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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第四章 Lebesgue 积分的学问要点与复习自测一、非负简洁函数与非负可测函数 L 积分的学问要点： 体会非负简洁函数、 非负可测函数 L 积分的定义, 懂得为什么它们的 L 积分总是存在的,并且为什么它们的L 积分都可用下方图形的测度来表示； 能正确地区分非负简洁函数 L 积分存在与 L 可积的差异；非负可测函数 L 积分存在与 L 可积的差异； 娴熟把握非负简洁函数与非负可测函数L 积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、 集合的可加性和完全 （可数）可加性、集合的单调性和唯独性 （即几乎
2、到处相等的非负简洁函数或非负可测函数的 性质进行积分的运算；L 积分必相等）】,并能娴熟地运用这些 娴熟把握并能正确地表达非负可测函数列 L 积分的两个重要的极限定理（Levi定理和 Fatou 引理 ）；能正确地区分这两个定理各自的适用范畴（Levi 定理只适合于单调递增的非负可测函数列,而Fatou 引理对任意的非负可测函数列都适合） ；会用 Levi定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理 ）,会用 Lebesgue基 本定理证明非负可测函数 L 积分的集合的完全可加性；会用 Levi 定理证明非负可测函 数 L 可积的重要性质积分的肯定连续性； 留意体会将非负可
3、测函数依据集合的可数不交的可测分解,借助集合的示性函 数转化为非负可测函数项级数的方法；留意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限 的方法； 会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的 非负简洁函数列的选取无关；以及 Levi 定理；L 积分与表示它的单调递增名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 把握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论： 设f x 为可测集 E 上的非负可测函数, 就f x dx0f x 0a e 于 E（称E为非负可
4、测函数积分值为零的特点）； 设 f x 为可测集 E 上的非负可测函数,就 f L E f x 在 E 上几乎到处有限（ 称为非负可测函数 L 可积 的有限性,留意 L 积分存在 不具有这个性质 ）； mE,f x 为 E 上几乎到处有限的非负可测函数,ny 满意：ny, lim n y n,y 0 0,y n 1 y n,就 f x L E y mE x y n f x y n 1 ；n 0（非负可测函数 L 可积的积分肯定连续性）设 f x 为可测集 E 上的非负可测函数,如 f x L E ,就 A E , A为可测集,总有mA lim 0 f x d x 0,A即 0 ,0 ,使得 A
5、 E , A 为可测集,当 mA 时,总有0 f x d x；A 的另一种表示：如 0 f x L E ,可测集 ne E ,且 lim n me n 0,就lim n f x d x 0；e n 将非负可测函数 f x 表示成单调递增非负可测函数列的极限的几种方法： 对任意自然数 m ,先将0,0,m m ,m 2m1k,km1 m ,k0m 22再利用逆象集的保持集合的运算性得名师归纳总结 EE x0f x m2m1E xkf x k1E x f x mm2mEm k,第 2 页,共 13 页k02m2mk0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之
6、法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思作非负简洁函数列就mx m k,xE xkf x k1 ,k0,1,m 2m1, 2mm 22m,且 lim mm ,xE x f x mm f x （将非负可测函数表示成单调递增非负简洁函数列的极限的方法 ）； 对任意自然数 n ,取fn minn f x f x ,f x n 称为 n 截断函n ,f x n数,就nf ,且 lim nfn f x ；）E 收敛于（将非负可测函数表示成单调递增非负可测函数列的极限的截断函数法 如 0f x a e 于 E ,取f x nf x ,f x n,就0,f x nnf ,且 lim nfn f x a e 于E；
7、如f x 在可测集 E 上非负可测,记E nEB0, n （明显E n,且E ）,fn x f xE nx ,其中E n x 为E 的特点函数,就nf ,且 lim nfn f x ；二、一般可测函数L 积分的学问要点： 把握一般可测函数L 积分的定义,懂得为什么并非可测集上的任何可测函数都有 L 积分,并知道一般可测函数L 可积的含义,以及与L 积分存在的区分； 娴熟把握 L 可积函数的常用性质【肯定可积性、有限性、唯独性、线性性、不等式性、集合的完全可加性、积分的肯定连续性】； 熟习积分肯定连续性的三种表现形式：名师归纳总结 f x L E0,0 ,使得AE , A为可测集,当 mA时,总
8、第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思有f x d x；Af x L EAE , A 为可测集,总有mA lim0Af x d x0；e nf x dx0；f x L Ee nE , n e 为可测集,只要 lim nme n0,总有,lim n 娴熟把握 L 积分的掌握收敛定理的两种形式：几乎到处收敛意义下的Lebesgue掌握收敛定理：依测度收敛意义下的 Lebesgue掌握收敛定理：以及在 mE 下的有界掌握收敛定理；并能利用掌握收敛定懂得决一些简洁的问题（如：求某些由积分定义的数列的极限
9、, 证明一般可测函数 第 37 题）等；L 积分的逐项积分性 （P112 通过 几乎到处收敛 意义下的 Lebesgue掌握收敛定理的证明认真体会 Fatou 引理在争论可测函数列 L 积分与极限可交换性问题中的作用,进而明白并把握合理利用Fatou 引理争论积分与极限可交换性问题的方法； 通过 依测度收敛 意义下的Lebesgue 掌握收敛定理的证明认真体会反证法和F.Riesz 定理的联合试使用在争论可测函数列 L 积分与极限可交换性问题中的作用,进而明白并把握合理利用反证法和F.Riesz定理争论积分与极限可交换性问题的方法；三、 R 积分与 L 积分的关系的学问要点： 把握 R 正常积
10、分与 L 积分的关系；在肯定条件下的 R 反常积分与 L 积分的关系；并能利用这些关系来求某些函数的 先利用积分的惟一性将所求积分转化为某 判定某些函数的 L 可积性；L 积分的值（ 留意：在求值时,往往需要 R 可积函数的 L 积分,然后再利用关系 ）,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 懂得函数 R 可积与函数连续的关系,并能利用这种关系判定某些函数 R 不可积；四、 Fubini 定理的学问要点： 能正确懂得并把握Fubini 定理的条件,正确表达Fubini 定理（包括
11、 非负可测函数的情形与一般可测函数的情形）,并明白利用 Fubini 定懂得决概率论中的一些简洁的问题的方法（如：卷积不等式,利用分布函数将重积分转化为单积分）,并会用 Fubini定理证明一些累次积分的可交换性；五、几种常用的转换方法： 将可测子集上的积分转化为n R 上的积分的方法 ：F x 设f x 是n R 上的可测函数,EEn R 是可测集,Rnf x dx 存在,记n R 上f x E f x ,xE,就f xdxFx x d（将子集上的积分转化为0,xERn的积分的方法 ）；名师归纳总结 将可测函数表示成一列可测函数列的极限的几种有效方法：第 5 页,共 13 页 设f x 为可
12、测集 E 上的可测函数, 记E nEB0, n ,fn f x E n x ,其中En x 为E 的特点函数,就 nlim nfn f ,xE；留意B0,n 也可记为B0, x xn ；一般地,任取ny,记E nEB 0,y n,fn f x En x ,其中En x 为E 的特点函数,就 lim nfn f x ,xE ；留意B0,y n也可记为B0,y nx xyn； 设f x 是可测集 E 上的可测函数, E 是 E 的一列收敛于 E 的可测子集,记fn f x E n x （ xE ）,其中E n x 为E 的特点函数,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
13、- - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思lim nfn f x ,xE ； 设 nf n 1,2, ,f x 都是可测集 E 上的可测函数,En 1 E ,E 单调递 n增 ,E 为 E 的一列可测子集,且 lim n f n f x , x E ,记f n f n E n x （ x E ）,其中 E n x 为 E 的特点函数,就仍有 lim n f n f , x E ； 设 f x 是可测集 E 上的可测函数, E 是 E 的一列收敛于 E 的可测子集,且 nlim n f n f x , x E ,记 f n f x n x （ x E ）,其中 E n x 为 E 的特点
14、函数,就仍有 lim n f n f x , x E ； 由 limn E f n f x d x 0 可 以 推 出 nf x f x 于 E , 进 而 推 出nf x f x于 E ；复习自测题：1、据理说明下面所列的结论是否成立：（1）设En R 为可测集,f x 为 E 上的非负简洁函数或非负可测函数,就f x 为 E 上的Lebesgue 可积函数；（2）设En R 为可测集,f x 为 E 上的可测函数,就f x 为 E 上的 Lebesgue 可积函数；（3）设En R 为零测集,f x 为 E 上的可测函数,就f x 为 E 上的 Lebesgue 可积函数；（3）设En R
15、 为可测集, 且 mE, x 为 E 上的可测函数, 就f x 为 E 上的 Lebesgue可积函数；（4）设ER 为可测集,且 mE n,如f x 为 E 上的有界可测函数,就f x 为 E 上的Lebesgue 可积函数；（5）设En R 为可测集,kf x ,k1,2,为 E 上的一列非负可测函数,就f k1fk 为 E 上的 Lebesgue 可积函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（ 6 ） 设ERn为 可 测 集 ,kf ,k1,2,为 E 上 的 一 列 非
16、 负 可 测 函 数 , 且lim klimkfk f x ,就f x 为 E 上的 Lebesgue可积函数；（7）设En R 为可测集,kf x （k1,2,）为 E 上的一列非负可测函数,就 lim kfk x 和fk x 为 E 上的 Lebesgue 可积函数；（8）设En R 为可测集,f x 为 E 上的非负可测函数,就f x 在 E 上几乎到处有限；2、利用积分的肯定连续性解决下面的问题： 设En R 为可测集,f x L E ,记E kE xf k ,k1,2,就（1） lim kmE k0, lim kkmE k0, lim kEkf x dx0；（2） 0f x a e
17、于 E ； x ,使得, 设En R 为可测集,f x L E ,就（1） 对任意0 ,存在n R 上的连续函数f dx；E 提示：留意恰当利用延拓形式的鲁金定理；名师归纳总结 其中（2）存在n R 上的一列连续函数kx ,使得,Ef x dx0；第 7 页,共 13 页Ek f x dx1,进而 lim kEk k 设En R 为可测集, 0f x L E ,记B0,rf x dx,0Ef x dx,F00,F r B0, x d x ,0r,就（1）r lim 0F r 0,F r 在 0, 上单调递增且连续；（2） lim rF r Ef x dx ；（3）存在不相交的可测子集E E 1
18、 2E ,使得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思EE 1E ,E 1f dx1E2f x dx ；2提示：（1）利用积分的肯定连续性以及集合的单调性；（2）留意到极限的归结原就以及EE0k1EB0, lim kEB0, k ,fk f x EB0,kf x ,用 Live 定理可得,n limF n Ef x dx ；E ,使（3）对F r 用连续函数的介值性得出,存在可测子集E 1Ef x 1 dx1,；2再取E 2E E 留意到积分的集合可加性即可得出 1E2f x dx123、利用 Live 定懂得决下面问题
19、：E k设ERn是 可 测 集 ,f x 为 E 上 的 非 负 可 测 函 数 , 且f x 于 E , 记E x f x,证明：klim kE ；E 的示性函数；（1）E n,且Ek1E k（2）fk f x Ek ,且 lim kfk f x ,其中E k x 为（3） lim kE kf x dxEf x dx ；4、利用 Fatou 引懂得决下面的积分与极限的可交换性问题：名师归纳总结 设En R 为可测集,kf , x k1,2,为E上的可测函数,如kf g x a e 于E,就第 8 页,共 13 页lim kfk f x a e 于E,且存在0g x L E ,使得,f x ,
20、fk L E,k1,2, lim kEfk f dx0,进而f x d x,lim kEfk dxEf x dx ；提示：取F k 2 fk f x 用 Fatou 引理； 设En R 为可测集,f x ,fk L E,k1,2,如lim kfk f x a e 于 E ,且 lim kEfk dxE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思就 lim kEfk f x dx0,进而 lim kEfk dxEf x dx；提示：取 F k f k f x f k f x 用 Fatou 引理；n 设 E R 为可测集,kf
21、 , x k 1,2, 为 E 上的可测函数,如limk f k f x a e 于 E ,且存在 0 g k , x g x L E ,使得,f k g k x , lim k g k g x a e 于E, lim k E g k d x E g x d x ,就 f x , f k L E , k 1,2, lim k E f k f x d x 0,进而lim k E f k d x E f x d x；提示：取 F k g k g x f k f x 用 Fatou 引理；5、利用几乎到处收敛意义下的 Lebesgue 掌握收敛定理和 F.Riesz 定理以及反证法解决下面的积分与极
22、限的可交换性问题：名师归纳总结 设En R 为可测集,kf x （k1,2,）,f x 为 E 上几乎到处有限的可测函数,如第 9 页,共 13 页kf f x 于 E , 且 存 在 0gxLE, 使 得 ,kfx ga e 于 E , 就f x ,fk L E,k1,2, lim kEfk f dx0,进而lim kEfk dxEf x dx； 设En R 为可测集,f x ,fk L E,k1,2,如kf f x 于 E ,且 lim kEfk d xEf x dx,就 lim kEfk f x dx0,进而 lim kEfk dxEf x dx ； 设En R 为可测集,kf x （k
23、1,2,）,f x 为 E 上几乎到处有限的可测函数,如kf f x 于 E ,且存在 0gk , L E ,使得,fk gk x , lim kgk g x a e 于E, lim kEgk dxEg x dx ,就f x ,f k L E ,k1,2, lim kEfk f x dx0,进而- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思lim kEfk dxEf x dx；kf 设En R 为可测集,kf x （k1,2,）,f x 为 E 上几乎到处有限的可测函数,如 f x 于 E ,且存在 0ggk , L E ,使
24、得,fk k x 于 E , limkEgk g x d x0,就（1）g k fkg x 于 E ,且 lim kEEgk dxfkEg x dx；x0,进而（2）f x , L E ,k1,2, lim kE f x dlim kfk dxEf x dx ；提示：（1）留意到Egk dxEg x dxEgk g x dx 和 lim kEgk g x dx0,立刻可得, lim kEgk dxEg x dx ；0Eg k 0g x d x对任意0 ,留意到mE x gk g x E x g k g x gk g x d x和 lim kEgk g x dx0可得,g x lim kmE x
25、 gk g x 0,即 lim kmE x gk ,所以g k g x 于 E ；（2）用反证法,并利用（1）,F.Riesz 和即可；6、利用 Lebesgue 掌握收敛定理或 证明：Live 定懂得决下面的极限问题：3名师归纳总结 （1）lim k0,11kx2sinkx x0；lim k0,11k x2sinkx x0；第 10 页,共 13 页2 k x2 k x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1lim k0,11kx22sinkx x0；x1；,求,2 k x（2）lim k0,1xke2xd x1；l
26、im k0,k1xke2xd xkk7、利用 L 积分与 R 积分的关系运算下面的L 积分：0,1Q（1）设 Q 为 0,1 上的有理数全体,f x x 2xe,2 sinx ee x,ln1xQ0,1f dx ；ex,x0,Q（2）设 Q 为 0, 上的有理数全体,f x xex 2,2 xsin eln1xQ求0,f x dx ；（3）设 P 为 0,1 上的三分 Cantor 集,求0,1f dx ；f x 3 xx e2,2 x,sin ex,xP,E,sin 1 ln1e x,xP求（4）设E0,mE0,f x xexsinx2sin eex0,ln1xE0,f x dx ；8、用
27、Fubini 定懂得决下面的问题：设Ep R 为可测集,Fq R 为可测集, 如f x y 为EFRpq R 上的非负可测函数 （或Lebesgue 可积函数）,就名师归纳总结 E Ff x y , d d x yEdxFf , dy ；f x y , 第 11 页,共 13 页9、（第 3、4 章的综合题）设ER , mE n,f x y 为ER1上的实函数,（1）如对几乎全部的xE ,f x y 都是 y 在1 R 上的连续函数； 对任取的y1 R,都是 x 在 E 上的可测函数, 证明：对于任何 E 上的实值可测函数g x ,F x f x g x 也是 E- - - - - - -精选
28、学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思上的可测函数；如（2）设f x y仍满意：存在常数0C,使得,对任意xE y1 R ,f x yC1y,g n , g x 是 E 上的可积函数,lim ngn g x a e 于 E ,且lim nEgn d xEg x dx,证明：lim nEfx g n fx g x dx0；第 9 题的参考解答：名师归纳总结 证明：（1）由条件可得存在一个零测集E 0E,使得任取xEE ,f , x y 是 y 在1 R 上第 12 页,共 13 页的 连 续 函 数 ； 由 可 测 函 数 与 简 单 函 数 的 关
29、 系 , 存 在 E 上 的 一 列 简 单 函 数 kx , 使 得g x lim kk ae 于 E ,故存在零测集FE ,使得任取xEF ,有g x lim kk x ；m由条件可得,对每个k ,f x ,k 为 E 上的可测函数； （由于k i1c iEi x ,其中mEi1E ,iE 可测且两两不交,所以由（2）,在每个iE 上,f x ,k f x c i为可测函数）任取xEE 0F,F x f x g x lim kf x ,k ；所以,由可测函数的极限性,F x f x g x , 是 E 上的可测函数；（2）反证：设存在00 和in,使得Efx gin fx g x , d
30、x0（*）由条件易知fx gin fx g x 0a e 于 E ；又由条件知：fx gni fx g x C2gn i g x ,令G x C2gn i g x fx gni fx g x 0,就由 Fatou 引理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思EC22g x d xElim iG x d xlim iEG x dx由于 mElim iEC2gn i g x fx gn i fx g x , d x0,从而lim iEC2g ni g x d xlim iEfx gn i fx g x dxEC22g x d xlim iEfx gn i fx g x , d .,且g x 是 E 上的可积函数,故lim iEfx gin fx g x , d x与（ *）冲突；故结论成立；证毕；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页