《大题01 解三角形（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大题01 解三角形（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、黄金冲刺大题 01 解三角形（精选 30 题）黄金冲刺大题 01 解三角形（精选 30 题）1（2024江苏江苏一模）一模）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2cos1cBa+=.(1)证明：2BA=；(2)若2sin,144Ab=，求ABCV的周长.2（2024湖南常德湖南常德三模）三模）在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222sinsinsinsinsinABABC+=(1)求角C；(2)若a，b，c成等差数列，且ABCV的面积为15 34，求ABCV的周长3（2024江苏江苏一模）一模）在ABCV中，sin2sinsinBAAC-+=(1)求
2、B 的大小；(2)延长 BC 至点 M，使得2BCCM=uuu ruuuu r若4CAM=，求BAC的大小4（2024浙江温州浙江温州二模）二模）记ABCV的内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知2 sin2cBb=(1)求C；(2)若tantantanABC=+，2a=，求ABCV的面积5（2024浙江嘉兴浙江嘉兴二模）二模）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2cos3cos23AA-=.(1)求cosA的值；(2)若ABCV为锐角三角形，23bc=，求sinC的值.6（2023福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）在ABCV中，角,A B C的对边分别是
3、,a b c，且2sinsin,3aCcB Cp=(1)求B；(2)若ABCV面积为3 34，求BC边上中线的长7（2024山东淄博山东淄博一模）一模）如图，在ABC 中，2,3BACBACp=的角平分线交 BC 于 P 点，2AP=.(1)若8BC=，求ABC 的面积;(2)若4CP=，求 BP 的长.大题01 解三角形（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）8（2024安徽安徽模拟预测）模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD 中，4ABAD=，6BC=(1)若23A=，3C=，求sinBDC的值；(2)若2CD=，cos3cosAC=，求四边形 A
4、BCD 的面积9（2024浙江浙江一模）一模）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2222sinsincCbcaB=+-(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若7a=，且ABCV的面积为3 34，求AD的长10（2024湖北湖北一模）一模）在ABCV中，已知2 2,2 3,4ABACC=(1)求B的大小；(2)若BCAC，求函数 sin 2sin 2fxxBxAC=-+在,-上的单调递增区间11（2024福建厦门福建厦门二模）二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABCV的面积为S，三个内角、ABC所对的边分别为
5、,a b c，且222sinSCcb=-.(1)证明：ABCV是倍角三角形；(2)若9c=，当S取最大值时，求tanB.12（2024福建漳州福建漳州模拟预测）模拟预测）如图，在四边形ABCD中，2DAB=，6B=，且ABCV的外接圆半径为4.(1)若4 2BC=，2 2AD=，求ACDV的面积；(2)若23D=，求BCAD-的最大值.13（2024山东济南山东济南二模）二模）如图，在平面四边形 ABCD 中，BCCD，2ABBC=，ABCq=，120180q.(1)若120q=，3AD=，求ADC的大小；(2)若6CD=，求四边形 ABCD 面积的最大值.14（2024湖北武汉湖北武汉模拟预
6、测）模拟预测）已知锐角ABCV的三内角ABC，的对边分别是abc，且222(coscos)bcbCcBbc+-+=，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围15（2024湖南邵阳湖南邵阳模拟预测）模拟预测）在ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，且ABCV的周长为sinsinsinsinaBABC+-(1)求C；(2)若2a=，4b=，D为边AB上一点，6BCD=，求BCD的面积16（2024广东梅州广东梅州二模）二模）在ABCV中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，3 cossin3aBbAc-=，2c=，(1)求 A 的大小：(2)
7、点 D 在 BC 上，（）当ADAB，且1AD=时，求 AC 的长；（）当2BDDC=，且1AD=时，求ABCV的面积ABCSV17（2024广东广州广东广州一模）一模）记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABCV的面积为S.已知2223()4Sacb=-+-.(1)求B；(2)若点D在边AC上，且2ABD=，22ADDC=，求ABCV的周长.18（2024广东佛山广东佛山模拟预测）模拟预测）在ABCV中，角,A B C所对的边分别为,a b c，其中1a=，21cos2cAb-=(1)求角B的大小；(2)如图，D为ABCV外一点，ABBD=，ABCABD=，求sinsinCAB
8、CDB的最大值19（2024河北石家庄河北石家庄二模）二模）在ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量(2sin,3sin3cos)mAAA=+r，2(cos,cossin),(),63nAAAf Am n A=-=rr r.(1)求函数 fA的最大值;(2)若6()0,3,sinsin2f AaBC=+=，求ABCV的面积.20（2024 广 东广 东 一 模）一 模）设 锐 角 三 角 形ABC的 内 角,A B C的 对 边 分 别 为,a b c，已 知cos2 coscosbcAaBC-=(1)求cosB；(2)若点D在AC上（与,A C不重合），且,24CAD
9、BCBD=，求CDAD的值21（2024辽宁辽宁二模）二模）在ABCV中，D为BC边上一点，1DCCA=，且ACDV面积是ABD面积的 2倍(1)若2ABAD=，求AB的长；(2)求sinsinADBB的取值范围22（2024黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔一模）一模）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知,4 cos224BbCca=+.(1)求tanC；(2)若ABCV的面积为32，求BC边上的中线长.23（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为 1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶
10、点C处测得楼顶M的仰角，16.5MCE=（点 E 在线段 MO 上）他沿线段 AO 向楼前进 100m 到达 B 点，此时从测角仪顶点 D 处测得楼顶 M 的仰角48.5MDE=，楼尖 MN 的视角3.5MDN=（N 是楼尖底部，在线段 MO 上）(1)求楼高 MO 和楼尖 MN；(2)若测角仪底在线段 AO 上的 F 处时，测角仪顶 G 测得楼尖 MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离 FO参考数据：sin16.5 sin48.52sin325，8tan16.527，8tan48.57，40 3537.4,24（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）在ABCV中，内角 A，B，C 所对的
11、边分别为 a，b，c已知22cossincos12222ABBbba=-(1)求角 A 的大小；(2)若BPPC=uuu ruuu r，且2bc+=，求 AP 的最小值25（2024山西朔州山西朔州一模）一模）已知ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，向量,sinsin,sinsinmab cnACAB=+=-rr，且/m nrr(1)求B；(2)求222bac+的最小值26（2024河南开封河南开封二模）二模）记ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cos2 sinbAaB=(1)求sin A；(2)若3a=，再从条件，条件，条件中选择一个条件作为已知，使其
12、能够确定唯一的三角形，并求ABCV的面积条件：6=bc；条件：6b=；条件：1sin3C=注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分27（2024河南河南一模）一模）ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足22baac-=.(1)求证：2BA=；(2)若ABCV为锐角三角形，求sin()sinsinCABA-的取值范围.28（2023河南河南三模）三模）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知2222aabccb+-=，且ac(1)求证：2BC=；(2)若ABC的平分线交 AC 于 D，
13、且12a=，求线段 BD 的长度的取值范围29（2024湖北湖北二模）二模）已知ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ab，2 coscoscos2caABbA=-(1)求 A；(2)者13BDBC=uuu ruuu r，2AD=uuur，求bc+的取值范围30（2024河北河北二模）二模）若ABCV内一点P满足PABPBCPCAq=，则称点P为ABCV的布洛卡点，q为ABCV的布洛卡角如图，已知ABCV中，BCa=，ACb=，ABc=，点P为的布洛卡点，q为ABCV的布洛卡角(1)若bc=，且满足3PBPA=，求ABC的大小(2)若ABCV为锐角三角形（）证明：1111tan
14、tantantanBACABCACBq=+（）若PB平分ABC，证明：2bac=黄金冲刺大题 01 解三角形（精选 30 题）黄金冲刺大题 01 解三角形（精选 30 题）1（2024江苏江苏一模）一模）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2cos1cBa+=.(1)证明：2BA=；(2)若2sin,144Ab=，求ABCV的周长.【答案】(1)证明见解析(2)714+【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得sinC，然后利用正弦定理可得【详解】（1）2cos1 sinsinsinsin coscos sinBACABABAB+=+=+sin
15、sin coscos sinsinABABABA=-=-因为,0,A BBA-ABA=-或ABA+-=（舍），2BA=.（2）由2sin4A=，结合（1）知30,ABA+=，则0,3A，得22214cos1 sin144AA=-=-=2147sinsin22sincos2444BAAA=，213coscos21 2sin1284BAA=-=-=，2314710 25 2sinsinsincoscossin4444168CABABAB=+=+=+=，由正弦定理得2145sinsinsin275 2448aabcaccABC=ABCV的周长为714abc+=+.2（2024湖南常德湖南常德三模）三
16、模）在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222sinsinsinsinsinABABC+=(1)求角C；(2)若a，b，c成等差数列，且ABCV的面积为15 34，求ABCV的周长【答案】(1)23(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出222ababc+=；再结合余弦定理得出1cos2C=-即可求解.（2 先根据a，b，c成等差数列得出2acb+=；再利用三角形的面积公式得出15ab=；最后结合(1)中的222ababc+=，求出a，b，c即可解答.【详解】（1）因为222sinsinsinsinsinABABC+=，由正弦定理sinsinsinabcABC=可得：
17、222ababc+=.由余弦定理可得：2222222()1cos222abcabababCabab+-+-+=-.又因为(0,)C，所以23C=.（2）由a,b,c成等差数列可得：2acb+=.因为三角形ABC的面积为15 34，23C=，115 3sin24abC=，即15ab=.由(1)知：222ababc+=由解得：3,5,7abc=.15abc+=，故三角形ABC的周长为 15.3（2024江苏江苏一模）一模）在ABCV中，sin2sinsinBAAC-+=(1)求 B 的大小；(2)延长 BC 至点 M，使得2BCCM=uuu ruuuu r若4CAM=，求BAC的大小【答案】(1)
18、4B=；(2)12BAC=或512【分析】（1）由sinsinCAB=+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得2cos2B=，可得 B的大小；（2）设BCx=，BACq=，在ABCV和ACM中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC的大小.【详解】（1）在ABCV中，ABC+=，所以sinsinCAB=+因为sin2sinsinBAAC-+=，所以sin2sinsinBAAAB-+=+，即sincoscossin2sinsincoscossinBABAABABA-+=+化简得2sin2cossinABA=因为0,A，所以sin0A，2cos2B=因为0B 0,得2sin2C=，而C为三
19、角形内角，4C=或34（2）由tantantantanABCBC=-+=+得tantantantan1tan tanBCBCBC+-=+-，又tantan0BC+，tan tan2BC=，故,0,2B C，由（1）得tan1C=，故tan2B=，tantantan3ABC=+=，而A为三角形内角，3 10sin10A=.又sinsinacAC=即23210102c=203c=，又tan2B=，而B为三角形内角，故2sin55B=，11202 54sin222353SacB=.5（2024浙江嘉兴浙江嘉兴二模）二模）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2cos3cos2
20、3AA-=.(1)求cosA的值；(2)若ABCV为锐角三角形，23bc=，求sinC的值.【答案】(1)1cos3A=或cos0A=；(2)4 29.【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；（2）解法一，由23bc=，利用正弦定理边化角得2sin3sinBC=，结合sinsinACB+=和1cos3A=，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得23ca=，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】（1）由题可得22cos3 2cos13AA-=，即23coscos0AA-=，解得1cos3A=或cos0A=.（2）解法一：因为23bc=，由正弦定理得
21、2sin3sinBC=，即2sin3sinACC+=，即2sin cos2sin cos3sinACCAC+=，因为1cos3A=，所以2 2sin3A=；所以4 22cossin3sin33CCC+=，又22sincos1CC+=，且ABCV为锐角三角形，解得4 2sin9C=.解法二：由余弦定理得2221cos23bcaAbc+-=，因为23bc=，所以222291433ccac+-=，即2249ca=，所以23ca=，所以2sinsin3CA=，又1cos3A=，所以2 2sin3A=，所以24 2sinsin39CA=.6（2023福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）在ABCV中，角,
22、A B C的对边分别是,a b c，且2sinsin,3aCcB C=(1)求B；(2)若ABCV面积为3 34，求BC边上中线的长【答案】(1)6B=(2)212【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角B；（2）根据AB=，得ab=，结合三角形面积公式即可得到3ab=，再由正弦定理得边 c，以及2ADABAC=+uuuruuu ruuur，即可得到答案【详解】（1）sinsinaCcB=Q，由正弦定理边化角得sinsinsinsinACCB=，sin0C Q，sinsinAB=，AB=或AB+=（舍），又Q23C=，6B=；（2）Q6B=，23C=，6A=，ab=，1sin2ABCSabC=
23、V，即23 313422a=，解得3ab=，由正弦定理sinsinacAC=，得sin3sinaCcA=，设BC边的中点为D，连接AD，如下图：Q2ADABAC=+uuuruuu ruuur，即22(2)()ADABAC=+uuuruuu ruuur，即222342cos932332ADcbbcA=+=+，解得212AD=7（2024山东淄博山东淄博一模）一模）如图，在ABC 中，2,3BACBAC=的角平分线交 BC 于 P 点，2AP=.(1)若8BC=，求ABC 的面积;(2)若4CP=，求 BP 的长.【答案】(1)31952+(2)22 133+【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积
24、公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出113AC=+，再利用正弦定理求出sinC，再根据三角恒变换求出sin B，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）ABCV中，设角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，在ABCV中由余弦定理得2222cosBCABACAB ACCAB=+-，即2264cbb c=+因ABCMBPMCPSSS=+VVV，即32323222222bccb=+，整理得22b cbc=+解得22 65b c=+，所以13195sin22ABCSbcBAC+=V.（2）因为2,4,3APCPPAC=，所以在APC中由余弦定理可得2222cosCPAPACAP ACCAP=+-
25、，所以21642ACAC=+-解得113AC=+，由正弦定理得sinsinAPPCCCAP=，即24sin32C=，解得3sin4C=，所以213cos1 sin4CC=-=，393sinsin()sincoscossin,8BBACCBACCBACC-=+=+=ABCV中由正弦定理得sinsinACBCBBAC=，则113393382BC+=-，解得142 133BC+=，所以142 1322 13433PBBCPC+=-=-=.8（2024安徽安徽模拟预测）模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD 中，4ABAD=，6BC=(1)若23A=，3C=，求sinBDC的值；(2)若2CD=，co
26、s3cosAC=，求四边形 ABCD 的面积【答案】(1)34(2)16 28 53+【分析】（1）ABD中求出BD，在BCD中，由正弦定理求出sinBDC的值；（2）ABD和BCD中，由余弦定理求出cos A和cosC，得sin A和sinC，进而可求四边形 ABCD 的面积【详解】（1）在ABD中，4ABAD=，23A=，则6ADB=，2cos24cos4 36BDADADB=，在BCD中，由正弦定理得sinsinBCBDBDCC=，6sinsin33sin44 3BCCBDCBD=.（2）在ABD和BCD中，由余弦定理得222222cos44244cos3232cosBDABADAB A
27、DAAA=+-=+-=-，222222cos62262cos4024cosBDCBCDCB CDCCC=+-=+-=-，得4cos3cos1AC-=-，又cos3cosAC=，得11cos,cos39AC=-=-，则2 2sin3A=，4 5sin9C=，四边形 ABCD 的面积11sinsin22ABDBCDSSSAB ADACB CDC=+=+VV12 214 516 28 54 46 223293+=+=.9（2024浙江浙江一模）一模）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2222sinsincCbcaB=+-(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若7a=，且
28、ABCV的面积为3 34，求AD的长【答案】(1)3A=(2)132【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到222bcabc+-=，再结合余弦定理即可求出角A；（2）根据三角形面积公式得到3bc=和2210bc+=，再结合中线向量公式计算即可.【详解】（1）在ABCV中，由正弦定理得，sinsinCcBb=，因为2222sinsincCbcaB=+-，所以2222ccbcab=+-，化简得，222bcabc+-=，在ABCV中，由余弦定理得，2221cos22bcaAbc+-=，又因为0A，求函数 sin 2sin 2fxxBxAC=-+在,-上的单调递增区间【答案】(1)3B=或
29、23B=(2)7511,1212 1212 -【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在ABCV中，由正弦定理可得：sinsinABACCB=，即2 22 3sin22B=，解得3sin2B=，又0B，可得AB，故2,33BAC=+=.2sin 2sin 2sin 2sin 23333f xxxxx=-+=-+-2sin 23x=-,令2 22,Z232kxkk-+-+,解得5Z1212kxkk-+，.由于,-x，取1k=-，得712x-；取0k=，得51212x-；取1k=
30、，得1112x，故 f x在,-上的单调递增区间为7511,1212 1212 -11（2024福建厦门福建厦门二模）二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABCV的面积为S，三个内角、ABC所对的边分别为,a b c，且222sinSCcb=-.(1)证明：ABCV是倍角三角形；(2)若9c=，当S取最大值时，求tanB.【答案】(1)证明见解析(2)2 33-【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；（2）由正弦定理结合题中条件得到9sin3sin2BaB=，结合三角形面积公式1sin2SacB=
31、化为关于tan B的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】（1）因为22222212sin2sin2sinabCSabCCcbcbcb=-，又sin0C,所以221abcb=-，则22bcab=-，又由余弦定理知，2222cosbacacB=+-，故可得2 coscBab=+，由正弦定理，2sincossinsinCBAB=+,又sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+,代入上式可得sincossincossinCBBCB=+,即sincossincossinCBBCB-=，sinsinCBB-=，则有,2CBB CB-=,故ABCV是倍角三角形.（2）因为2CB
32、=，所以30ABCB=-=-,故03B，则tan0,3B，又9c=，又sinsinacAC=，则9sin 39sin9sin3sinsin2sin2BABaCBB-=,则19sinsin22SacBaB=99sin381 sin3sin2sin24cosBBBBB=,81 sin2 coscos2 sin4cosBBBBB+=81sin2cos2tan4BBB=+222812tan1tantan41tan1tanBBBBB-=+32813tantan41tanBBB-=+设tan0,3xB=，3231xxf xx-=+，则 22322331321xxxxxfxx-+-+=4222631xxx-
33、+=+令 0fx=得22 33x=-或者22 33x=-（舍），且当202 33x，当22 333x-时，0fx，则 f x在0,2 33-上单调递增，在2 33,3-上单调递减，故当2 33x=-时，f x取最大值，此时S也取最大值，故tan2 33B=-为所求.12（2024福建漳州福建漳州模拟预测）模拟预测）如图，在四边形ABCD中，2DAB=，6B=，且ABCV的外接圆半径为4.(1)若4 2BC=，2 2AD=，求ACDV的面积；(2)若23D=，求BCAD-的最大值.【答案】(1)4；(2)8 33.【分析】（1）在三角形ABC中，根据正弦定理求得,ACCAB，再在三角形ADC中，
34、利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DACq=，在三角形,ADC ABC中分别用正弦定理表示,BC AD，从而建立BCAD-关于q的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】（1）因为6B=，ABCV的外接圆半径为 4，所以8sinACB=，解得4AC=.在ABCV中，4 2BC=，则4 28sinsinBCCABCAB=，解得2sin2CAB=.又0,2CAB，所以4CAB=；在ACDV中，4AC=，24DACCAB=-=，2 2AD=，所以124 2 2422ACDSD=.（2）设DACq=，0,3q.又23D=，所以3ACDq=-.因为2DAB=，所以2CABq=-.在
35、DAC中，4AC=，由正弦定理得sinsinACADDACD=，即43sin32ADq=-，解得8 38 331sincossin33322ADqqq=-=-4 34cossin3qq=-.在ABCV中，4AC=，由正弦定理得sinsinACBCBCAB=，即41sin22BCq=-，解得8sin8cos2BCqq=-=，所以34 cossin3BCADqq-=+8 3sin33q=+.又0,3q，所以 2,333q+，当且仅当32q+=，即6q=时，sin3q+取得最大值 1，所以BCAD-的最大值为8 33.13（2024山东济南山东济南二模）二模）如图，在平面四边形 ABCD 中，BCC
36、D，2ABBC=，ABCq=，120180q.(1)若120q=，3AD=，求ADC的大小；(2)若6CD=，求四边形 ABCD 面积的最大值.【答案】(1)=45ADC(2)32+【分析】（1）在ABCV中，利用余弦定理可得6AC=，由等腰三角形可得30BCA=，然后在ADC中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得2 2BD=，然后四边形面积分成BCDABDSS+VV即可求解.【详解】（1）在ABCV中，2ABBC=，120q=，所以30BCA=，由余弦定理可得，22212222262AC=+-=，即6AC=，又BCCD，所以60ACD=，在ADC中，由正弦定理可得36sin60sin
37、ADC=，得2sin2ADC=，因为ACAD，所以060ADC，所以=45ADC.（2）在Rt BCDV中，2,6BCCD=，所以2 2BD=，所以，四边形 ABCD 的面积112622 2sin22BCDABDSSSABD=+=+VV32sinABD=+，当90ABD=时，max32S=+，即四边形 ABCD 面积的最大值为32+.14（2024湖北武汉湖北武汉模拟预测）模拟预测）已知锐角ABCV的三内角ABC，的对边分别是abc，且222(coscos)bcbCcBbc+-+=，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围【答案】(1)3(2)6,9【分析】（1
38、）由余弦定理将cos,cosBC化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1）222coscosbcbCcBbc+-+=Q，由余弦定理可得22222222222abcacbbcbcbcabac+-+-+-+=，化简整理得222bcabc+-=，又2222cosbcabcA+-=，1cos2A=，又02A，所以3A=.（2）因为三角形外接圆半径为3R=，所以2 3sinbB=，2 3sincC=，12sinsinbcBC=，由（1）得23BC+=，所以23112sinsin12sinsin12sincossin322bcBCBBBB
39、B=-=+26 3sincos6sin3 3sin23 1 cos2BBBBB=+=+-316sin2cos2322BB=-+6sin 236B=-+，因为ABCV是锐角三角形，且23BC+=，所以62B，52666B-，1sin 2126B-，66sin 2396B-+，即69bc.所以bc的取值范围为6,9.15（2024湖南邵阳湖南邵阳模拟预测）模拟预测）在ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，且ABCV的周长为sinsinsinsinaBABC+-(1)求C；(2)若2a=，4b=，D为边AB上一点，6BCD=，求BCD的面积【答案】(1)23C=；(2)2 35.【分析
40、】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD，再求出BCD的面积.【详解】（1）在ABCV中，sinsinsinsinaBABCabc+=-+，由正弦定理得ababcabc+=+-，整理得222abcab+-=-，由余弦定理得2221cos22abcCab+-=-，而0C，所以sin3cosAA-=，可得tan3A=-，因为(0,)A，所以23A=；（2）（）此时22ABAD=，ADAB，所以225D BABAD=+=，所以2121123515cos,sin,sinsin3221055555ABADABCAB
41、CCBBDBD=+=-+=-+，在ABCV中，由正弦定理可得12sin8 345sinsinsin11515105ACABABABCACABCCC+=+-=；（）设CADa=，由ABCBADCADSSS=+VVV，可得232sin()sin3bbaa=-+，化简可得23sin2sin()3bbaa-=-有2,2sinsinsinsin()3bCDBDADCADBaa=-，由于2BDDC=，所以sinsin12sin22sin()3bADBADCaa=-，所以2sin()13sin33sin,sin2si3nbbbaaaaa-=612b+=，则13 23sin24ABCSbcA+=V17（202
42、4广东广州广东广州一模）一模）记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABCV的面积为S.已知2223()4Sacb=-+-.(1)求B；(2)若点D在边AC上，且2ABD=，22ADDC=，求ABCV的周长.【答案】(1)23；(2)32 3+【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B的范围，即可求得结果；（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得,AB BC，即可求得三角形周长.【详解】（1）由2223()4Sacb=-+-，则13sin2cos24acBacB=-，tan3B=-又0,B，故23B=.（2）由（1）可知，23B=，又2ABD=，则6CB
43、D=；由题可知，22ADDC=，故11213333BDBCCDBCCABCBABCBCBA=+=+=+-=+uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，所以2211103333BA BDBABCBAcac=+=-=uuu r uuu ruuu ruuu ruuu r，因为0c，所以ac=，6AC=，在RtABD中，cos36cAD=，故ABCV的周长为33332 3ABBCAC+=+=+.18（2024广东佛山广东佛山模拟预测）模拟预测）在ABCV中，角,A B C所对的边分别为,a b c，其中1a=，21cos2cAb-=(1)求角
44、B的大小；(2)如图，D为ABCV外一点，ABBD=，ABCABD=，求sinsinCABCDB的最大值【答案】(1)3B=(2)3【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得sinsinCABCDCDBAC=，再由余弦定理分别得到22,ACCD，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为1a=，所以2cos2caAb-=，由正弦定理sinsinsinabcABC=，可得2sinsincos2sinCAAB-=，整理可得2sincos2sinsinBACA=-，又因为sinsinsincossincosCABA
45、BBA=+=+，化简可得sin2sincosAAB=，而sin0A，则1cos2B=，又0,B，则3B=（2）在BCD中，由sinsinBCCDCDBCBD=可得2sin3sinCDBCD=，在ABCV中，由sinsinBCACCABABC=可得sin3sinCABAC=，所以sinsinCABCDCDBAC=，设0ABBDt t=，由余弦定理2222cosCDBABCBA BCCBD=+-，2222cosACBABCBA BCCBA=+-，可得221CDtt=+，221ACtt=+-，因此2222212211311121CDtttACtttttt+=+=+-+-，当且仅当1tt=时，即1t=
46、等号成立，所以sinsinCABCDB的最大值为3，此时1ABBD=.19（2024河北石家庄河北石家庄二模）二模）在ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量(2sin,3sin3cos)mAAA=+r，2(cos,cossin),(),63nAAAf Am n A=-=rr r.(1)求函数 fA的最大值;(2)若6()0,3,sinsin2f AaBC=+=，求ABCV的面积.【答案】(1)3(2)34ABCS=!【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得()2sin(2)3f xA=+，再结合三角函数的值域计算即可求得；（2）由题中条件计算可得3A=
47、，再由正弦定理得6bc+=，由余弦定理可得1bc=，再由三角形的面积公式计算即可求得【详解】（1）()2sincos(3sin3cos)(cossin)f xm nAAAAAA=+-r r22sin23(cossin)sin23cos22sin(2)3AAAAAA=+-=+=+因为 2,63A，所以2 52,333A+，所以当2233A+=，即6A=时，()f x有最大值3232=；（2）因为 0fA=，所以2sin(2)03A+=，所以2,Z3Akk+=，因为 2,6 3AA，所以3A=，由正弦定理得：322sin32aRA=，所以sin22bbBR=，sin22ccCR=，又因为6sins
48、in2BC+=，所以6222bc+=，所以6bc+=，由余弦定理有：2222cosabcbcA=+-，即23()3bcbc=+-，所以1bc=，所以1133sin12224ABCSbcA=20（2024 广 东广 东 一 模）一 模）设 锐 角 三 角 形ABC的 内 角,A B C的 对 边 分 别 为,a b c，已 知cos2 coscosbcAaBC-=(1)求cosB；(2)若点D在AC上（与,A C不重合），且,24CADBCBD=，求CDAD的值【答案】(1)12(2)23+【分析】（1）根据条件，边转角得到sinsincos2sincoscosBCAABC-=，再利用sinsi
49、ncoscossinBACAC=+即可求出结果；（2）根据题设得到4DBCC=，进而可求得512A=，12ABD=，再利用BCDABDSCDADS=VV，即可求出结果.【详解】（1）由cos2 coscosbcAaBC-=，得到sinsincos2sincoscosBCAABC-=，又sinsin()sin()sincoscossinBACACACAC=-=+=+，所以cos sin2sincoscosCAABC=，又三角形ABC为锐角三角形，所以sin0,cos0AC，得到12cosB=，即1cos2B=.（2）因为2ADBCBD=，又ADBACBCBD=+，所以ACBCBD=，则BDCD=
50、，所以4DBCC=，由（1）知，3B=，则53412A=-=，521212ABD=-=，则15sinsinsinsinsincos1244124121sinsinsinsinsinsintan212124121212BCDABDBC BDASCDADSAB BDC=VV，又31333tantan()=124333313-=-=+，所以332333CDAD+=+-.21（2024辽宁辽宁二模）二模）在ABCV中，D为BC边上一点，1DCCA=，且ACDV面积是ABD面积的 2倍(1)若2ABAD=，求AB的长；(2)求sinsinADBB的取值范围【答案】(1)1(2)5,4+【分析】（1）根据