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1、1 中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分15 610 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交. 一、选择题（共5 小题，每小题7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为A，B，C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲） 如果实数a，b， c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22|()|aabcabc可以化简为（） A2caB22abCaD a1（乙） 如果22a，那么11123a的值为（）
2、 A2B2C2 D 2 22（甲）如果正比例函数0yax a 与反比例函数0bybx的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为32，那么另一个交点的坐标为（） A23，B 32，C23，D 32，2（乙） 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222xyxy的整数点坐标xy，的个数为（） A10 B9 C7 D5 3（甲） 如果ab，为给定的实数，且1ab，那么1121aabab，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（） A1 B214aC12D142 3 （乙） 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABC是等边三角形30ADC，3AD，5BD，则CD的长为（） A 3 2B4 C
3、2 5D 4.5 4（甲） 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2 元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说： “你若给我n元，我的钱数将是你的2 倍”，其中 n 为正整数，则 n 的可能值的个数是（） A1 B2 C3 D 4 4（乙） 如果关于x 的方程20 xpxqpq（ ，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（） A5 B6 C7 D 8 5（甲） 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2， 3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数分别是0，1， 2， 3 的概率为0123pppp，则0123pppp，中
4、最大的是（） A0pB1pC2pD3p5（乙） 黑板上写有111123100L， ， ，共 100 个数字每次操作先从黑板上的数中选取2 个数ab， 然后删去ab， 并在黑板上写上数abab， 则经过 99 次操作后， 黑板上剩下的数是 （） A2012 B101 C100 D 99 二、填空题（共5 小题，每小题7 分，共 35 分）6（甲） 按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487?”为一次操作 . 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是. 6（ 乙 ） . 如 果 a ，b， c 是 正 数 ， 且 满 足9abc，111109abbcca， 那 么
5、abcbccaab的值为3 7（甲） 如图，正方形ABCD的边长为 215 ，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE、DB分别交于点M、N，则DMN的面积是. 7（乙）如图，O的半径为20，A是O上一点。以OA为对角线作矩形OBAC，且12OC.延长BC，与O分别交于DE，两点，则CEBD的值等于8（甲）如果关于x 的方程22393042xkxkk的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2011120122xx的值为8（乙）设 n 为整数，且12012n. 若22(3)(3)nnnn能被5 整除，则所有n 的个数为. 9（甲） 2 位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，
6、即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3 分，负者得0 分；平局各得1 分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130 分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为. 9 （乙） 如果正数 x ，y，z 可以是一个三角形的三边长，那么称xyz（ ， ， ） 是三角形数 若abc（ ， ， ）和111abc，均为三角形数，且abc，则ac的取值范围是. 10（甲） 如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，ADDC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BFEC，并与EC的延长线交于点F. 若AEAO，6BC，则CF的长为. 10（乙）已知 n是偶数，且1100n若有唯一的正整数
7、对a b（，） 使得22abn 成立，则这样的 n的个数为4 三、解答题（共4 题，每题20 分，共 80 分）11（甲）已知二次函数232yxmxm（），当13x时，恒有0y；关于x 的方程2320 xmxm（）的两个实数根的倒数和小于910求 m 的取值范围11（乙）如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO，ABAC，4sin5ABCCD与y轴交于点E，且COEADESS. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式. 12（甲） 如图，O的直径为AB，1O过点O，且与O内切于点BC为O上的点，OC与1O交于点D，且ODCD点E在OD上，且DCDE， BE
8、 的延长线与1O交于点F，求证：1BOCDO F12（乙） 如图，Oe的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是ABD的内心 . 求证：（1）OI是IBD的外接圆的切线；（2）2ABADBD. 5 13（甲）已知整数a ，b满足：ab是素数，且ab是完全平方数 . 当2012a时，求 a 的最小值 . 13（乙） 凸 n 边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由14（甲 ） 求所有正整数n ，使 得存在正整数122012xxxL，满足122012xxxL， 且122012122012nxxxL.14（乙） 将23nL， ，2n任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a
9、bc， ，（可以相同）使得bac ，求 n 的最小值6 中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1（甲） C 解：由实数a ，b， c 在数轴上的位置可知0bac，且 bc ，所以22|()|()()()aabcabcaabcabca 1（乙） B 解：1111111122122312a111212212（甲） D 解：由题设知，2( 3)a， ( 3) ( 2)b ，所以263ab，. 解方程组236yxyx，得32xy，；32.xy，所以另一个交点的坐标为32，. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个
10、交点的坐标为32，. 2（乙） B 解：由题设2222xyxy，得022(1)(1)2xy. 因为xy，均为整数，所以有22(1)0(1)0 xy，；22(1)0(1)1xy，；22(1)1(1)0 xy，；22(1)1(1)1.xy，解得11xy，；12xy，；10 xy，；01xy，；00 xy，；02xy，；21xy，；20 xy，；22.xy，以上共计9 对xy（ ， ） . 3（甲） D 解：由题设知，1112aabab，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244aababab，中位数为(1)(1)44224aabab，于是4423421444abab. 7 3（乙） B
11、 解：如图，以CD为边作等边CDE，连接AE. 由于ACBC，CDCE，BCDBCAACDDCEACDACE，所以BCDACE，BDAE. 又因为30ADC，所以90ADE. 在RtADE中，53AEAD，于是224DEAEAD，所以4CDDE. 4（甲） D 解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y元，xy，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()xn yynxn，消去 x 得274yny，(27)1515212727ynyy. 因为1527y为正整数，所以27y的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4， 5，6，11从而 n 的值分别为8，3，2，1； x 的值分别为14，7
12、， 6，74（乙） C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q，故方程的根为一正一负由二次函数2yxpxq 的图象知， 当3x时，0y，所以2330pq，即 39pq. 由于pq，都是正整数，所以1p， 15q；或2p， 12q，此时都有240pq. 于是共有7 组 pq（ ， ） 符合题意5（甲） D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36 个，其和除以4 的余数分别是0，1，2，3 的有序数对有9 个， 8 个，9 个， 10 个，所以01239891036363636pppp，因此3p最大5（乙） C 解：因为1(1)(1)ababab，所以每次操作前和
13、操作后，黑板上的每个数加1 后的乘积不变设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)11123100 xgL g，解得1101x，100 x二、填空题6（甲） 719x解：前四次操作的结果分别为32x， 3 32298xx， 3 9822726xx， 3 272628180 xx由已知得8 27264878180487xx解得719x. 容易验证，当719x时，32487x98487x，故 x 的取值范围是719x6（乙） 7 解：由已知可得999abcbccaabbccaabbccaab9993bccaab1093797（甲） 8 解 ：连 接DF， 记正 方形ABCD的
14、边 长为2 a . 由 题设易知BFN DAN，所以21ADANDNBFNFBN，由此得2ANNF，所以23ANAF . 在RtABF中，因为2ABaBFa，所以225AFABBFa ，于是2 5cos5ABBAFAF. 由题设可知ADEBAF，所以AEDAFB，18018090AMEBAFAEDBAFAFBo. 于是2 5cos5AMAEBAFa ，24 5315MNANAMAFAMa ，415MNDAFDSMNSAF. 又21(2 ) (2 )22AFDSaaa，所以2481515MNDAFDSSa. 因为15a，所以8MNDS. 7（乙） 285解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则O
15、MDE因为22201216OB，所以16 1248205OB OCOMBC，22366455CMOCOMBM，所以CEBDEMCMDMBM（）（）643655BMCM285. 9 8（甲） 23解：根据题意，关于x 的方程有223943042kkk，由此得230k又230k，所以230k，从而3k. 此时方程为29304xx，解得1232xx. 故2011120122xx21x238（乙） 1610 解：因为22(3)(3)nnnn=4259nn=22(1)(1)(1)510nnnn. 当 n 被 5 除余数是1 或 4 时，1n或1n能被 5 整除，则22(3)(3)nnnn能被 5 整除；
16、当 n 被 5 除余数是2 或 3 时，21n能被 5 整除，则22(3)(3)nnnn能被 5 整除；当 n 被 5 除余数是0 时，22(3)(3)nnnn不能被 5 整除 . 所以符合题设要求的所有n 的个数为2010821610109（甲） 8 解：设平局数为a ，胜（负）局数为b，由题设知23130ab，由此得043b. 又(1)(2)2mmab，所以 22(1)(2)abmm. 于是0130(1)(2)43bmm，87(1)(2)130mm，由此得8m，或9m. 当8m时，405ba，；当9m时，2035ba，5522aba，不合题设 . 故8m9（乙） 3512ac解：由题设得1
17、11abccba，所以11111ccacba，即111ccaa. 整理得2310aacc，10 由二次函数231yxx的图象及其性质，得353522ac. 又因为1ac，所以3512ac. 10（甲） 322解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是Oe的直径知90BCABDA. 依题设90BFC，四边形ABCD是Oe的内接四边形，所以BCFBAD，所以RtRtBCFBAD，因此BCBACFAD. 因为OD是Oe的半径，ADCD，所以OD垂直平分AC，ODBC，于是2DEOEDCOB. 因此223DECDADCEAD，. 由AED CEB，知DE ECAE BE因为322BAAEBEBA，所以
18、32322BAADADBA，22BAAD ，故ADCFBCBA3 222 2BC. 10（乙） . 12 解：由已知有ababn ，且 n 为偶数，所以abab，同为偶数，于是n是 4 的倍数设4nm，则125m（）若1m，可得0b，与b是正整数矛盾（）若 m 至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对a b（ , ） 满足22ab abm ；若 m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对a b（ , ） 满足22ab abm （）若 m 是素数，或 m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对a b（ , ） 满足22ababm 因为有唯一正整数对a b
19、（ , ） ，所以 m 的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有 12 个三、解答题11（甲）解：因为当13x时，恒有0y，所以23420mm（）（），即210m（），所以1m （5 分）当1x时， y 0；当3x时， y 0，即2( 1)(3)( 1)2mm0，且233(3)2mm0，11 解得m5 （ 10 分）设方程2320 xmxm的两个实数根分别为12xx，由一元二次方程根与系数的关系得121232xxmx xm，因为1211910 xx，所以121239210 xxmx xm，解得12m，或2m因此12m （ 20 分）11（乙）解：因为4sin5
20、AOABCAB，8AO，所以10AB由勾股定理，得BO262ABAO. 易知ABOACO，因此6COBO. 于是08A，60B，60C，. 设 点D的 坐 标 为mn， 由COEADESS， 得CDBAOBSS. 所以1122BC | n|=AO BO ，1112()8622n，解得4n. 因此D为AB的中点，点D的坐标为34，. （ 10 分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为ABC的重心， 所以点E的坐标为803，. 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为66ya xx. 将点E的坐标代入，解得 a227. 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为2
21、28273yx. （ 20 分）12（ 甲 ） 证 明 ： 连 接BD， 因 为OB为1Oe的 直 径 ， 所 以90ODB又因为DCDE，所以CBE是等腰三角形 （5 分）设BC与1Oe交于点M，连接OM，则90OMB又因为OCOB，所以22BOCDOMDBC12DBFDO F （15 分）又因为1BOCDO F，分别是等腰BOC， 等腰1DO F 的顶角，12 所以BOC1DO F （ 20 分）12（乙） 证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知22BADBDACIDCDI ，所以CICD同理，CICB. 故点C是IBD的外心 . 连接OA，OC，因为I是AC的中点，
22、且OAOC，所以OIAC，即OICI. 故OI是IBD外接圆的切线. （ 10 分）（2）如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F. 由?BCCD ，知OCBD. 因为CBFIAE，BCCIAI，所以RtRtBCFAIE，所以BFAE. 又因为I是ABD的内心，所以2ABADBDAEBD. 故2ABADBD （ 20 分）13（甲）解：设abm（ m 是素数），2abn （ n 是正整数） . 因为224ababab，所以22224amnm ，22222amnamnm （5 分）因为22amn与22amn都是正整数，且2222amnamn( m 为素数 )，所以222amnm ，22
23、1amn. 解得a2(1)4m， n214m. 于是bam214m（）. （ 10 分）又2012a，即2(1)20124m. 又因为 m 是素数，解得89m. 此时，a2(891)20254. 当2025a时，89m，1936b，1980n. 因此， a的最小值为2025. （ 20 分）13 13（乙） 解：假设凸n 边形中有k个内角等于150，则不等于150的内角有nk个（1）若kn，由1502180nn ，得12n，正十二边形的12 个内角都等于150； （5 分）（2）若kn，且13n，由1501802180knkn ，可得12k，即11k 当11k时 ， 存 在 凸 n 边 形 ，
24、 其 中 的11 个 内 角 等 于150， 其 余nk个 内 角 都 等 于218011 1501(6)301111nnn ， 0180 ，150 （ 10 分）（3）若kn，且811n当1kn时，设另一个角等于存在凸n 边形，其中的1n个内角等于150，另一个内角21801150(7)30nnn 由11n可得(7)30180n ；由8n可得(7)300n ，且150 （ 15 分）（4）若kn，且37n，由（3）可知k 2n当2kn时，存在凸 n 边形，其中2n个内角等于150，另两个内角都等于215n 综上，当12n时，k的最大值为12；当13n时，k的最大值为11；当811n时，k的最
25、大值为1n；当37n时，k的最大值为2n （ 20 分）14（甲） 解：由于122012xxxL，都是正整数，且122012xxxL，所以11x ，22x ， ，20122012x于是122012122012nxxxL1220122012122012L （ 10 分）当1n时，令12201220122201220122012xxxL，则1220121220121xxxL. （ 15 分）当1nk时，其中12011k，令1212kxxxkL，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012kkxkkxkkxk，则1220121220121(2012)2012kkxxxkL1k
26、n综上，满足条件的所有正整数n 为122012L， ， （ 20 分）14（乙） 解：当1621n时，把23nL， ，分成如下两个数组：88162322121L， ，和84521L， ，在 数 组88162322121L， ，中 ， 由 于38821632221，（）， 所 以 其 中 不 存 在 数abc， ，使得bac在数组84521L， ，中，由于48421，所以其中不存在数abc， ，使得bac所以，n162 （ 10 分）下面证明当162n时，满足题设条件不妨设 2 在第一组，若224也在第一组，则结论已经成立故不妨设224在第二组 . 同理可设4842 在第一组，8216(2 )2在第二组14 此时考虑数8如果 8 在第一组，我们取8282abc，此时bac ；如果 8 在第二组，我们取16482abc，此时bac综上，162n满足题设条件所以， n 的最小值为162 （ 20 分）