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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点等差数列学问点及类型题一、数列由 a 与 S 的关系求 a n由 S 求 a 时,要分 n=1 和 n 2 两种情形争论,然后验证两种情形可否用统一的解析式表示,S 1 n 1如不能,就用分段函数的形式表示为 a n；S n S n 1 n 2例 1依据以下条件,确定数列 a n 的通项公式；a n 2 a n 0 , 2 S n2分析：将无理问题有理化,而后利用 a 与 S 的关系求解；二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义,a nan1d常数n2,其次种是利用等
2、差中项,即2ana n1a n1n2；2、解挑选题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判定；a 是等差数（ 1）通项法：如数列a 的通项公式为n 的一次函数,即a =An+B,就a 是等差数列；（ 2）前 n 项和法：如数列a 的前 n 项和S 是S nAn2Bn 的形式（ A,B是常数）,就 列；注： 如判定一个数列不是等差数列,就只需说明任意连续三项不是等差数列即可；例 2已知数列 a 的前 n 项和为S ,且满意S nS n12S S n10n2,a 112（ 1）求证： 1 S n 是等差数列；（ 2）求a 的表达式；【变式】 已知数列 an的各项均为正数,2 a11.其前 n 项和
3、 Sn满意 2Sn2pa nanppR,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点就an的通项公式为 _（二）等差数列的基本运算量1、等差数列的通项公式a =1a +（ n-1 ） d 及前 n 项和公式S nn a 12a nna 1n n1d ,共涉及五个2a ,a ,d,n, S , “ 知三求二” ,表达了用方程的思想 解决问题；a 和 d 是等差数列的两个基本量,用它2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而们表示已知和未知是常用方法；注： 由于S ndna 1d 2a 1
4、n1d,故数列 S n 是等差数列；nnn 2 p nq n N , p q为常数,且x ,x ,5x 成等差数列；n22例 3已知数列 x 的首项1x =3,通项x求：（ 1）p q 的值；p q ；（ 2）通过x 利用条件分成两个（ 2）数列 x 的前 n 项和S 的公式；分析： （1）由1x=3 与x ,1x ,x 成等差数列列出方程组即可求出可求和的数列分别求和；（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d0, 就数列递增；如d0,d0, 且满意,前 n 项和 S 最大；a n 1 0a n 0（ 2）如 a10 ,且满意,前 n 项和 S 最小；a n 1 0
5、（ 3）除上面方法外,仍可将 a n 的前 n 项和的最值问题看作 S 关于 n 的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,留意 n N；例 4在等差数列 a n 中,a 16 a 17 a 18 a 9 36,其前 n 项和为 S ；（ 1）求 S 的最小值,并求出 S 取最小值时 n 的值；（ 2）求 T n a 1 a 2 a n；a n 0分析：（1）可由已知条件,求出 a1,d, 利用 求解,亦可用 S 利用二次函数求最值；a n 1 0（ 2）将前面是负值的项转化为正值求解即可；例 5已知数列 a n是等差数列；（ 1）如a mn anm mn,求am n;nN*,满意关
6、系式2Sn3an3. （ 2）如S mn S nm mn ,求S m n.【变式】 已知数列 an 的各项均为正数,Sn为其前 n 项和,对于任意的1求数列 an 的通项公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2设数列 bn 的通项公式是bn名师总结优秀学问点n,总有 Tn0,anan 11 2,于是 an是等差数列,故 an1n 1 1 2n12 . （二）等差数列的基本运算量1、等差数列的通项公式a =1a +（ n-1 ） d 及前 n 项和公式S nn a 12a nna 1n n1d ,共涉及五个2a ,
7、a ,d,n, S , “ 知三求二” ,表达了用方程的思想 解决问题；a 和 d 是等差数列的两个基本量,用它2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而们表示已知和未知是常用方法；求：注： 由于S ndna 1d 2a 1n1d,故数列 S n 是等差数列；nnn 2 p nq n N , p q为常数,且x ,1x ,5x 成等差数列；n22例 3已知数列 x 的首项1x =3,通项x（ 1）p q 的值；（ 2）数列 x 的前 n 项和S 的公式；分析： （1）由1x =3 与x ,x ,x 成等差数列列出方程组即可求出p q ；（ 2）通过x 利用条件分成两个可求和
8、的数列分别求和；解答 ：（ 1）由1x =3 得2pq3 5 2p8 q 又x 424p4 , q x55 2p5 ,且x 1x 52x4,得35 2p5q由联立得p1,q1；（ 2）由（ 1）得nx2n n,（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d0, 就数列递增；如d0,d0, 且满意a n100,前 n 项和S 最大；a n（ 2）如 a10 ,且满意a n100,前 n 项和S 最小；a n（ 3）除上面方法外,仍可将a n的前 n 项和的最值问题看作数的图象或配方法求解,留意nN；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
9、- - - 名师总结优秀学问点an13 n60例 4在等差数列 a n中,a 16a 17a 18a 936,其前 n 项和为S ；（ 1）求S 的最小值,并求出S 取最小值时n 的值；（ 2）求T na 1a2a n；分析：（1）可由已知条件,求出a1,d, 利用a n100求解,亦可用S 利用二次函数求最值；a n（ 2）将前面是负值的项转化为正值求解即可；解答： （1）设等差数列 a n 的首项为 a ,公差为 d ,a 16a 17a 183 a 1736,a 1712,da 17a 93,a na9n9d3n63,179,令a n13 n6300,得: 20n21,a n3 n60S
10、 20S 2120 60 3630,当 n=20 或 21 时,S 最小且最小值为-630. 2（ 2）由（ 1）知前 20 项小于零,第21 项等于 0,以后各项均为正数；当n21 时, T nS nn 603 n633n2123n .2Sn3an3. n,总有 Tn1. 222当n21 时,T nS n2 S 21n 603 n632 S 2132 n123n1260.222综上,T n32 n123nn2122.3 n 22a n 123n1260例 5已知数列 n212是等差数列；（ 1）如a mn anm mn,求am n;（ 2）如S mn S nm mn ,求S m n.解答：
11、设首项为a ,公差为 d ,（1）由amn anm,dnm1 10.mna m nammnm dnn（ 2）由已知可得mna 1n n1d,解得a 1n2m2mnmn.2mnnma 1m m1dd2mn2mnS m nmn a 1mn mn1dmnnN*,满意关系式2【变式】已知数列 an 的各项均为正数,Sn为其前 n 项和,对于任意的1求数列 an 的通项公式；2设数列 bn 的通项公式是bn1,前 n 项和为 Tn,求证：对于任意的正整数log3anlog 3an11解当 n1 时,由 2Sn3an3 得, 2a13a1 3,a13. 当 n2 时,由 2Sn3an3 得,2Sn13an
12、13. 两式相减得： 2SnSn 13an3an1,即 2an3an3an1,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点an3an 1,又 a1 3 0, an是等比数列, an3 n. 验证：当 n1 时, a13 也适合 an3 n. an 的通项公式为 an 3 n. 1 1 2证明bnlog 3anlog 3an1log 33 nlog33 n1n1n 11 nn1 1,Tnb1 b2 bn11 21 2 1 3 1 n1 n111 1.n1跟踪训练1. 已知等差数列首项为2,末项为 62,公差
13、为 4,就这个数列共有（ ）A13 项 B14 项 C15 项 D16 项 2. 已知等差数列的通项公式为 an=-3n+a,a 为常数,就公差 d= （ ）3. 在等差数列 a n 中,如 a1+a2=-18,a5+a6=-2 ,就 30 是这个数列的（）A第 22 项 B 第 21 项 C第 20 项 D第 19 项 4. 已知数列 a,-15 ,b,c,45 是等差数列,就 a+b+c 的值是 （ ）A-5 B 0 C5 D10 5. 已知等差数列 a n 中,a1+a2+a3=-15,a3+a4=-16 ,就 a1= （ ）A-1 B -3 C -5 D -7 6. 已知等差数列 a
14、n 满意 a2+a7=2a3+a4,那么这个数列的首项是（ ）7. 已知数列 an 是等差数列,且 a3+a11=40,就 a6+a7+a8等于 （ ）A84 B 72 C60 D43 8. 已知等差数列 a n 中,a1+a3+a5=3,就 a2+a4= （ ）A3 Ban2 C1 D-1 191 在此数列an中应是（）9. 已知数列：3 ,7 ,11 ,15 ,19 ,就A第 21 项 B 第 41 项 C第 48 项 D第 49 项10. 已知数列 an中,1a3,前 n 和S n1 2n1an11M对一切正整数n 都成立？如存在,（1）求证：数列 a n是等差数列（2）求数列 a n的通项公式（3）设数列a11的前 n 项和为T ,是否存在实数M ,使得Tnnan求 M 的最小值,如不存在,试说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀学问点第 10 页,共 10 页- - - - - - -