两条直线的位置关系1553.pdf

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1、 两条直线的位置关系 TYYGROUP system office room【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-两条直线的位置关系 1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0 时，l1l2.(2)两条直线的交点 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标

2、就是方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20的解 2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|x2x12y2y12.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离：d|Ax0By0C|A2B2.(3)两条平行线AxByC10 与AxByC20(其中C1C2)间的距离d|C1C2|A2B2.选择题：设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10 与直线l2：x(a1)y40 平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a1 时，直线l1：x2y10 与直线l2：x2y40 平行；必要性：

3、当直线l1：ax2y10 与直线l2：x(a1)y40 平行时有a2 或 1；所以“a1”是“直线l1：ax2y10 与直线l2：x(a1)y40 平行”的充分不必要条件 已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30 的距离为 1，则a等于()B2 2 1 1 解析 依题意得|a23|111，解得a1 2或a1 2，a0，a1 2.已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8 平行，则实数m的值为()A7 B1 C1 或7 解析 l1的斜率为3m4，在y轴上的截距为53m4，l2的斜率为25m，在y轴上的截距为85m.又l1l2，由3m425m得，m28m70，得m1 或7.m1

4、时，53m485m2，l1与l2重合，故不符合题意；m7 时，53m413285m4，符合题意 已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则a等于()A1 B2 C0 或2 D1 或 2 解析 若a0，两直线方程为x2y10 和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.当a0 时，若两直线平行，则有a112a13，解得a1 或a2，选 D.已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3 Bba31a C(ba3)ba31a0 D|ba3|ba31a0 解析 若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为 0，此时O，B重合，不符合题意；若A

5、2，则ba30，若B2，根据垂直关系可知a2a3ba1，所以a(a3b)1，即ba31a0，以上两种情况皆有可能，故只有 C 满足条件 已知过点A(m1，0)，B(5，m)的直线与过点C(4，3)，D(0，5)的直线平行，则m的值为()A1 B2 C2 D1 解析 由题意得：kABm05m1m6m，kCD530412.由于ABCD，即kABkCD，所以m6m12，所以m2 当 0k12时，直线l1：kxyk1 与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 解方程组 kxyk1，kyx2k得两直线的交点坐标为kk1，2k1k1，因为 0k12，所以kk1

6、0，2k1k10，故交点在第二象限 若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点()A(0，4)B(0，2)C(2，4)D(4，2)解析 直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10 Cx6y160 D6xy80 解析 由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k12，所以直线的方程为y312(x2)，其与y

7、轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知 A 正确 填空题：已知a，b为正数，且直线axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b的最小值为_ 解析 由于直线axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，所以a(b3)2b，即2a3b1(a，b均为正数)，所以 2a3b(2a3b)2a3b136baab1362baab25(当且仅当baab，即ab5 时取等号)若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直，则a_ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)

8、(14a)(a4)0，解得a0 或 a1.已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析 l1l2，k1k21，即a21，解得a2.已知直线ykx2k1 与直线y12x2 的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_ 解析 由方程组 ykx2k1，y12x2，解得 x24k2k1，y6k12k1.(若 2k10，即k12，则两直线平行)，交点坐标为24k2k1，6k12k1，又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_ 解析 当直线l的斜率存在时，设直线l的

9、方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13.直线l的方程为y213(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80 和l2：x3y100 截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_ 解析 设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40 与直线l1：3x2y60 和直线l2：6x4y30 等距

10、离的直线方程是_ 解析 l2：6x4y30 化为 3x2y320，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直 线l的方程为 3x2yc0，则：|c6|c32|，解得c154，所以l的方程为 12x8y150.已知两直线l1：axby40 和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_ 解析 由题意得 aba10，4a2b2|b|a121.解得 a2，b2或 a23，b2经检验，两种情况均符合题意，ab的值为 0 或83 已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为4，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为 _ 解

11、析 若直线l1的倾斜角为4，则aktan451，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d|13|112 2.已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_ 解 析 设A(x，y)，由 已 知 得 y2x1231，2x123y2210，解 得 x3313，y413，故A3313，413.解答题：已知两直线l1：xysin10 和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)当 sin0 时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为 0，显然l1不平行于l2.当 sin0 时，k

12、11sin，k22sin，要使l1l2，需1sin2sin，即sin22.所以k4，kZ，此时两直线的斜率相等故当k4，kZ 时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20 是l1l2的充要条件，所以 2sinsin0，即 sin0，所以k，kZ.故当k，kZ 时，l1l2.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30 所截的线段的中点在直线l3：xy10 上，求其方程 解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120，解得13.所求直线方程为 2x

13、7y50.正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程 解 点C到直线x3y50 的距离d|15|193 105.设与x3y50 平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0 的距离d|1m|193 105，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50 平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0，则点C到直线 3xyn0 的距离d|3n|193 105，解得n3 或n9，所以与x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.已知直线l：2x3y10，求直线m：3

14、x2y60 关于直线l的对称直线m的方程 解 在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上 设对称点M(a，b)，则 2a223b0210，b0a2231，解得 a613，b3013，M613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由 2x3y10，3x2y60，得N(4,3)又m经过点N(4,3)由两点式得直线m的方程为 9x46y1020.求与直线 3x4y10 平行且过点(1，2)的直线l的方程 解 依题意，设所求直线方程为 3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1，2)，所以 3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为 3x4y110.求经过

15、两直线l1：x2y40 和l2：xy20 的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程 解 解方程组 x2y40，xy20，得P(0，2)因为l3的斜率为34，且ll3，所以直线l的斜率为43，由斜截式可知l的方程为y43x2，即 4x3y60.已知ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为 2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程 解 依题意知：kAC2，A(5，1)，lAC为 2xy110，联立lAC、lCM得 2xy110，2xy50，C(4，3)设B(x0，y0)，AB的中点M为(x052，y012)，代入 2xy50，得 2x0

16、y010，2x0y010，x02y050，B(1，3)，kBC65，直线BC的方程为y365(x4)，即 6x5y90.已知直线l经过直线l1：2xy50 与l2：x2y0 的交点(1)若点A(5，0)到l的距离为 3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值 解(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点A(5,0)到l的距离为 3，|1055|221223，即 22520，2，或12，l的方程为x2 或 4x3y50.(2)由 2xy50，x2y0，解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到

17、l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)dmaxPA 522012 10.专项能力提升 若点(m，n)在直线 4x3y100 上，则m2n2的最小值是()A2 B2 2 C4 D2 3 解析 因为点(m，n)在直线 4x3y100 上，所以 4m3n100.欲求m2n2的最小值可先求m02n02的最小值，而m02n02表示 4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线 4m3n100 垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为 2.所以m2n2的最小值为 4.已知直线l：y12x1，(1)求点P(3,4)关于l对称的点Q；(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程 解(1)设Q(x0，y0)，由于PQl，且PQ中点在l上，有 y04x032，y04212x0321，解得 x0295，y085，Q295，85.(2)在l上任取一点，如M(0，1)，则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7)当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，所求直线过点N且与l平行，所求方程为y712(x4)，即为x2y100.