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1、2017 年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1若集合 A=2，0，1，B=x|x1 或 x0，则 AB=（）A2 B1 C2，1 D2，0，1 2二项式的展开式的第二项是（）A6x4 B6x4 C12x4 D12x4 3已知实数 x，y 满足则 2x+y 的最小值为（）A11 B3 C4 D2 4圆 x2+y22y=0 与曲线 y=|x|1 的公共点个数为（）A4 B3 C2 D0 5已知an为无穷等比数列，且公比 q1，记 Sn为an的前 n 项和，则下面结论正确的是（）Aa3a2 Ba1+a20 C是递增数列 DSn存在最小值 6已
2、知 f（x）是 R 上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图 1、图 2、图 3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A B C D 8已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为 x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为 y1，y2，y3，y4，如图所示将小圆盘逆时针旋转 i（i=1，2，3，4）次，每次转
3、动 90，记 Ti（i=1，2，3，4）为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如 T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1若 x1+x2+x3+x40，y1+y2+y3+y40，则以下结论正确的是（）AT1，T2，T3，T4中至少有一个为正数 BT1，T2，T3，T4中至少有一个为负数 CT1，T2，T3，T4中至多有一个为正数 DT1，T2，T3，T4中至多有一个为负数 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在极坐标系中，极点到直线 cos=1 的距离为 10已知复数，则|z|=11在ABC 中，A=2B，2a=3b，则 cosB=12已知函数 f（x）=，则 f（1）
4、（填“”或“”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数 n=13在四边形 ABCD 中，AB=2若，则=14已知椭圆 G：的两个焦点分别为 F1和 F2，短轴的两个端点分别为 B1和 B2，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|当 b变化时，给出下列三个命题：点 P 的轨迹关于 y 轴对称；存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个；|OP|的最小值为 2，其中，所有正确命题的序号是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15已知函数 f（x）=sin2xcos（）求 f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（）求
5、 f（x）在区间上的最小值 16为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）本次调查结果整理成条形图如下图中，已知课程 A，B，C，D，E 为人文类课程，课程 F，G，H 为自然科学类课程为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组 M”）（）在“组 M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少（）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取 4 名同学前往，其中选
6、择课程 F 或课程 H 的同学参加本次活动，费用为每人 1500 元，选择课程 G 的同学参加，费用为每人 2000 元（）设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程 G 的人数，求随机变量 X的分布列；（）设随机变量 Y 表示选出的 4 名同学参加科学营的费用总和，求随机变量 Y的期望 17如图，三棱锥 PABC，侧棱 PA=2，底面三角形 ABC 为正三角形，边长为 2，顶点 P 在平面 ABC 上的射影为 D，有 ADDB，且 DB=1（）求证：AC平面 PDB；（）求二面角 PABC 的余弦值；（）线段 PC 上是否存在点 E 使得 PC平面 ABE，如果存在，求的值；如果不存在
7、，请说明理由 18已知动点 M 到点 N（1，0）和直线 l：x=1 的距离相等（）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（）已知不与 l 垂直的直线 l与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C判断点 N 和圆 C 的位置关系，并证明你的结论 19已知函数 f（x）=eaxx（）若曲线 y=f（x）在（0，f（0）处的切线 l 与直线 x+2y+3=0 垂直，求 a 的值；（）当 a1 时，求证：存在实数 x0使 f（x0）1 20对于无穷数列an，记 T=x|x=ajai，ij，若数列an满足：“存在 tT，使得只要 amak=t（m，kN*且 mk），必
8、有 am+1ak+1=t”，则称数列an具有性质 P（t）（）若数列an满足判断数列an是否具有性质 P（2）是否具有性质 P（4）（）求证：“T 是有限集”是“数列an具有性质 P（0）”的必要不充分条件；（）已知an是各项为正整数的数列，且an既具有性质 P（2），又具有性质 P（5），求证：存在整数 N，使得 aN，aN+1，aN+2，aN+k，是等差数列 2017 年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合 A=2，0，1，B=x|x1 或 x0，则 AB=（）A2 B1 C2，1
9、 D2，0，1【考点】1E：交集及其运算【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 A=2，0，1，B=x|x1 或 x0，AB=2，1 故选：C 2二项式的展开式的第二项是（）A6x4 B6x4 C12x4 D12x4【考点】DB：二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：二项式的展开式的第二项=12x4 故选：D 3已知实数 x，y 满足则 2x+y 的最小值为（）A11 B3 C4 D2【考点】7C：简单线性规划【分析】画出可行域，设 z=2x+y，利用目标函数的几何意义其最小值【解答】解：由已知得到平面区域如图：设 z=2x+y，则 y=2x+z，由它在 y 轴的截距最
10、小，得到 z 最小，由图可知当直线过 A（0，3）时，z 最小，所以最小值为 3；故选：B 4圆 x2+y22y=0 与曲线 y=|x|1 的公共点个数为（）A4 B3 C2 D0【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】求出圆心到直线的距离，即可得出结论【解答】解：圆 x2+y22y=0，可得 x2+（y1）2=1，圆心为（0，1），半径为 1，圆心（0，1）到直线 y=x1 的距离 d=1，圆心（0，1）到直线 y=x1 的距离 d=1，圆 x2+y22y=0 与曲线 y=|x|1 的公共点个数为 0，故选 D 5已知an为无穷等比数列，且公比 q1，记 Sn为an的前 n 项和，则下面结论
11、正确的是（）Aa3a2 Ba1+a20 C是递增数列 DSn存在最小值【考点】88：等比数列的通项公式【分析】在 A 中，当 a10 时，a3a2；在 B 中，当 a10 时，a1+a20；在 C中，是递增数列；在 D 中，当 a10 时，Sn不存在最小值【解答】解：由an为无穷等比数列，且公比 q1，记 Sn为an的前 n 项和，知：在 A 中，当 a10 时，a3a2，故 A 错误；在 B 中，当 a10 时，a1+a20，故 B 错误；在 C 中，=，是递增数列，故 C 正确；在 D 中，当 a10 时，Sn不存在最小值，故 D 错误 故选：C 6已知 f（x）是 R 上的奇函数，则“x
12、1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：函数 f（x）是奇函数，若 x1+x2=0，则 x1=x2，则 f（x1）=f（x2）=f（x2），即 f（x1）+f（x2）=0 成立，即充分性成立，若 f（x）=0，满足 f（x）是奇函数，当 x1=x2=2 时，满足 f（x1）=f（x2）=0，此时满足 f（x1）+f（x2）=0，但 x1+x2=40，即必要性不成立，故“x1+x2=0
13、”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A 7现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图 1、图 2、图 3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A B C D【考点】L7：简单空间图形的三视图【分析】根据题意，画出编号为、的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可【解答】解：编号为的三棱锥，其直观图可能是，其侧棱 VC底面 ABC，侧面 VAC底面 ABC，满足条件；编号为的三棱锥，其直观图可能是，其侧面 PBC平面 ABC，满足条件；编号为的三棱锥，其直观图可能为，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况 综上，满足题意的序号
14、是 故选：B 8已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为 x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为 y1，y2，y3，y4，如图所示将小圆盘逆时针旋转 i（i=1，2，3，4）次，每次转动 90，记 Ti（i=1，2，3，4）为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如 T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1若 x1+x2+x3+x40，y1+y2+y3+y40，则以下结论正确的是（）AT1，T2，T3，T4中至少有一个为正数 BT1，T2，T3，T4中至少有一个为负数 CT1，T2，T3
15、，T4中至多有一个为正数 DT1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】由（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）T1+T2+T3+T40 即可得到 T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T40 T1，T2，T3，T4中至少有一个为正
16、数，故选 A 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在极坐标系中，极点到直线 cos=1 的距离为 1 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线 cos=1 的距离【解答】解：直线 cos=1，即 x=1，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线cos=1 的距离为 1，故答案为 1 10已知复数，则|z|=【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出【解答】解：复数=i1，则|z|=故答案为：11在ABC 中，A=2B，2a=3b，则 cosB=【考点】
17、HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】利用正弦定理化简 2a=3b，将 A=2B 代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，根据 sinB 不为 0，确定出 cosB 的值即可【解答】解：由正弦定理化简 2a=3b 得：2sinA=3sinB，把 A=2B 代入得：2sin2B=3sinB，即 4sinBcosB=3sinB，sinB0，4cosB=3，即 cosB=，故答案为：12已知函数 f（x）=，则 f（1）（填“”或“”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数 n=2 【考点】55：二分法的定义【分析】根据函数的单调性即可判断，再根据函数的零点存在定理即可求出【解答】解：易知函数 f（x）=
18、为减函数，则 f（）f（1），f（1）=12=1，f（）=20，f（1）f（）0，函数 f（x）的零点所在的区间为（，1），f（x）在区间上存在零点，=，解得 n=2，故答案为：，2 13在四边形 ABCD 中，AB=2若，则=2 【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据条件画出图形，并取 AB 中点 E，连接 CE，从而得出四边形 ADCE为平行四边形，进而得出，进行数量积的运算即可求出的值【解答】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，则：；四边形 ADCE 是平行四边形；，且 AB=2；故答案为：2 14已知椭圆 G：的两个焦点分别为 F1和 F2，短轴的两个端点分别为 B1和
19、 B2，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|当 b变化时，给出下列三个命题：点 P 的轨迹关于 y 轴对称；存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个；|OP|的最小值为 2，其中，所有正确命题的序号是 【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】运用椭圆的定义可得 P 也在椭圆+=1 上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断正确；通过 b 的变化，可得不正确；由图象可得当 P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断【解答】解：椭圆 G：的两个焦点分别为 F1（，0）和 F2（，0），短轴的两个端点分别为 B1（0，b）和 B2（0
20、，b），设 P（x，y），点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=22b，即有 P 在椭圆+=1 上 对于，将 x 换为x 方程不变，则点 P 的轨迹关于 y 轴对称，故正确；对于，由图象可得轨迹关于 x，y 轴对称，且 0b，则椭圆 G 上满足条件的点 P 有 4 个，不存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个，故不正确；对于，由图象可得，当 P 满足 x2=y2，即有 6b2=b2，即 b=时，|OP|取得最小值，可得 x2=y2=2，即有|OP|的最小值为 2，故正确 故答案为：三、解答题共
21、6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15已知函数 f（x）=sin2xcos（）求 f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（）求 f（x）在区间上的最小值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】（I）根据差角公式化简 f（x），利用正弦函数的性质求出对称轴和周期；（II）根据 x 的范围得出 2x 的范围，再利用正弦函数的性质得出 f（x）的最小值【解答】解：（）所以 f（x）的最小正周期，令 2x=+k，解得 x=+k 所以 f（x）的对称轴方程为 x=+k，kZ（）因为，所以 2x0，所以 所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为1 16
22、为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）本次调查结果整理成条形图如下图中，已知课程 A，B，C，D，E 为人文类课程，课程 F，G，H 为自然科学类课程为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组 M”）（）在“组 M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少（）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取 4 名同学前往，其中选择课程 F 或课程 H 的同学参
23、加本次活动，费用为每人 1500 元，选择课程 G 的同学参加，费用为每人 2000 元（）设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程 G 的人数，求随机变量 X的分布列；（）设随机变量 Y 表示选出的 4 名同学参加科学营的费用总和，求随机变量 Y的期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（）根据频率分布直方图的性质即可得出（）（）依题意，随机变量 X 可取 0，1，2利用“超几何分布列的计算公式与性质”即可得出（）法 1：依题意，随机变量 Y=2000X+1500（4X），可得随机变量 Y 的数学期望为 E（Y）=6000+500E（X）（
24、）法 2：依题意，随机变量 Y 可取 6000，6500，7000求出随机变量 Y 的分布列，进而得出数学期望【解答】解：（）选择人文类课程的人数为1%=12（人）；选择自然科学类课程的人数为1%=8（人）（）（）依题意，随机变量 X 可取 0，1，2.；故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 p （）法 1：依题意，随机变量 Y=2000X+1500（4X）=6000+500X，所以随机变量 Y 的数学期望为 E（Y）=6000+500E（X）=6000+500（）=6500（）法 2：依题意，随机变量 Y 可取 6000，6500，7000 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 6000
25、6500 7000 p 所以随机变量 Y 的数学期望为 E（Y）=6500 17如图，三棱锥 PABC，侧棱 PA=2，底面三角形 ABC 为正三角形，边长为 2，顶点 P 在平面 ABC 上的射影为 D，有 ADDB，且 DB=1（）求证：AC平面 PDB；（）求二面角 PABC 的余弦值；（）线段 PC 上是否存在点 E 使得 PC平面 ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）推导出DBA=CAB=60，ACBD 为平面四边形，从而 DBAC由此能证明 AC平面 PDB（）由点 P 在平面 ABC 上的射影
26、为 D 可得 PD平面 ACBD，以 D 为原点，DB为 x 轴，DA 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 PABC 的余弦值（）求出，由0，求出在线段 PC上不存在点 E 使得 PC平面 ABE【解答】（本小题满分 14 分）证明：（）因为 ADDB，且 DB=1，AB=2，所以，所以DBA=60 因为ABC 为正三角形，所以CAB=60，又由已知可知 ACBD 为平面四边形，所以 DBAC 因为 AC平面 PDB，DB 平面 PDB，所以 AC平面 PDB 解：（）由点 P 在平面 ABC 上的射影为 D 可得 PD平面 ACBD，所以 PDDA，PD
27、DB 如图，以 D 为原点，DB 为 x 轴，DA 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知 B（1，0，0），P（0，0，1），平面 ABC 的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）为平面 PAB 的一个法向量，则 由，得，令 y=1，则，所以平面 PAB 的一个法向量=（），所以 cos=，由图象知二面角 PABC是钝二面角，所以二面角PABC的余弦值为（）由（）可得，因为，所以 PC 与 AB 不垂直，所以在线段 PC 上不存在点 E 使得 PC平面 ABE 18已知动点 M 到点 N（1，0）和直线 l：x=1 的距离相等（）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（
28、）已知不与 l 垂直的直线 l与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C判断点 N 和圆 C 的位置关系，并证明你的结论【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】（）利用抛物线的定义，即可求动点 M 的轨迹 E 的方程；（）由题意可设直线 l：x=my+n，由可得 y24my4n=0，求出 A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论【解答】解：（）设动点 M（x，y），由抛物线定义可知点 M 的轨迹 E 是以 N（1，0）为焦点，直线 l：x=1 为准线的抛物线，所以轨迹 E 的方程为 y2=4x（）点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上 理由：由题意可设
29、直线 l：x=my+n，由可得 y24my4n=0（*），因为直线 l与曲线 E 有唯一公共点 A，所以=16m2+16n=0，即 n=m2 所以（*）可化简为 y24my+4m2=0，所以 A（m2，2m），令 x=1 得，因为 n=m2，所以 所以 NANP，所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上 19已知函数 f（x）=eaxx（）若曲线 y=f（x）在（0，f（0）处的切线 l 与直线 x+2y+3=0 垂直，求 a 的值；（）当 a1 时，求证：存在实数 x0使 f（x0）1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出原函数的导
30、函数，结合曲线 y=f（x）在（0，f（0）处的切线 l 与直线 x+2y+3=0 垂直，求 a 的值；（）当 a0 时，有 f（1）ea101，即存在实数 x0使 f（x0）1；当 a0，a1 时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由单调性求出函数的极小值，再由导数求出极小值的最大值得答案【解答】（）解：f（x）=aeax1，曲线 y=f（x）在（0，f（0）处的切线与直线 x+2y+3=0 垂直，切线 l 的斜率为 2，f（0）=a1=2，a=3；（）证明：当 a0 时，显然有 f（1）ea101，即存在实数 x0使 f（x0）1；当 a0，a1 时，由 f（x）=0 可得，在
31、时，f（x）0，函数 f（x）在上递减；时，f（x）0，函数 f（x）在上递增=是 f（x）的极小值 设，则，令 g（x）=0，得 x=1 x（0，1）1（1，+）g（x）+0 g（x）极大值 当 x1 时 g（x）g（1）=1，综上，若 a1，存在实数 x0使 f（x0）1 20对于无穷数列an，记 T=x|x=ajai，ij，若数列an满足：“存在 tT，使得只要 amak=t（m，kN*且 mk），必有 am+1ak+1=t”，则称数列an具有性质 P（t）（）若数列an满足判断数列an是否具有性质 P（2）是否具有性质 P（4）（）求证：“T 是有限集”是“数列an具有性质 P（0）”
32、的必要不充分条件；（）已知an是各项为正整数的数列，且an既具有性质 P（2），又具有性质 P（5），求证：存在整数 N，使得 aN，aN+1，aN+2，aN+k，是等差数列【考点】8H：数列递推式；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（）由可得 a2a1=2，但 a3a2=12，数列an不具有性质 P（2）；同理可判断数列an具有性质 P（4）（）举例“周期数列 1，1，2，2，1，1，2，2，T=1，0，1是有限集，利用新定义可证数列an不具有性质 P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可（）依题意，数列an是各项为正整数的数列，且an既具有性质 P（2），又具有性质 P（
33、5），可证得存在整数 N，使得 aN，aN+1，aN+2，aN+k，是等差数列【解答】（本小题满分 13 分）解：（），a2a1=2，但 a3a2=12，数列an不具有性质 P（2）；同理可得，数列an具有性质 P（4）（）（不充分性）对于周期数列 1，1，2，2，1，1，2，2，T=1，0，1是有限集，但是由于 a2a1=0，a3a2=1，所以不具有性质 P（0）；（必要性）因为数列an具有性质 P（0），所以一定存在一组最小的且 mk，满足 amak=0，即 am=ak 由性质 P（0）的含义可得 am+1=ak+1，am+2=ak+2，a2mk1=am1，a2mk=am，所以数列an中，
34、从第 k 项开始的各项呈现周期性规律：ak，ak+1，am1为一个周期中的各项，所以数列an中最多有 m1 个不同的项，所以 T 最多有个元素，即 T 是有限集（）因为数列an具有性质 P（2），数列an具有性质 P（5），所以存在 M、N，使得 aM+paM=2，aN+qaN=5，其中 p，q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质 P（2），P（5）的含义可得，aM+p+kaM+k=2，aN+q+kaN+k=5，若 MN，则取 k=NM，可得 aN+paN=2；若 MN，则取 k=MN，可得 aM+qaM=5 记 M=maxM，N，则对于 aM，有 aM+paM=2，aM+qaM=5，
35、显然 pq，由性质 P（2），P（5）的含义可得，aM+p+kaM+k=2，aN+q+kaN+k=5，所以 aM+qpaM=（aM+qpaM+（q1）p）+（aM+（q1）paM+（q2）p）+（aM+paM）=2qaM+qpaM=（aM+pqaM+（p1）q）+（aM+（p1）qaM+（p2）q）+（aM+qaM）=5p 所以 aM+qp=aM+2q=aM+5p 所以 2q=5p，又 p，q 是满足 aM+paM=2，aM+qaM=5 的最小的正整数，所以 q=5，p=2，aM+2aM=2，aM+5aM=5，所以，aM+2+kaM+k=2，aM+5+kaM+k=5，所以，aM+2k=aM+2（k1）+2=aM+2k，aM+5k=aM+5（k1）+5=aM+5k，取 N=M+5，则，所以，若 k 是偶数，则 aN+k=aN+k；若 k 是奇数，则 aN+k=aN+5+（k5）=aN+5+（k5）=aN+5+（k5）=aN+k，所以，aN+k=aN+k 所以 aN，aN+1，aN+2，aN+k，是公差为 1 的等差数列 2017 年 6 月 4 日