《2022年高考数学全程复习知识点同步学案第四章平面向量数系的扩充与复数的引入平面向量的数量积及应用举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学全程复习知识点同步学案第四章平面向量数系的扩充与复数的引入平面向量的数量积及应用举例.docx（78页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 3 讲 平面对量的数量积及应用举例1平面对量的数量积 平面对量数量积的定义已知两个非零向量a 和 b,它们的夹角为,把数量 |a|b|cos_ 叫做 a 和 b 的数量积 或内积 ,记作 ab即 ab|a|b|cos_ ,规定 0a0. 2向量数量积的运算律 1ab ba2a babab3ab cac bc3平面对量数量积的有关结论坐标表示2 2已知非零向量ax1,y1,bx2,y2 性质几何表示模|a|aa|a|x 2 1y2 1夹角cos ab |a|b|cos xx1x2y1y22 1y2 1x2 2yab 的充要条件ab0x1x2y
2、1y20 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|（x2 1y2 2 21）（ x 2y 2）做一做 1 x 高考x 卷设向量a 3,3, b1, 1如 a bab,就实数_解析： 由题意得, ab ab0,即 a 2 2b 2 182答案： 3 2 0,解得 3.2x 高考江西卷 已知单位向量e1,e2的夹角为,且 cos 1 3,如向量 a3e12e2,就|a| _解析： |a| 2 aa 3e1 2e2 3e1 2e2 9|e1| 2 xe1e2 4|e2| 2 9 x 1 11 3 49.|a|3.答案： 3 1辨明三个易误点10 与实数 0 的区分： 0a0 0,
3、a a0 0, a00 0； 0 的方向是任意的,并非没有方向,0 与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系2ab 0 不能推出 a0 或 b0,由于 ab0 时,有可能 ab. 3ab aca 0不能推出 bc,即消去律不成立2有关向量夹角的两个结论1两个向量a 与 b 的夹角为锐角,就有ab0,反之不成立 由于夹角为0 时不成立 ；2两个向量a 与 b 的夹角为钝角,就有ab0,反之不成立 由于夹角为 时不成立 做一做 名师归纳总结 3已知向量a,b 和实数 ,就以下选项中错误选项 第 1 页,共 45 页A|a|a aB|ab|a| |b| C ababD|ab|a| |b| -
4、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 选 B.|ab|a|b|cos |,只有 a 与 b 共线时,才有 |ab|a|b|,可知选项 B 是错误的为4x x 武汉调研 已知向量a,b 满意 |a|3,|b|23,且 aa b,就 a 与 b 的夹角 B.2 3A. 23 C. 4D.5 6解析： 选 D. aab. aa ba 2ab|a| 2|a|b|cosa, b 0,故 cosa,b3 52,故所求夹角为 6 . 考点一 _平面对量数量积的运算 _ 1x 沧州模拟 已知平面对量 ax1,y1,bx2,y2,如 |a| 2,|b|3,ab 6,就x
5、1 y1 的值为 x2 y2A.2 3 B235 5C. 6 D62x高考 x 卷 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB 8,AD5,CP 3PD ,AP 2,就 AB AD 的值是 _ 解析 1由已知得,向量 ax 1,y1与 bx2,y2反向, 3a2b0,即 3x 1,y 12x 2,y 20,0,得 x12 3x2,y1 2 3y 2,故 x2y2 x1y12 3.2由CP 3PD ,得 DP 1 4DC 1 4AB , AP AD DP AD 1 4AB ,BP AP AB AD1 4AB AB AD 3 4AB.由于 AP BP 2,所以 AD 1 4AB AD 3 4AB
6、 2,即 AD 2 1 2ADAB3 16AB 22.又由于 AD 225,AB 264,所以 ABAD22.答案 1B 222 规律方法 向量数量积的两种运算方法：1当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 2当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即如 x1x2y1y2.ab|a|b|cosa,bax1, y1,bx2,y2,就 ab运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应敏捷挑选相应公式求 解名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.1x高考 x 卷已知点 A1,1 ,B1,2, C2, 1,D
7、3,4,就向量 AB 在CD 方向上的投影为 B.315 215A.3 2 2C3 2 2D322x贵阳市适应性考试 如图,在矩形 ABCD 中, AB点,点 F 在边 CD 上,如 AB AF 2,就 AE BF 的值是 A. 2 B2 C0 D1 2,BC 2,点 E 为 BC 的中 3xx 梅州模拟 已知向量 OA 2, 2,OB 4,1,在 x 轴上存在一点P 使AP BP有最小值,就P 点的坐标是 A3,0 B2,0 C3, 0 解析： 1 选 A. 由已知得D4,0 AB 2, 1 , CD 5, 5,因此 AB 在 CD 方向上的投影为 CD15 5 23 2 2 .|2|CD|
8、2选 A.AF AD DF ,AB AF AB AD DFAB AD AB DF AB DF 2|DF2,|DF |1, |CF |21,AE BF AB BE BC CF AB CF BE BC 211 2 2222,应选 A.3选 C.设 P 点坐标为 x,0,就AP x2, 2,BP x4, 1AP BP x2x4 2 1x 26x10x3 21.当 x3 时, AP BP 有最小值 1.点P 坐标为 3,0考点二 _平面对量的夹角与模 高频考点 _ 平面对量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为挑选题、填空题,难度适中,属中档题高考对平面对量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度：
9、1求两向量的夹角；2求向量的模； 3两向量垂直； 4求参数值或范畴就实数 k1x 高考重庆卷 已知向量 ak,3,b 1,4,c2, 1,且 2a3bc, 名师归纳总结 A9B0 第 3 页,共 45 页2C3 D.15 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x高考江西卷 已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ,且 cos 1 3,向量 a3e12e2 与b3e1 e2的夹角为 ,就 cos _3已知点 G 是 ABC 的重心, BACx0 , AB CA 2,就 |AB AG AC |的最小值为 _解析 1由于 ak,3,b1,4,所以 2a3b 2k
10、,331,42k3,6由于 2a3bc,所以 2a3b c2k3, 6 2,122k360,解得 k3.应选 C.22|a|（ 3e12e2）9412 1 11 33,|b|（3e1e2）2916 1 11 3 2 2,ab3e12e2 3e1e2 9e 219e1e22e 2 99 1 1 1 328,cos 3 2 2 82 2 3 .3由于 BACx0 ,AB CA 2,所以 |AB |CA |cos180 x02,所以 |AB |AC |4.由于点 G 是 ABC 的重心,所以 AG 2 3 1 2AB AC 1 3AB AC ,2所以 |AB AG AC | 243（AB AC ）1
11、6 9 AB 2AC 22AB AC 16 9 AB 2AC 2416 9 2|AB |AC |416 9 2 4464 9,当且仅当 |AB|AC|时等号成立故|AB AG AC |的最小值为 83.答案 1C 2 23 2 383规律方法 1.利用数量积求解长度的处理方法：1|a| 2a 2a a；2|ab| 2a 22ab b 2；3如 ax,y,就 |a|x 2y 2.2求两个非零向量的夹角时要留意：1向量的数量积不满意结合律；名师归纳总结 2数量积大于0 说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0 说明两个向量的第 4 页,共 45 页夹角为直角；数量积小于0 且两个向量不能共线
12、时两个向量的夹角就是钝角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1x忻州市高三x 次联考 已知向量aa2b0,|a|2,|b|2,就向量 a,b 的夹角为 BC ,那A.B.233 C. 6D.562x云南省昆明三中、玉溪一中统一考试在 ABC 中,设 AC 2 AB 22AM 么动点 M 的轨迹必通过ABC 的 A垂心B内心C外心 D重心3x北京海淀区期中考试 已知ABC 是正三角形,如大于 90 ,就实数 的取值范畴是 _a AC AB 与向量 AC 的夹角解析： 1设 是 a 与 b 的夹角,由 aa2b0,可得 |a|2 2ab0.依据向量数量积
13、的定义及已知条件,得 2 22 2 2 cos 0, cos 1 2,23 .2设 BC 边的中点为 D,AC 2AB 22AM BC ,AC AB AC AB 2AM BC ,即AD BC AM BC ,MD BC 0,MD BC ,MD BC,MD 为 BC 的垂直平分线,动点 M 的轨迹必通过 ABC 的外心,应选 C.3由于 AC AB 与向量 AC 的夹角大于 90 ,所以AC AB AC 0,即 |AC | 2|AC |AB|cos 602.答案： 1B 2C 32 考点三 _向量数量积的综合应用 _ x 高考辽宁卷 设向量 a 1如|a|b|,求 x 的值；3sin x,sin
14、x,b cos x,sin x,x0, 2 2设函数 fxab,求 fx的最大值解 1由|a| 2 3sin x 2sin 2x4sin 2x,|b| 2cos 2xsin 2x1,及|a|b|,得 4sin 2x 1. 又 x0,2,从而 sin x1 2,所以 x6.2fx ab3sin xcos xsin 2x3 1 1 12 sin 2x2cos 2x2sin2 x62, 当 x30,2时, sin2x6取最大值 1.所以 fx的最大值为3 2.如本例变为：已知向量acos ,sin ,bcos ,sin , 0 ,c0,1,如 abc,求 , 的值解： 由于 abcos cos ,
15、sin sin 0,1,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以cos cos 0,sin sin 1.由此得, cos cos ,由 0 ,得 0 .又 0,5 所以 6,6.规律方法 平面对量与三角函数的综合问题：1题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解2给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等3.x 广州海珠区高三入学摸底考试 在 ABC 中,角
16、A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 mcosAB,sinAB,ncos B, sin B,且 m n3 5. 1求 sin A 的值；2如 a4 2,b5,求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影解： 1由 m n3 5,得 cosABcos B sinABsin B3 5,所以 cos A3 5.2由于 0Ab,所以 AB,2就 B4,由余弦定理得 4 2 25 2c 22 5c3 5,解得 c1.故向量 BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos Bccos B1222 . 2交汇创新 平面对量与线性规划的交汇名师归纳总结 |OA| |OB|OA x 高考安徽卷 在平
17、面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A,B 满意第 6 页,共 45 页OB 2,就点集 P|OP OA OB ,| |1, , R 所表示的区域的面积是 A2 2B2 3 C42 D43 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 由|OA|OB|OA OB 2,知OA ,OB 3.当 0,0, 1 时,在 OAB 中,取 OC OA ,过点 C 作 CD OB 交 AB 于点 D,作 DE OA 交 OB 于点E,明显 OD OA CD .由于 OBAC AO,CD OB222,CD 1OB ,OD OA 1OB OA OB OP ,1 时,点 P
18、在线段 AB 上,0,0, 1 时,点 P 必在 OAB 内包括边界 考虑 | |1 的其他情形,点P 构成的集合恰好是以AB 为一边,以OA,OB 为对角线一半的矩形,其面积为 S4SOAB41 2 2 2sin 34 3.答案 D 名师点评 由平面对量的模与数量积求解夹角考查了应用意识,由平面对量的分解考查了抽象概括才能和推理才能yx,已知 x,y 满意 xy2,如OA x,1,OB 2,y,且 OA OB 的最大xa,值是最小值的 8 倍,就实数 a 的值是 A1 B.1 31 1C. 4 D. 8解析： 选 D. 由于 OA x,1, OB 2,y,所以 OA OB 2xy,令 z2x
19、y,依题意,不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,观看图象可知,当目标函数 z2xy过点 C1,1时, zmax2 1 13,目标函数 所以 3 8 3a,解得 a1 8,应选 D. z2xy 过点 Fa,a时, zmin 2aa 3a,名师归纳总结 1x 高考 x 卷已知向量 a1,3,b3,m. 如向量 a,b 的夹角为 6,就实数 m第 7 页,共 45 页 A2 3B.3 C0 D3 解析： 选 B. ab1,3 3,m 33m,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 ab1 2（3）2 3 2m 2 cos 6,33m1 2（3）23 2m
20、 2 cos 6,m3.2x 云南省 x 次统一检测 设向量 a1,2,bm,1,假如向量 a2b与 2ab平行,那么 a 与 b的数量积等于 A7 2 B1 23 5C. 2 D. 2解析： 选 D.a2b 12m,4, 2ab 2m,3,由题意得 31 2m 42m0,就 m12,所以 ab 11 22 15 2.3x 高考 x 卷 在四边形 ABCD 中, AC 1,2,BD 4,2,就该四边形的面积为 A. 5 B2 5 C5 D10 解析： 选 C.AC BD 1, 2 4, 2 4 40,AC BD ,S 四边形 ABCD1 2|AC|BD |1 25 2 55.4x x 长沙模拟
21、 关于平面对量a,b,c,有以下三个命题：如 abac,就 a0 或 bc；如 a1,k,b2,6且 ab,就 k1 3；30 .其中全部真命题的非零向量a, b 满意 |a|b|ab|,就 a 与 ab 的夹角为个数为 A0 B1 C2 D3 解析： 选 C.如 ab ac,就 abc0,可得 a0 或 bc 或 abc,即命题 不正确；如 a1,k,b2,6且 ab,就 ab 26k0,得 k1 3,即命题 正确；非零向量 a,b 满意 |a|b| |a b|,就可得出一个等边三角形,且 a 与 ab 的夹角为 30 ,即命题 正确,综上可得真命题有 2 个5在 ABC 中,AC AB1,
22、BC BA2,就 AB 边的长度为 |AB | |BA |A1 B3 C5 解析： 选 B.由题意画示意图,如图,长为 1,BC BA2 表示 BC 在BA 上的投影为|BA |D9 AC AB1 表示 AC 在 AB 上的投影为 1,即 AD 的|AB |2,即 BD 的长为 2,故 AB 边的长度为 3.名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6x 高考重庆卷 已知向量a 与 b 的夹角为60 ,且a2, 6,|b|10,就ab_解析： a2, 6,|a|（ 2）2（ 6）22 10,ab2 1010cos 60 1
23、0.答案： 10 7x 昆明市 x 次调研 在 ABC 中, B90 , ABBC1,点 M 满意 BM 2AM ,就CM _解析： 建立如下列图的平面直角坐标系,由于 BM 2AM ,故点 A 是 BM 的中点依题意 C1, 0, A0, 1, M0 , 2,就 CA 1, 1, CM 1, 2,所以 CM CA 1 11 2 3.答案： 3 8x 山西省 x 次四校联考 圆 O 为 ABC 的外接圆,半径为 2,如 AB AC 2AO ,且|OA|AC|,就向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 _解析： AB AC 2AO ,O 是 BC 的中点,故 ABC 为直角三角形在 AOC 中
24、,有|OA| |AC|,B30.由定义知,向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 |BA|cos B2 32 33.答案： 3 9已知 |a|4, |b|8,a 与 b的夹角是 x0 . 1运算： |ab|, |4a2b|；2当 k 为何值时, a2b kab. 解： 由已知得, ab4 81 2 16.1 |ab| 2 a 2 2abb 2162 1664 48,|ab|4 3.|4a2b| 216a 216ab4b 216 1616 164 64768.|4a2b|16 3.2a2bkab,a2b kab0,ka 22k1ab2b 20,即 16k162k 12 640.k 7.即 k
25、7 时, a2b 与 kab 垂直名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10已知 a1,2,b 2,n,a 与 b 的夹角是 45 . 1求 b；2如 c 与 b同向,且 a 与 ca 垂直,求 c. 解： 1ab2n2,|a|5,|b|n24,ABC 的cos 45 2n 22 2,3n216nx0n15n 24n6 或 n2 3舍去 ,b2,62由1知, ab10, |a|25.又c 与 b 同向,故可设cb0ca a0,ba|a| 20,2|a| ba 5 101 2.c1 2b1,31已知 AB ,AC 是非零
26、向量,且满意AB 2AC AB ,AC 2AB AC ,就外形为 A等腰三角形B直角三角形C等边三角形 解析： 选 C.AB 2ACD等腰直角三角形AB . AB 2AC AB 0,即 AB AB 2AC AB 0.AC 2AB AC . AC 2AB AC 0,即 AC AC 2AB AC 0,AB AB AC AC 2AB AC ,即 |AB |AC|,而 cos AAB AC1 2,|AB |AC |A60 ,ABC 为等边三角形就2x 高考 x 卷记 max x,y x,xy,min x,yy, xy,设 a,b 为平面对量,y,xy,x, x|ab|,此时, |ab| 2|a| 2|
27、b| 2；当 a,b 夹角为钝角时,|ab|a| 2 |b| 2；当 ab 时, |ab| 2|ab| 2 |a| 2 |b| 2,应选 D.3单位圆上三点 A, B,C 满意 OA OB OC 0,就向量 OA ,OB 的夹角为 _解析： A ,B,C 为单位圆上三点,名师归纳总结 |OA | |OB |OC |1,cosOA ,OB 1 2,向量OA ,第 10 页,共 45 页又OA OB OC 0,OC OB OA ,OC2OB OA2OB2OA22OB OA ,可得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OB 的夹角为 x0.答案： x04设集合
28、D 平面对量 ,定义在 D 上的映射 f 满意：对任意 xD,均有 fx x R,且 0如 |a|b|且 a,b 不共线,就 fafb a b_；如 A1,2,B3,6,C4,8,且 fBCAB ,就 _解析： fafb ab ab aba 2b 20；BC 1, 2,AB 2,4 ,又 fBC AB ,就 BC AB ,2.答案： 0 2 5已知向量 acos ,sin ,bcos ,sin ,c1,01求向量 bc 的长度的最大值2设 4,且 a bc,求 cos 的值解： 1法一： bccos 1,sin ,就|bc| 2cos 1 2sin 221 cos 1cos 1,0|bc| 2
29、4,即 0|bc| 2.当 cos 1 时,有 |bc|2,向量b c的长度的最大值为 2.法二： |b|1,|c|1,|bc|b|c|2.当 cos 1 时,有 bc2,0,即|bc|2,向量b c的长度的最大值为 2.2法一： 由已知可得coscos .bccos 1,sin ,abccos cos sin sin cos abc,abc0,即 coscos .由 即 4,得 cos 4 cos 4, 42k 4kZ,2k 2或 2k ,kZ,于是 cos 0 或 cos 1.法二： 如 4,就 a2 2,2.2又由 bcos ,sin ,c1, 0得 a bc2 2,2cos 1,sin
30、 2 2 cos 2 2 sin 2 2 .2abc,abc0,即 cos sin 1,sin 1cos ,名师归纳总结 平方后化简得cos cos 10,第 11 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 cos 0 或 cos 1.经检验 cos 0 或 cos 1 即为所求6选做题 已知向量 amx 2, 1,bmx1 1,x m 是常数 ,且 fx1 ab. 1如 fx是奇函数,求 m 的值；2设函数 gxf 2x 2,争论当实数 m 变化时,函数 gx的零点个数解： 1由题意知, abmxmx1 2xmx1 x,所以 fxmx
31、1xm1 x.由题设,对任意的不为零的实数 以 m0.x,都有 fx fx,即 m1 x m1 x恒成立,所2由1知, gxm2 xx 2,就 gx 0. x22mx40, 4m24所以当 m2 或 m2 时,函数 gx有两个零点；当 m2 时,函数 gx有一个零点；当 2m2 时,函数 gx没有零点第 4 讲 数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念1复数的概念：a,b 分别是它的实部和虚部如b0,就 a形如 abia,bR的数叫复数,其中bi 为实数；如b 0,就 abi 为虚数；如a0 且 b 0,就 abi 为纯虚数2复数相等： abicdi. ac 且 bda,b,c,d R3共轭复数： abi 与 c di 共轭 . ac, b da,b,c,dRa4复数的模：|z|或 |a bi|,即 |z| |a bi|向量 OZ 的模r 叫做复数zabi a, b R的模,记作2b22复数的几何意义 一一对应 1复数 zabi 复平面内的点Za,ba,bR一一对应 2复数 zabi a,b R平面对量 OZ 3复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法就设 z1abi,z2cdi a,b,c,d R,就加法： z1z2abi c