数值大于150,列不等式求解；【解答】（1）p 25 n 15 1 ,且 为整数；15 n 465 12 n ,且 为整数（2）由题意,有：25 n 15 150；15 n 465 150.解得,6 3n 21,整数 n 的值可取 7,8,9, 20 共 14 个5该品牌衬衣本月在市面的流行期为 14 天（3）4335 件名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载学问点二：借助函数与方程、不
6、等式求极值问题 在实际问题中通过建立一次函数以刻画数量关系,再利用不等关系得一个变量的极端 值,利用一次函数的增减性求另一变量的极值,从而找到正确方案；例 2. （20XX 年湖北恩施）某超市经销 A 、 B 两种商品,A 种商品每件进价 20 元,售 35 元,售价 48 元价 30 元； B 种商品每件进价（1）该超市预备用 800 元去购进 A 、B 两种商品如干件, 怎样购进才能使超市经销这两 种商品所获利润最大（其中 B 种商品不少于 7 件）？（2）在“ 五 一” 期间,该商场对A 、 B 两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额 优惠措施不超过 300 元 不优惠超过
7、 300 元且不超过 400 元 售价打八折超过 400 元 售价打七折促销活动期间小颖去该超市购买 A种商品, 小华去该超市购买 B种商品, 分别付款 210元与 268.8 元促销活动期间小明打算一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品,他需付款多少元？【解析】（1）超市经销两种商品所获利润随A、B 两种商品的件数发生变化,即与两个变量有关, 联想解方程时所用消元思想,因此查找 A、B 两种商品的件数之间的另一关系（准备用 800 元去购进 A 、 B 两种商品）建立方程,结合二者关系得得润与 B 种商品件数的关系；（2）促销期间小颖、小华去该超市购买A、B种商品付款210 元与 268.8
8、 元,关键是分析他们是否享受优惠方案、享受了哪种优惠方案；【解答】（1）解：设购进A、 B 两种商品分别为x 件、 y 件 ,所获利润 w 元,就：w10x13y解之得：w9 y 240020x35y800 w 是 y 的一次函数, 随 y 的增大而削减, 又 y 是大于等于当y8时, w 最大,此时x267 的整数, 且 x 也为整数,所以购进 A 商品 26 件,购进 B 商品 8 件才能使超市经销这两种商品所获利润最大（2） 300 0.8=240 400 0.7=280 210240, 240 268.8 280 名师归纳总结 小颖去该超市购买A 种商品未超过300 元不优惠,小华去该
9、超市购买B 种商品超过第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 300 元且不超过学习好资料欢迎下载400 元,售价打八折；小颖去该超市购买 A 种商品 :210 30=7 件 小华去该超市购买 B 种商品 :268.8 0.8 48=7 件 小明一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品：7 30+7 48=546 400 小明付款为： 546 0.7=382.2 元 答：小明付款 382.2 元同步检测：（20XX 年辽宁朝阳）某学校方案租用6 辆客车送一批师生参与一年一度的哈尔滨冰雕节,感受冰雕艺术的魅力现有甲、乙两种客车,它们的载客
10、量和租金如下表设租用甲种客车 x 辆,租车总费用为 甲种客车y 元乙种客车30 200 载客量（人 /45 辆）租金（元 / 辆）280 （1）求出 y（元）与 x （辆）之间的函数关系式,指出自变量的取值范畴；（2）如该校共有240 名师生前往参与,领队老师从学校预支租车费用1650 元,试问预支的租车费用是否可以结余？如有结余,最多可结余多少元？【解析】（1）问题 2 中隐含了两个不等关系租车总费用不超过预支租车费用 1650 元,载客量不少于 240,由此得到租车方案,以运算租车费用是否可以结余；（2）结余的多 少,可利用一次函数的增减性求解,也可分别求函数值再予以比较；【解答】（ 1）
11、y280 x6x 200 80 x12000 6（2）可以有结余,由题意知80x1200165045x306x240解不等式组得：4x558预支的租车费用可以有结余名师归纳总结 x取整数x 取 4 或 5 第 4 页,共 13 页k80 0y 随 x 的增大而增大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x4学习好资料欢迎下载时, y 的值最小其最小值y48012001520元最多可结余16501520=130 元学问点三：与二次函数有关的最优化问题在实际问题或数学问题中建立二次函数模型后,利用二次函数的最大（小） 值可求有关最值和最优方案等问题；例 3.
12、（改编 20XX 年包头市）某商场试销一种成本为每件60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发觉,销售量 y （件）与销售单价x （元）符合一次函数 y kx b ,且 x 65 时,y 55；x 75 时,y 45（1）求一次函数 y kx b的表达式；（2）如该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元？（3）如该商场获得利润恰好是500 元,试确定销售单价x 是多少元？【解析】（1）依据一次函数解析式的特点,直接依据题意列出二元一次方程组,就可以求出一次函数的解
13、析式；（2）在确定函数关系式时,特殊留意自变量的取值范畴,由此题中“ 试销期间销售单价不低于成本单价” 得 x 60,由“ 获利不得高于 45%” 得 x（ 1+45%） 60,即 x 87,因此 60x87；对于求出二次函数的最值问题,同时要考虑在自变量的取值范畴；（3）这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑,必要在二次函数的自变量的取值范畴内；【解答】（1）依据题意得65 kb55,解得k1,b12075 kb45.所求一次函数的表达式为yx120（2）Wx60 x120x2180x7200x902900,要留意的是求出的结果必名师归纳总结 抛物线的开口向下,当x90时, W 随
14、 x 的增大而增大,而60x87,第 5 页,共 13 页当x87时,W87902900891- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当销售单价定为学习好资料欢迎下载891 元87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是（ 3）由W500,得500x2180x7200,整理得,x2180x77000,解得,x 170,x2110x70由于 60x87,所以,销售单价【评注】在二次函数中通过求函数的最大（小）值以解决求实际问题的最大利润、最优方案等,第一考虑利用二次函数y=ax2+bx+c 当 x=-b时, y 取最大（小）值4acab2来求,2 a4但当x=-
15、b不在自变量的取值范畴时,可利用二次函数的增减性由一个变量的极端值求另2a一变量的极值；同步检测 : （改编 20XX 年重庆市）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y（元）与月份 x 之间满意函数关系 y 50 x 2600,去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情形如下表：月 份 1 月 5 月销售量 3.9 万台 4.3 万台（1）求去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系式；（2）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？【解析】月销往农村的销售金额W 等于每台的售价y 乘以月销售量p,而y50x
16、2600,p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系, 两者结合可写出利润【解答】（1）设 p 与 x 的函数关系为p kx b k0,依据题意,得kb3.9,解得k0.1,5 kb4.3.b3.8.所以,p0.1 x3.8（2）设月销售金额为w 万元,就：wpy0.1x3.8 50x2600化简,得w5x270x9800,所以,w5x7210125当x7时, w 取得最大值,最大值为10125W 与销售单价 x 之间的关系式；名师归纳总结 答：该品牌电视机在去年7 月份销往农村的销售金额最大,最大是10125 万元第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -
17、- - - - - 学习好资料 欢迎下载学问点四：存在探干脆函数问题存在型探究题是指在肯定的前提下,需探究某种数学关系是否存在解存在性探究题常用反演推理法, 即先假设要探究的问题的结论成立,继而进行推导与运算,如得出冲突或错误的结论,就不存在,反之即为所求的结论例 4. （20XX年湖南郴州） 如图 1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（2,-1）,且 P（-1, 2）为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于 x 轴,QB垂直于 y 轴,垂足分别是 A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q在直线 MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得OBQ
18、与 OAP面积相等？假如存在,恳求出点的坐标,假如不存在,请说明理由；M（3）如图 2,当点 Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以 OP、OQ为邻边的平行四边形 OPCQ,求平行四边形 OPCQ周长的最小值y yQBB QA O A Ox xMCP P图 1 图 2 【解析】（1）先假定直线 MO上存在这样的点 Q,使得 OBQ与 OAP面积相等；利用点Q在正比例函数图象上设 Q的坐标,再通过方程有无实数解确定是否存在；（2）在动点问题中分清变量与常量,确定自变量与因变量,查找其对应关系,再利用函数性质求解；【解答】（1）设正比例函数解析式为ykx ,将点1x同样可得,反比例函数解析M（-2
19、,-1 ）坐标代入得k =1,所以正比例函数解析式为y=22m , 于是：式为y=2x（2）当点 Q在直线 DO上运动时,设点Q的坐标为1 Q m,2SOBQ=1OB.BQ1创1mm=1m2,2224而SOAP=1 2-1.2=1,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以有,1 24m =1,解得学习好资料欢迎下载m2所以点 Q的坐标为Q 12 1,和Q 2-2,11,2 ）是定（3）由于四边形OPCQ是平行四边形,所以OPCQ, OQPC,而点 P（点,所以 OP的长也是定长, 所以要求平行四边形OPCQ周长的最小
20、值就只需求OQ的最小值由于点 Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为Q n,n由勾股定理可得OQ2=n2+4=n-22+4,n2n所以当n-22=0即n-2=0时,2 OQ 有最小值4,nn又由于 OQ为正值,所以OQ与2 OQ 同时取得最小值,所以 OQ有最小值 2由 勾 股 定 理 得 OP5 , 所 以 平 行 四 边 形 OPCQ周 长 的 最 小 值 是2 OP + OQ = 2 5 + 2 = 2 5 + 4【点评】 在函数问题中留意到数形结合,利用点的坐标表示线段的长度,从而表示相关几何量（如面积）同步检测：B（20XX年安徽芜湖） 如图,在平面直角坐标系中放置始终角三角板
21、,其顶点为A 1 0, ,0,3,O0 0, ,将此三角板绕原点O 顺时针旋转 90,得到A B O（1）如图,一抛物线经过点A、B、B ,求该抛物线解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB 的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值y 3 A 12 B 1 B 2 x 1 AO 1【解析】函数是用运动的观点观看事物进展的全过程,利用函数的性质可求最大（小）值；在问题2 中,用分割方法把四边形PBAB 分成四个三角形,用点P 的坐标表示其面积,从而建立函数关系式；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - -
22、- - - 学习好资料 3 0,欢迎下载【解答】（1）抛物线过A 1 0,B设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 a 0又抛物线过 B 0,3,将坐标代入上解析式得：3 a 1 3,a 1y x 1 x 3即满意条件的抛物线解析式为 y x 2 3 1 x 3（2）如图 1, P 为第一象限内抛物线上一动点,设P x,y,就x0,y03,32 3时,S四边形PBAB最大,最大面积P 点坐标满意yx2 31x3连接 PB,PO,PBS 四边形PBABSBAOSPBOSPOB33x3y3 2xy1222=3x2 x 3 1 x3 13x3274 32224当x3时,S四边形PBAB最大2此时
23、,y323即当动点 P 的坐标为424为1273y 83 2 B AP 1 A 1O 1 Bx 2 1名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载随堂检测1. 2022 娄底 市一小数学课外爱好小组的同学每人制作一个面积为 200cm 2 的矩形学具进行展现 . 设矩形的宽为 xcm,长为 ycm,那么这些同学所制作的矩形长 y（cm）与宽 x（cm）之间的函数关系的图象大致是 2. 2022 陕西 如正比例函数的图象经过点（1,2）,就这个图象必经过点（）名师归纳总结 A（1, 2） B（1,2） C（
24、2,1） D（1,2 ）第 10 页,共 13 页3.（2022 湖北省荆门市）函数y=ax1 与 y=ax2bx1（a 0）的图象可能是（）yyyy1xo 1xo 1x1xo o A BCD4. 2022 甘肃庆阳 如图为二次函数yax2bxc的图象,给出以下说法：ab0；方程ax2bxc0的根为x 11,x23；abc0；当x1时, y 随 x 值的增大而增大；当y0时,1x3其中,正确的说法有（请写出全部正确说法的序号）5. 2022 牡丹江 如图,点 A 、 B 是双曲线y3上的点,分别经过A 、 B 两点向 xx轴、 y 轴作垂线段,如S阴影1,就S 1S 2- - - - - -
25、-精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载6. 在一次远足活动中,某班同学分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地连续前行到丙地后原路返回,两组同时动身,设步行的时间为 t（h）,两组离乙地的距离分别为 S1（km）和 S2km ,图中的折线分别表示 S1、S2 与 t 之间的函数关系（1）甲、乙两地之间的距离为 km,乙、丙两地之间的距离为 km ；（2）求其次组由甲地动身首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？8（3）求图中线段AB所表示的 S2 与 t 间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范畴Skm 64B x4
26、,它与 x 轴、 y 轴分别相交于A、B两点平行20 A 2 th 7. 如图,直线 l 的解析式为y于直线 l 的直线 m 从原点 O 动身, 沿 x 轴的正方形以每秒1 个单位长度的速度运动,它与 xx t 4）E P P F 轴、 y 轴分别相交于 M、N两点,设运动时间为t 秒（ 0（1）求 A、B两点的坐标；l y （2）用含 t 的代数式表示MON的面积S ；l y B m B （ 3 ） 以 MN 为 对 角 线 作 矩 形m N OMPN ,记MPN和OAB重合部N P 分的面积为S ,O M A x O M A 当 2t 4 时,摸索究S 与 t 之间的函数关系式；名师归纳总
27、结 在直线 m 的运动过程中,当t 为何值时,S 为OAB面积的5 16？第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载随堂检测答案：1. 解：当面积肯定的时候,长与宽之间的关系是反比例函数关系,所以图象应当是双曲线,考虑到自变量 x 的取值范畴为正值,所以答案为 A；2. 解：设正比例函数为 y=kx,将（1,2）代得可得 k=-2 ,所以 D点也在函数图象上；3. 解：此题考查函数图象与性质,当 a 0 时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,D是错的,函数 y=ax1 与 y=ax 2bx1（a 0）的图象必过
28、（0,1）,所以 C是正确的,应选 C4. 正确的有（ 1）,（2）,（4）5. 分析：此题考察反比例函数面积的不变性,从反比例函数图象上引一点向坐标轴作垂线,构成的矩形面积等于 |k| ,所以此题中 S 1 S 2 3+3-2=4 ；解：由于两个大矩形的面积都等于 3,所以 S 1 S 2 3+3-2=4 ；6. 答案： 1 8 ,2 （2）其次组由甲地动身首次到达乙地所用的时间为：82 82 28100.8（小时）其次组由乙地到达丙地所用的时间为：2 2 8 2 2 2 10 0.2（小时）（3）依据题意得 A、B 的坐标分别为（0.8 , 0）和（ 1,2）,设线段 AB的函数关系式为：
29、名师归纳总结 S2ktb,依据题意得：第 12 页,共 13 页008.kb解得：k102kbb-8图中线段AB所表示的S2 与 t 间的函数关系式为：S 210 t8,自变量 t 的取值范畴是：0.8t17. （1）当x0时,y4；当y0时,x4A 4 0,（B0 4,）；（2）MNAB,OMOA1,OMONt,S 11OM ON1t2；ONOB22（3）当 2t 4时,易知点 P 在OAB的外面,就点P 的坐标为 t,t, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F 点的坐标满意xt,学习好资料,欢迎下载即 4,F t 4tyt名师归纳总结 同理E4t,t,就PFPEt4- 2 t4,8；第 13 页,共 13 页所以S 2SMPNSPEFSOMNSPEF1t21PE PF1t212t4 2 t43t28 t22222当 0t 2时,S 21t2 1,2t251445,216227 3,解得t 150,t252,两个都不合题意,舍去；当 2t 4时,S 23t28 t85,解得t33,t422综上得,当t7或t3时,S 为OAB的面积的5316- - - - - - -