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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 第一讲 数列定义及其性质 一、基本概念：1、通项公式：a ；S n2、前 n 项和：S n3、关系：a nS n1n2二、性质：1、单调性：增数列：anan1；减数列：a nan1；常数列：ana n12、最值：an最大值：减数列0,a80,0=0,a 90,最小值：增数列S n最大值：+L0如S 7最大,就a7如S 7或S 8 最大,就a 7a 8最小值 : 与上面相反3、前 n 项积 T 有最大值：n三、几种常见数列：1、 -1,7,-13,19 L2、 7,77,777, L3、1 3 5 2 4 8L
2、L4、16 11, ,L95、2, ,4 6, 83 15 35 63随堂训练：- 1 -名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 2 n1、已知数列 a n 通项公式是 a n,那么这个数列是（）3 n 1A.递增数列 B. 递减数列 C.摇摆数列 D.常数列2、已知数列 a n 满意 a 1 0,a n 1 1,那么这个数列是（）a n 2A.递增数列B. 递减数列C.摇摆数列D.常数列a n1a 成立,就3、已知数列 an通项公式是ann2kn2,如对任意n* N ,都有实数 k
3、的取值范畴是（）nn10 , 1T n是数列 a n的前 n 项积,即T na a a3La n,4、已知数列 an通项公式是an2当T 取到最大值是,n 的值为（）2 n ,就a 的值是（）5、设数列 an的前 n 项和S n- 2 -名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 等差数列专题一、等差数列学问点回忆与技巧点拨1等差数列的定义一般地, 假如一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d
4、 表示2等差数列的通项公式如等差数列 an 的首项是 a1,公差是 d,就其通项公式为3等差中项ana1 n1 d nm dp. 假如三个数 x,A,y 组成等差数列, 那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项,假如 A是 x 和 y 的等差中项,就 Ax y 2 . 4等差数列的常用性质1 通项公式的推广：anam n m d n,mN * 2 如 an 为等差数列,且mnpq,就 amanapaq m,n,p,qN * 3 如 an 是等差数列,公差为 d,就 ak,akm,ak2m, k,mN *是公差为 md的等差数列4 数列 Sm,S2 mSm,S3mS2m, 也是等差数列5 S2n
5、12 n1 an. 6 如 n 为偶数,就 S偶S奇nd 2；如 n 为奇数,就 S奇S偶 a中 中间项 5等差数列的前 n 项和公式如已知首项 a1和末项 an,就 Snn a1an2,或等差数列 an 的首项是 a1,公差是 d,就其前 n 项和公式为 Snna1n n12 d. 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd 2n 2 a1d2n,数列 an 是等差数列的充要条件是 SnAn 2Bn A,B 为常数 7最值问题3名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 在等差数列
6、an 中, a10,d0,就 Sn存在最大值,如 a10,d0,就 Sn存在最小值一个推导 n 项和公式：利用倒序相加法推导等差数列的前 Sna1a2a3 an, Snanan 1 a1,得： Snna1an. 2两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元1 如奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为 ,2 如偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为 ,余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判定方法a2d,ad,a,ad,a 2d, . a3d,ad,a d,a3d, ,其1 定义法：对于n2 的任意自然数,验证anan 1为同一常数；2 等差中项法：验证2an
7、1anan2 n3, nN * 都成立；3 通项公式法：验证 anpnq；4 前 n 项和公式法：验证 SnAn 2Bn. 注：后两种方法只能用来判定是否为等差数列,而不能用来证明等差数列基础训练：（公式的运用,定义的把握）1已知等差数列 a n 中, a3=9,a9=3,就公差 d 的值为（）AB1 CD 1 2已知数列 a n 的通项公式是 an=2n+5 ,就此数列是（）A以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B以 7 为首项,公差为 5 的等差数列C 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 D不 是等差数列3在等差数列 a n 中, a1=13,a3=12,如 an=2,就 n 等于
8、（）A23 B24 C25 D26 4两个数 1 与 5 的等差中项是（）A1 B3 C2 D5（ 2005.黑龙江）假如数列 a n 是等差数列,就（）4名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- Aa1+a8a4+a5B a1+a8=a4+a5C a1+a8a4+a5D a1a8=a4a5考点 1: 等差数列的通项与前n 项和题型 1：已知等差数列的某些项,求某项【解题思路】 给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法【例 1】 已知an为等差数列,a158,a6020,就
9、a75对应练习 ：1、已知an为等差数列,amp,anq（m ,n ,k互不相等）,求a .2、已知 5 个数成等差数列,它们的和为5 ,平方和为 165,求这 5 个数 . 题型 2：已知前 n 项和S 及其某项,求项数. 【解题思路】利用等差数列的通项公式a na 1n1 d求出a 及 d ,代入S 可求项数 n ；利用等差数列的前4 项和及后 4 项和求出a1a n,代入S 可求项数 n . 【例 2】 已知S 为等差数列an的前 n 项和,a 49,a 96,S n63,求 n对应练习：5名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - -
10、- - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 3、如一个等差数列的前4 项和为 36,后 4 项和为 124,且全部项的和为780,求这个数列的项数 n . 4、已知S 为等差数列an的前 n 项和,a 1,1a47,S n100,就 n . 题型 3：求等差数列的前n 项和. . 【解题思路】 （1）利用S 求出a ,把肯定值符号去掉转化为等差数列的求和问题an（2）含肯定值符号的数列求和问题,要留意分类争论. 【例 3】 已知S 为等差数列an的前 n 项和,Sn12nn2. （1）a 1a2a3；求a 1a2a 3a 10；求a 1a 2a 3练习：6名师归纳总结 - - - -
11、- - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 对应练习： 5、已知S 为等差数列an的前 n 项和,S 10100,S 10010,求S 110.考点 2 ：证明数列是等差数列【名师指引】 判定或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：a n 1and（nN, d 是常数）an是等差数列；是等差数列 . 2、中项法：2 an1ana n2nNan是等差数列；3、通项公式法：a nknb（k,b是常数）an是等差数列；4、项和公式法：SnAn2Bn（A,B是常数,A0）an是等差数列 . 【例 4】已知S 为等差数列an的
12、前 n 项和,b nS nnN. 求证：数列bnn对应练习： 6、设S 为数列an的前 n 项和,S npnannN,a 1a 2.（1）常数 p 的值；（ 2） 证：数列an是等差数列 . 7名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 考点 3 : 等差数列的性质【解题思路】 利用等差数列的有关性质求解. n .；【例 5】 1、已知S 为等差数列an的前 n 项和,a6100,就S 112、知S 为等差数列an的前 n 项和,S nm ,S mnnm,就Sm）对应练习： 7、含2n1
13、个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（8. 设S 、A .2 n1anB .nn1C.n12D.n1 . nn2nT 分别是等差数列an、的前 n 项和,S n7n,就a5Tnn3b 5考点 4： 等差数列与其它学问的综合【解题思路】 1、利用a 与S 的关系式及等差数列的通项公式可求；满意：b311,2、求出T 后,判定T 的单调性 . 【例 6】 已知S 为数列an的前 n 项和,Sn1n211n；数列b n22b n22b n1b n,其前 9 项和为153 .1 ,求使不等式 数列an、bn的通项公式；设T 为数列cn的前 n 项和,c n2an62b n11 Tnk对nN都成
14、立的最大正整数k 的值 . 578名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 课后练习：1.2022广雅中学 设数列a n是等差数列, 且a 28,a 155,S 是数列a n的前 n 项和,就AS 10S BS 10S 112a C S 9S 10 DS 9S 10 . 2. 在等差数列an中,a5120,就aa4a6a8 . n3. 数列an中,an2n49,当数列n的前 n 项和S 取得最小值时,4. 已知等差数列an共有 10 项,其奇数项之和为 10 ,偶数项之和为 30,就其公差是 . 5. 设数列a n中,a 12,a n1a nn1,就通项an . 9名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 太原志成学校 艺术类理科数学讲义- 对应练习： 9. 已知S 为数列an的前 n 项和,a 13,S nS n12 ann2.数列an的通项公式；ak1对任意不小于 k 的正整数都成数列an中是否存在正整数k ,使得不等式ak立？如存在,求最小的正整数k ,如不存在,说明理由10名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页