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1、 黄金三角形 定义：所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形之类，正是因为其腰与边的比为(5-1)/2.约为而获得了此名称。黄金三角形的画法:1、作正方形 ABCD 2、取 AB 的中点 N 3、以点 N 为圆心 NC 为半径作圆交 AB 延长线于 E 4、以 B 为圆心 BE 长为半径作B 5、以 A 为圆心 AB 长为半径作A 交B 于 M 则ABM 为黄金三角形。(如下图)黄金三角形的分类 黄金三角形有 2 种：等腰三角形，两个底角为 72，顶角为 36；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(5-1)/2.等腰三角形，两
2、个底角为 36，顶角为 108；这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比：(5-1)/2.黄金三角形的特征编辑 黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36，每个底角为 72.它的腰与它的底成黄金比当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线 黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由 5 个全等的小三角形生成其相似三角形的三角形。黄金三角形 把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大
3、三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。根据定义，第一种黄金三角形是底与腰的比值为(5+1)/2 的等腰三角形，顶角为36，底角为 72。设小三角形的底为 a，则腰为 b=(5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的 5倍。则大三角形的边长为小三角形对应边长的5 倍，即大三角形的底为 A=5 a，腰为 B=5*(5+1)a/2=(5+5)a/2。大三角形的腰 B 与小三角形边的关系满足：B=2a+b 而大三角形的底 A 与小三角形边的关系可列举如下：2aA3a bAb+a 可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充（图 1）。故命题错。另外一种黄金三角形是腰与底
4、的比值为(5-1)/2 的等腰三角形，顶角为 108，底角为 36。设小三角形的底为 a，则腰为 b=(5-1)a/2。同样可以证明：A=2b+a 2bB3b aBb+a 可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图 2）。故命题错。事实上，勾为 a，股为 b=2a 的直角三角形可以满足命题要求。显然，弦 c=a2+b2=5 a 大三角形的对应边：A=5 a=c B=2A=2c C=5*(5a)=5a=2b+a 满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的（图 3）。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。顶角 36的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一
5、个等腰三角形的底角是另一个的 2 倍。顶角是 108的黄金三角形把顶角一个72和一个 36的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的 2 倍。小练习 1.如图 1，点C将线段AB分成两部分，如果ACBCABAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S，2S，如果121SSSS，那么称直线l为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图 2），则直线CD是ABC
6、的黄金分割线你认为对吗为什么 （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图 3），则直线EF也是ABC的黄金分割线 请你说明理由 （4）如图 4，点E是ABCDY的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是ABCDY的黄金分割线请你画一条ABCDY的黄金分割线，使它不经过ABCDY各边黄金分割点 例 1 如图 1，已知线段AB，点C在AB上，且有ACBCABAC，则ACAB的数值为_；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主
7、持人应站在_位置最好 宽与长的比是512的矩形叫黄金矩形 心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形 ABCD；第二步：分别取 AD，BC 的中点 M，N，连接 MN；图 1 D B 图 2 C A D B 图 3 C F E F C B D E A 图 4（第 27 题图）第三步：以 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E；第四步：过 E 作 EFAD，交 AD 的延长线于 F 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形 例 2 若一个矩形的短边与长边的比值为5
8、12（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形 （1）操作：请你在如图 2 所示的黄金矩形()ABCD ABAD中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）答案 1.（1）直线CD是ABC的黄金分割线理由如下：设ABC的边AB上的高为h 12ADCSAD hg，12BDCSBD hg，12ABCSAB hg，A B C D E F M N 第 21 题图 所以，ADCABCSADSAB，BDCADCSBDSAD 又 因 为 点D为 边AB的
9、 黄 金 分 割 点，所 以 有ADBDABAD 因 此ADCBDCABCADCSSSS 所以，直线CD是ABC的黄金分割线 （2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212sss，即 121ssss，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线（3）因为DFCE，所以DEC和FCE的公共边CE上的高也相等，所以有DECFCESS 设直线EF与CD交于点G所以DGEFGCSS 所以ADCFGCAFGDSSS四边形 DGEAEFAFGDSSS四边形，BDCBEFCSS四边形 又因为ADCBDCABCADCSSSS，所以BEFCAEFABCAEFSSSS四边形 因此，直线EF也是A
10、BC的黄金分割线 （4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图 1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是ABCDY的黄金分割线 画法二：如答图 2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FMNE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCDY的黄金分割线 2.(本题满分 8 分)证明：在正方形 ABCD 中，取2ABa，N 为 BC 的中点，12NCBCa 在RtDNC中，2222(2)5NDNCCDaaa 又 NEND，(51)CENENCa 515122CEaCDa（）故矩形 DCEF 为黄金矩形 例 1 解：由黄金分割的定义可知ACAB的数值为512依据教材上的介绍可知节目主持人应站在线段AB的黄金点C，这样台下的观众看上去感觉最好 例 2 解：（1）在ABDC，边上，分别截取AEDFAD，连接EF，则四边形AECF即为所求作的正方形，如上面图 3 所示，（2）在该图中，不妨设ABa，由题意可知：512BCa，352FCa，则51:2FC BC，按照黄金矩形的定义可知四边形EBCF是黄金矩形 （3）由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形内作一个正方形，在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金矩形