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1、 1 运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。A、线性规划的标准型右端项非零；B、线性规划的标准型目标求最大；C、线性规划的标准型有等式或不等式约束；D、线性规划的标准型变量均非负。2、下面命题不正确的是（）。A、线性规划的最优解是基本解；B、基本可行解一定是基本解；C、线性规划有可行解则有最优解；D、线性规划的最优值至多有一个。3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。A、若（P）求最大则（D）求最小；B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解；C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制；D、（P）和（D）互为对偶。4、课程中讨论的运输问题有基本特
2、点（）。A、产销平衡；B、一定是物品运输的问题；C、是整数规划问题；D、总是求目标极小。5、线性规划的标准型有特点（）。A、右端项非零；B、目标求最大；C、有等式或不等式约束；D、变量均非负。6、下面命题不正确的是（）。A、线性规划的最优解是基本可行解；B、基本可行解一定是基本解；C、线性规划一定有可行解；D、线性规划的最优值至多有一个。7、线性规划模型有特点（）。A、所有函数都是线性函数；B、目标求最大；C、有等式或不等式约束；D、变量非负。8、下面命题正确的是（）。A、线性规划的最优解是基本可行解；B、基本可行解一定是最优；C、线性规划一定有可行解；D、线性规划的最优值至多有一个。9、一个
3、线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。A、（P）有可行解则（D）有最优解；B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解；C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解；D、（P）（D）互为对偶。10、运输问题的基本可行解有特点（）。A、有 mn1 个基变量；B、有 m+n 个位势；C、产销平衡；D、不含闭回路。2 二、简答题（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用
4、？（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？（7）如何进行换基迭代运算？（8）大 M 法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？（9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？（11）如何在以 B 为基的单纯形表中，找出 B1？该表是怎样由初始表得到的？（12）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律？（13）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解？（14）叙述互补松
5、弛定理及其经济意义。（15）什么是资源的影子价格？它在经济管理中有什么作用？（16）对偶单纯形法有哪些操作要点？它与单纯形法有哪些相同，哪些地方有区别？（17）灵敏度分析主要讨论什么问题？分析的基本思路是什么？四种基本情况的分析要点是什么？三、模型建立题（1）某厂生产 A，B，C 三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表 3-1 所示：表 3-1 产品 A B C 资源数量 原料单耗 机时单耗 2 2.5 3 3 5 6 2000 2600 利润 10 14 20 另外，要求三种产品总产量不低于 65 件，A 的产量不高于 B 的产量。试制定使总利润最大的模型。（2）某钻井队要从以下 10
6、个可供选择的井位中确定 5 个钻井探油，使总的钻井费用最小。若 10 个井位的代号为12310,s sss，相应的钻井费用为1210,c cc，并且井位选择上要满足下列限制条件：或选择1s和7s，或选择钻探8s；3 选择了3s或4s就不能选5s，或反过来也一样；在5678,s s s s中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。（3）某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表 32 所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。表 32 备选校址代号 覆盖的居民小区编号 A 1，5，7 B 1，2，5 C 1，3，5 D
7、 2，4，5 E 3，6，F 4，6，（4）一货船，有效载重量为 24 吨，可运输货物重量及运费收入如表 3-3 所示，现货物 2、4 中优先运 2，货物 1、5 不能混装，试建立运费收入最多的运输方案。表 3-3 货物 1 2 3 4 5 6 重量（吨）5 9 8 7 10 23 收入（万元）1 4 4 3 5 7（5）运筹学中著名的旅行商贩（货朗担）问题可以叙述如下：某旅行商贩从某一城市出发，到其他几个城市推销商品，规定每个城市均需到达且只到达一次，然后回到原出发城市。已知城市 i 和城市 j 之间的距离为dij问商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程最短。试对此问题建立整数规划模
8、型。4 四、计算及分析应用题 （1）某公司打算利用具有下列成分（见表 4-1）的合金配制一种新型合金 100 公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为 3：2：5。表 4-1 合金品种 1 2 3 4 5 含铅%含锌%含锡%30 60 10 10 20 70 50 20 30 10 10 80 50 10 40 单价（元/kg）8.5 6.0 8.9 5.7 8.8 如何安排配方，使成本最低？（2）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表 4-2 表 4-2 班次 时间 最少人数 1 2 3 4 5 6 6:0010:00 10:0014:00 14:0018:00 18:0022:00 22:
9、002:00 2:006:00 60 70 60 50 20 30 假定每人上班后连续工作 8 小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？（3）某工地需要 30 套三角架，其结构尺寸如图 4-1 所示。仓库现有长 6.5 米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？图 4-1 （4）用图解法求下列线性规划的最优解：0,425.134 12 64 min )1(2121212121xxxxxxxxxxz 0,82 5 1032 44 max )2(2121212121xxxxxxxxxxz 3 3 1.4 1.4 1.7 5 0,6 054 4 22232 96
10、 max )3(21221212121xxxxxxxxxxxz 0,1 1234 3 max )4(21212121xxxxxxxxz （5）把下列线性规划化为标准形式：无约束432143213214313210,01 32 21 2 min )1(xxxxxxxxxxxxxxxxxz 无约束211212121,02 1 82 32 max )2(xxxxxxxxxz （6）求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。5,1 ,018 2 312 2 48 53 max521423121jxxxxxxxxxxzj （7）求下列线性规划的解：（1）（2）0,182 36 8 2
11、53 max21212121xxxxxxxxz 0,1 4 2 42 max21212121xxxxxxxxz（3）（4）6 0,122 2 max21212121xxxxxxxxz 0,0,020102603 2 max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxz （8）利用大 M 法或两阶段法求解下列线性规划：（1）（2）0,2172 23 max2121212121xxxxxxxxxxz 0,54 21823 2 max32132121321321xxxxxxxxxxxxxxz（3）（4）0,2 6 31234 max212212121xxxxxxxxxz 0,1223
12、615263 343 min4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxz（9）对于问题 0b maxXAXCXz（1）设最优解为 X*，当 C 改为C时，最优解为X，则0)(*XXCC。（2）如果 X1，X2均为最优解，则对于0，1，X1+（1）X2均为最优解。(10).表 4-2 是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x4，x5，x6是松弛变量。表 4-2 cj 2 2 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x5 x2 x1 2 1 4 1-1 2a 2 1-1 -1-2-a+8 7 j -1 （1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子。（2）要使上表成
13、为最优表，a 应满足什么条件？（3）何时有无穷多最优解？（4）何时无最优解？（5）何时应以x3替换x1？(11)已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表 4-3，请把表中空白处的数字填上，并指出最优基 B 及 B1。表 4-3 cj 2-1 1 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 0 0 x4 x5 x6 3 1 1 1-1 1 1 2-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 j 2-1 1 0 0 0 0 2-1 x4 x1 x2 10 15 5 -1 1/2-1/2-2 1/2 1/2 j (12).某个线性规划的最终表是表 4-4 表 4-4 cj
14、0 1-2 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 1-2 x1 x2 x3 13/2 5/2 1/2 1 0 0 0 1 0 0 0 1-1/2-1/2-1/2 5/2 3/2 1/2 j 0 0 0-1/2-1/2 初始基变量是x1，x4，x5。（1）求最优基 B=（P1，P2，P3）；（2）求初始表。(13).写出下列线性规划的对偶问题：8 无约束321321321321321,0,01314242 3 max )1(xxxxxxxxxxxxxxxz 无约束432143132143214321,0,012 22 242 32 min (2)xxxxxxxxxxxxxxx
15、xxxz nnjxnnjxnjxmmibxammibxamibxaxczjjjinjjijinjjijinjjijnjjj,1,0,1,1,0,1,1,2,1,max (3)221121211111无约束 njmixnjbxmiaxxczijjmiijinjijminjijij,1 ,10,1 ,1 min (4)1111(14)已知线性规划 9 0,min32123232221211313212111332211xxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz（1）写出它的对偶问题；（2）引入松弛变量，化为标准形式，再写出对偶问题；（3）引入人工变量，把问题化为等价模型：0,)(max712
16、7532322212116431321211176332211xxbxxxaxaxabxxxaxaxaxxMxcxcxcz 再写出它的对偶问题。试说明上面三个对偶问题是完全一致的。由此，可以得出什么样的一般结论？(15)利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：0,0,03224 2 max321321321321xxxxxxxxxxxxz(16).已知表 4-5 是某线性规划的最优表，其中x4，x5为松弛变量，两个约束条件为型。表 4-5 cj CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x3 x1 5/2 3/2 0 1 1/2-1/2 1 0 1/2-1/6 0 1/3 j 0-4 0-4
17、-2（1）求价值系数 cj和原线性规划；（2）写出原问题的对偶问题；（3）由表 4-5 求对偶最优解。(17)已知线性规划问题 10 4,3,2,1,02 2 633 2 6368 min314343214214321jxxxxxxxxxxxxxxxxzj（1）写出对偶问题；（2）已知原问题的最优解为 X*=（1，1，2，0）T，求对偶问题的最优解。(18)已知线性规划 无约束321321321321321,0,41632532 34 maxxxxxxxxxxxxxxxxz 的最优解为 X*=（0，0，4）T。（1）写出对偶问题；（2）求对偶问题最优解。(19)设线性规划问题 njxmibxa
18、xczjinjjijnjjj,2,1 ,0,2,1 max11 （1）的 m种资源的影子价格为y1*，y2*，ym*。线性规划 11 njxmibxabxaxczjinjjijnjjjnjjj,2,1 ,0,2 0 max11111 （2）与（1）是等价的，两者有相同的最优解，请说明（2.）的 m 种资源的影子价格为（y1*/，y2*，ym*），并指出这一结果的经济意义。(20).已知线性规划 0,0,423322 2812 min4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxz（1）写出对偶问题，用图解法求最优解；（2）利用对偶原理求原问题最优解。(21)线性规划 0,42
19、6 2 max32121321321xxxxxxxxxxxz 的最优单纯形表如表 4-6 所示。表 4-6 cj 2-1 1 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 0 x1 x5 6 10 1 0 1 3 1 1 1 1 0 1 j 0-3-1-2 0（1）x2的系数 c2在何范围内变化，最优解不变？若 c2=3，求新的最优解；（2）b1在何范围内变化，最优基不变？如 b1=3，求新的最优解；（3）增加新约束 x1+2x32，求新的最优解；12（4）增加新变量x6，其系数列向量 P6=21，价值系数 c6=1，求新的最优解。(22)某厂生产甲、乙、丙三种产品，有关资料如表
20、4-7 所示。表 4-7 甲 乙 丙 原料数量 A B 6 3 3 4 5 5 45 30 产品价格 4 1 5 （1）建立使总产值最大的线性规划模型；（2）求最优解，并指出原料 A，B 的影子价格；（3）产品甲的价格在什么范围内变化，最优解不变？（4）若有一种新产品，其原料消耗定额为：A 为 3 单位，B 为 2 单位，价格为 2.5单位，求新的最优计划。；（5）已知原料 B 的市场价为 0.5 单位，可以随时购买，而原料 A 市场无货。问该厂是否应购买 B，购进多少为宜？新的最优计划是什么？（6）由于某种原因，该厂决定暂停甲产品的生产，试重新制定最优生产计划。(23)分析下列参数规划中，当
21、 t 变化时，最优解的变化情况。0,1823122 4 )5()23(max (1)21212121xxxxxxxtxtz 0,5 242615 5 2 max (2)212121221xxxxtxxxxxz (24)用分支定界法求解下列整数规划问题（1）12max zxx （2）12max23zxx 1212129511414123,0 xxxxx x且为整数 12121257354930,0 xxxxx x且为整数 产 品 消 耗 定 额 原 料 13(25)用割平面法求解下列整数规划问题（1）123max462zxxx （2）12max114zxx 1212123123445655,0
22、xxxxxxxx x x且为整数 12121212124521624,0 xxxxxxx x且为整数 (26)用隐枚举法解下列 01 规划问题（1）12345max32523zxxxxx （2）12345max2534zxxxxx 123451345124524734381163330jxxxxxxxxxxxxxxj或 1=1,25 123451234532754624200jxxxxxxxxxxxj或 1=1,25 (27)用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：79101213 1216171516141511 121516 382103872976427584235910691
23、0 (28)已知下列五名运动员各种泳姿的运动成绩（各为 50 米）如表 4-8 所示，请问如何从中选择一个参加 200 米混合泳的接力队，使预期比赛成绩最好。表 4-8 单位：秒 赵 钱 张 王 周 仰 泳 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4 蛙 泳 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 蝶 泳 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 自由泳 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1(29)分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。每人完成各项任务时间如表 4-9所示。由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。试确定
24、总花费时间为最少的指派方案。14 E1 G1 B F1 B1 表 4-9 人 任务 A B C D E 甲 25 29 31 42 37 乙 39 38 26 20 33 丙 34 27 28 40 32 丁 24 42 36 23 45(30)从甲、乙、丙、丁、戊五个人中挑选四人完成四项工作。已知每人完成各项工作的时间如表 4-10 所示。规定每项工作只能由一个人单独去完成，每个人最多承担一项任务。又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因某种原因决定不同意承担第 4 项任务，在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作总的花费时间最少。表 410 工作 人 甲 乙 丙 丁 戊 1 10 2 3
25、 15 9 2 5 10 15 2 4 3 15 5 14 7 15 4 20 15 13 6 8 (31)求下列网络图从起点到终点的最短路线及长度。（1）（2）60 30 10 10 8 7 9 5 15 8 7 6 10 13 5 12 3 8 7 4 4 6 2 40 30 10 40 30 30 30 60 10 20 70 40 10 50 30 20 40 A B2 B3 C1 C2 C3 E D2 D1 40 7 8 A E2 E3 G2 G3 C D F2 F3 3 15(32).用破圈法和避圈法求下图的最小生成树 （33）求下列各图的最小生成树 （34）写出下面各图中的顶点数
26、、边数及顶点的次数，哪些是简单图。（35）用标号法求图 42 中从1v到各顶点的最短距离 7 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 12 13 11 9 19 21 5 7 10 11 8 7 4 16 （1）V1 V2 V3 V4 V5 V6(1)V1 V2 V3 V4 V5(2)（2）1 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 2 6 3 5 7 5 2 1 3 7 2 3 4 1 4 3 1 6 7 3 8 4 图 42 16（36）已知 8 个村镇，相互间距离如下表所示,已知 1 号村镇离水源最近，为 5 公里，问从水源经 1 号村镇铺设输
27、水管道将各村镇连接起来，应如何铺设使输水管道最短（为便于管理和维修，水管要求在各村镇处分开）。各村镇间距离 （单位：千米）到 从 2 3 4 5 6 7 8 1 1.5 2.5 1.0 2.0 2.5 3.5 1.5 2 1.0 2.0 1.0 3.0 2.5 1.8 3 2.5 2.0 2.5 2.0 1.0 4 2.5 1.5 1.5 1.0 5 3.0 1.8 1.5 6 0.8 1.0 7 0.5 (37)用标号法求下面网络的最大流.(38)求下列网络的最小费用最大流.括号内的两个数字,前一个是单位流量的费用,后一个是该弧的流量.12 15 V1 Vt 8 10 6 10 8 4 9
28、10 14 18 12 8 13 15 6 图 43 V1 Vt 4 4 5 3 3 4 2 5 3 5 8 2 3 图 43 17 （2）(39)求解图 45 中所示的中国邮递员问题（A 点是邮局所在地）(40)如图 46，发点 S1，S2分别可供应 10 和 15 个单位，收点 T1和 T2可接收 10 个和 25 个单位，求最大流，边上的数为jic。(41)指出图 47 中所示网络图的错误，若能够改正，试予以改正。A 2 4 3 3 3 2 4 2 2 2 4 4 2 5 5 2 2 2 图 45 V1 Vt(6,6)(10,5)(5,1)(2,3)(7,4)(8,2)(1)V1 Vt(
29、5,6)(9,2)(3,2)(4,1)(3,4)(4,19)(2,3)(1,1)图 44 2 3 S1 S2 v1 v2 T1 T2 3 2 4 4 6 7 8 6 图 46 1 2 5 6 a b c e d f 18 (42)根据表 411 表 412，所示的作业明细表，绘制网络图。表 411 表 412 工序 紧前工序 工序 紧前工序 a b c d e f g h a c d d,b f,g,e a b c d e f g h a a a,b c c d,e,f (43)已知图 48 所示的网络图，计算各事项的最早与最迟时间。(44)试画出表 413、表 414 的网络图，并为事项编号
30、。7 2 8 5 1 3 6 4（b）a b c d e f g 3 5 1 2 4 图 47（c）a b c d e f g 2 1 3 4 5 6 a b c d e f g 4 3 4 5 3 6 10 图 48 19 表 413 工序 工时（d）紧前工序 工序 工时（d）紧前工序 A B C D E 15 10 10 10 5 A，B A，B B F G H I 5 20 10 15 D，E C，F D，E G，H 表 414 工序 工时（d）紧前工序 工序 工时（d）紧前工序 A B C D E F 3 2 5 4 7 8 A B C G H I J K L 6 2 4 5 2 6
31、D，B E G，H E，F E，F I，J(45)已知表 415 所列资料 工序 紧前工序 工序时间（周）工序 紧前工序 工序时间（周）工序 紧前工序 工序时间（周）A B C D A L 3 4 4 3 E F G H B H C，B G，M 4 5 2 2 I K L M H，L F，I，E B，C B 2 6 7 6 要求：（1）绘制网络图；（2）计算各工序的最早开工、最早完工、最迟开工、最迟完工时间及总时差，并指出关键工序。（3）若要求工程完工时间缩短 2 天，缩短哪些工序时间为宜。（46）设有如图 49 的网络图，计算时间参数，并求出关键路线。(47）如图 410 所示的网络图，计算
32、各事项的最早时间和最迟时间，各工序的最早10 12 15 18 11 1 11 2 3 4 6 5 7 10 8 9 10 15 10 20 14 25 19 5 6 7 15 18 25 图 49 20 开始、最早结束、最迟开始及最迟结束时间，计算各工序的总时差和单时差，找出关键路线。（48）某项工程各工序的工序时间及所需人数如表 415 所示，现有人数为 10 人，试确定工程完工时间最短的各工序的进度计划。表 415 工序代号 紧前工序 工序时间（天）需要人员数 A B C D E F G H B C F，D E，G 4 2 2 2 3 2 3 4 9 3 6 4 8 7 2 1（49）已
33、知下列网络图有关数据如表 416，设间接费用为 15 元天，求最低成本日程。表 416 工序代号 正常时间 特急时间 工时（天）费用（元）工时（天）费用（元）6 9 3 0 7 8 100 200 80 0 150 250 4 5 2 0 5 3 120 280 110 0 180 375 2 1 4 7 9 2 5 7 3 6 3 8 3 4 7 3 4 8 2 1 7 5 图 410 21 2 1 4 5 120 100 180 130 1 1 3 2 170 100 200 220 （50）生产某种产品，生产过程所经过的工序及作业时间如表 417 所示，作业时间按常数和均值计算，试绘制这一问题的随机网络图，并假设生产过程经过工序 G 即为正品，试计算产品的成品率与产品完成的平均时间。表 417 工序 概率 作业时间（常数或期望值）（h）紧后工序 A B C D E F G 1 0.7 0.7 0.3 1 0.3 1 25 6 4 3 4 6 2 B 或 F C 或 D G E C G 22