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1、高中数学教案 第 6 章 算术平均数与几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 1 页（共 7 页）课 题：算术平均数与几何平均数（1）教学目的：1 学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 2 理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 3 通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力 教学重点：均值定理证明 教学难点：等号成立条件 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1同向不等式
2、：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 例如：ab，cb，那么 ba，如果 bb(对称性)即：abba；bb 定理 2：如果 ab，且 bc，那么 ac(传递性)即 ab，bcac 定理 3：如果 ab，那么 a+cb+c 即 aba+cb+c 推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d(相加法则)即 ab，cd a+cb+d 定理 4：如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么 acb 0，且 cd0，那么 acbd(相乘法则)推论 2 若0,(1)nnababnNn则且 定理 5 若0,(1)nnaba
3、b nNn则且 二、讲解新课：1重要不等式：如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba 高中数学教案 第 6 章 算术平均数与几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 2 页（共 7 页）baabDDABC证明：222)(2baabba 当22,()0,()0,abababab时当时 所以，0)(2ba，即.2)(22abba 由上面的结论，我们又可得到 2定理：如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba 证明：,2)()(22abba abba2，即abba2显然，当且仅当abbaba2,时说明：）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何
4、平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求 a,b 都是正数）“当且仅当”的含义是充要条件 3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为 a+b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC=a,CB=b过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD,那么CBCACD2，即abCD 这个圆的半径为2ba，显然，它不小于 CD，即abba2，其中当且仅当点 C 与圆心重合；即 a=b 时，等号成立 三、讲解范例：例 1 已知 x,y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值
5、 P,那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值;2 P（2）如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时，积 xy 有最大值.412S 证明：因为 x,y 都是正数，所以 xyyx2 高中数学教案 第 6 章 算术平均数与几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 3 页（共 7 页）（1）积 xy 为定值 P 时，有Pyx2 Pyx2 上式当yx 时，取“=”号，因此，当yx 时，和yx 有最小值P2（2）和 x+y 为定值 S 时，有,2Sxy 214x yS 上式当 x=y 时取“=”号，因此，当 x=y 时，积 xy 有最大值241S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值
6、的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在 例 2 已知：（ab）（xy）2（aybx），求证：2yxbabayx 分析：本题结论中，注意yxbabayx与互为倒数，它们的积为 1，可利用公式ab2ab，但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yxbabayx与为正数开始证题 证明：（ab）（xy）2（aybx）axaybxby2ay2bx axaybybx0（axbx）（ayby）0（ab）（xy）0，即ab与xy同号 yxbabayx与均为正数 yxbabayxyxbabayx22(当且仅当y
7、xbabayx时取“”号)高中数学教案 第 6 章 算术平均数与几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 4 页（共 7 页）yxbabayx2 点评：我们在运用重要不等式a2b22ab时，只要求a、b为实数就可以了 而运用定理：“abba2”时，必须使a、b满足同为正数本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断xyab与abxy是正还是负，是我们今后解题中常用的方法 四、课堂练习：1 已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc 分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a0，b0）灵活变形，可求得结果 答案：a，b，c都是正数 ab2ab
8、0；bc2bc0；ca2ac0（ab）（bc）（ca）2ab2bc2acabc 即（ab）（bc）（ca）abc 2 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3 分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形 答案：x，y都是正数，yx0，xy0，x20，y20，x30，y30(1)xyyxxyyx22 即xyyx2 (2)xy2xy0；x2y2222yx0；x3y3233yx0（xy）（x2y2）（x3y3）2xy222yx233yxx3y3 高中数学教案 第 6 章 算术平均数与
9、几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 5 页（共 7 页）即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3 3 求证：（2ba）2222ba 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2b22ab，恰当变形，是证明本题的关键 答案：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）2 2（a2b2）（ab）2 不等式两边同除以 4，得 222ba（2ba）2，即（2ba）2222ba 五、小结：本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba ab）它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都
10、是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 六、课后作业：(1)“ab2ab”是“aR，bR”的(B )A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件(2)设ba0，且ab1，则此四个数21，2ab，a2b2，b中最大的是(A )Ab Ba2b2 2ab D 21(3)设a，bR，且ab，ab2，则必有(B )A 1 ab222ba Bab1 222ba Cab222ba 1 D 222ba ab1(4)已知a，bR且ab4，则下列各式恒成立的是(B )A211ab Bba111 ab2 D41122 ba(5)若ab0，则下面不等式正确的是(C )
11、Aabbabaab22 Babbaabba22 C22baabbaab D22babaabab(6)若a，bR 且ab，在下列式子中，恒成立的个数为（D ）高中数学教案 第 6 章 算术平均数与几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 6 页（共 7 页）a23ab2b2 aba3b2a2b3 a2b22（ab1）abba2 A 4 B3 2 D1(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且plogc2ba，q2loglogbacc，r2log21bac，则p，q，r的大小关系是(C )Apqr Bpqr CrPq Dprq(8)已知xy0，xy1，求证：yxyx22
12、22 证明：xy0，xy1 yxyxyxxyyxyxyx2)(2)(222 2yxyx2)(22，即yxyx2222(9)已知a2，求证：loga（a1）loga（a1）1 证明：a2 loga(a1)0,loga(a1)0,loga(a1)loga(a1)loga（a1）loga（a1）2)1(log)1(logaaaa2 21loga（a21）2（21logaa2）21 即 loga（a1）loga（a1）1 (10)已知a，bR，证明：log2（2a2b）22 ba 证明：a，bR log2（2a2b）log2（2ba22）log2（2 22ba）1 2ba 22 ba,即 log2（2
13、a2b）22 ba(11)若a，b，cR，且abc1，求证：29111accbba 证明：a，b，cR，且abc1 2（ab）（bc）（ca）高中数学教案 第 6 章 算术平均数与几何平均数（第 4 课时）王新敞 新疆奎屯市一中 第 7 页（共 7 页）（ab）（bc）（ca）（accbba111）3)()(accbba3 3111accbba 故29111accbba(12)已知方程ax2bxc0 有一根x10，求证：方程cx2bxa0 必有一根x2，使得x1x22 证明：方程ax2bxc0 有一根x10 ax12bx1c0,a211xcxb0 c（11x）2b11xa0(方程cx2bxa0 必有一根11x0)x1x2x111x2 故方程cx2bxa0 必有一根x2，使得x1x22 七、板书设计（略）八、课后记：