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1、.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系知识点一知识点一空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系1异面直线定义：不同在任何一个平面的两直线叫做异面直线。特点：既不相交，也不平行。理解：不同在任何一个平面，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。不同在任也可以理解为任何一个平面都不可能同时经过这两条直线。不能把异面直线误解为分别在不同平面的两条直线为异面直线 也就是说，在两个不同平面的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线2空间两条直线的位置关系相交在同一平面，有且只有一个公共点；平行在同一平面，没有公共点；异面不同在任
2、何个平面，没有公共点例 1、正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：例 2、异面直线是指_空间中两条不相交的直线；分别位于两个不同平面的两条直线；平面的一条直线与平面外的一条直线；不同在任何一个平面的两条直线变式 1、一个正方体中共有对异面直线知识点二知识点二平行直线平行直线1公理公理 4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：
3、abac2等角定理：等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，则这两个角相bc等.DC例 3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1AB、BC的中点，求证：EFA1C1.BB1变式 1、如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，则四边形EFGH的形DCDC状还是平行四边形吗？AFAABAHEBEEH折DCDE例 4、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1、E分别BBDGABF为A1D1、AD的中点，求证：C1E1B1=CEBFGEDC1、
4、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面B作为衬托，以加强直观性，如以下图(l)，假设画成如以下图(2)A的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成以下图中的情形。2、异面直线的判定异面直线判定定理：异面直线判定定理：过平面一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过该点的直线是异.知识点三异面直线知识点三异面直线CC.面直线判定两条直线为异面直线的常用方法有：定义法：不同在任一平面的两条直线定理法：过平面一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过该点的直线为异面直线推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直
5、线反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或*一公理、定理或*一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，3、异面直线所成的角a与b是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线aa，b/b，直线a和b 所成的锐角或直角叫做异面直线a，b 所成的角如以下图所示异面直线所成角的围是 090；(2)为了求异面直线 a，b 所成的角，可以在空间中任取一点O，为了简便，点O 常常取这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也可以是异面直线中*一条上的一个特殊点
6、.将这个角放入*个三角形中计算这个角的大小，假设该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.(3)我们规定：两条平行直线所成的角为 0角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角或直角，因此在空间中的两条直线所成的角的围为(0，90；特别地，假设两异面直线所成角为90，则称两异面直线互相垂直；(4)求异面直线所成角的一般步骤是：构造恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角证明证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角，计算通过解三角形常用余弦定理等知识，求中所构造的角的大小，结论假设所构造的角的大小为，假设 090，则即为所求异面直线所成角的大小；假设
7、90.AD与BC是异面直线证法二：直接用判定定理：acP，a和c确定一个平面，设为，巳知C平面，B平面，AD平面，BAD，AD和BC是异面直线变式 1、如图 21219，a，b是异面直线，A、Ba，C、Db，E、F分别为线段AC和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明例 8、正方体 ACl中，E，F 分别是 A1B1，B1Cl 的中点，求异面直线 DB1与 EF 所成角的大小。变式 1、空间四边形ABCD 中，E、F 分别是对角线 BD、AC 的中点，假设BCAD2EF，求直线 EF 与直线 AD 所成的角。例 9、直三棱柱与中，假设，则
8、异面直线所成的角等于 A30 B45 C60 D90解：C变式 1、空间四边形 ABCD 各边长相等，求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小.解：解：异面直线 AB、CD 成 90角.稳固练习：稳固练习：一、判断题1.假设三条直线两两平行，则这三条直线必共面()2.互不平行的两条直线是异面直线 ()二、单项选择题1.关于异面直线，有以下3 个命题：分别在两个不同平面的两直线是异面直线平面的一直线与平面外的一直线是异面直线都不在*一平面的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A0 B1 C2 D32.直线 a、b 是两条异面直线，A、B 与 C、D 分别为直线 a、b 上不同的点，则直线AC
9、与 BD的关系是A可能相交 B可能平行 C异面 D相交或异面3.两条异面直线指的是A在空间不相交的两条直线B分别位于两个不同平面的两条直线C一个平面的一条直线和这个平面外的一条直线D不同在任何一个平面的两条直线4.以下命题中，真命题的是A两两相交的三条直线共面B两两相交且不共点的四条直线共面C不共面的四点中可以有三点共线D边长相等的四边形一定是菱形5.空间两条互相平行的直线，指的是A在空间没有公共点的两条直线B分别在两个平行平面的两条直线C位于同一平面且没有公共点的两条直线D分别与第三条直线成等角的两条直线6.平面 M、N 相交于 EF，分别在平面 M、N 作EAC=FBD，则 AC 和 BD
10、 的关系是A异面 B平行 C相交 D不确定7.直线 a 和 b 是异面直线，直线 ca，则 b 与 cA异面 B不异面 C相交 D异面或相交.8.如果一条直线和两条异面直线都相交，则它们可确定A4 个平面 B3 个平面 C2 个平面 D1 个平面9.假设 m 和 n 是异面直线，n 和 l 也是异面直线，则A当 ml=时，m 与 l 异面 Bml=C当 m 与 l 共面时，ml Dm 与 l 相交、异面、平行都可能10假设 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则()A过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行B过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与
11、l、m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面11过正方体ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作()A1 条B2 条 C3 条D4 条三、填空题1.直线 a、b 异面的否认说法是_2.不平行的两条直线的位置关系是_3.直线 a、b 相交的否认说法是_4.过直线外一点，可以作_条直线与直线垂直5.分别在两个平面的两条直线的位置关系是_6.直线a和b是异面直线，直线c和a平行而不和b相交，则c和b的位置关系是_7.直线 a、b 确定一个平面，则 a、b 的位置关系是_8.直线 a、b 异面还可以说成直线
12、 a、b 既不_，又不_9.空间有三条直线 a、b、c，如果 ba，ca，则直线 b、c 的位置关系是_10.和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是_11.直线 a、b、c 满足 ab，b 与 c 是异面直线，则 a 与 c 的位置关系是_12.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与侧面对角线 AD1 成异面直线的棱共有_条，它们分别是_13.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与棱 AB 成异面直线的棱共有 _条，它们分别是_14.正方体的 12 条棱中，互为异面直线的有_对.答案一、判断题 1.2.二、单项选择题1.A2.C3.D4.B5.C6.D7.D8.C9.D1
13、0.B 11.D三、填空题1.a、b 共面 2.相交或异面 3.a、b 不相交或 a、b 无公共点4.无数 5.平行或相交或异面 6.异面 7.相交或平行 8.相交，平行9.平行或相交或异面 10.相交或平行或异面11.相交或异面12.6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B113.4；A1D1，B1C1，CC1，DD114.24空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系1.直线a,b都在平面外,则以下推断错误的选项是.Aa/b,b/a/Ba b,b a/Ca/,b/a/b Da,b a/b【答案】C2.直线l平面，P，则过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面B只有一条，在平
14、面C有两条，不一定都在平面D有无数条，不一定都在平面【答案】B3.以下命题正确的选项是A假设两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B假设一条直线垂直于一个平面的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C假设一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D假设两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C4.以下四个条件中,能确定一个平面的是A.一条直线和一个点 B.空间两条直线C.空间任意三点 D.两条平行直线【答案】D5.在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直【答案】D6.平行于同一平面的
15、两条直线的位置关系A平行 B相交 C异面 D平行、相交或异面【答案】D7.以下命题中，错误的选项是()A三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面B平面平面，a，过的一点B有惟一的一条直线b，使ba.C，、的交线为a、b、c、d，则abcd.D一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行【答案】D8.直线m不平行于平面，且m，则以下结论成立的是A所有直线与m异面 B不存在与m平行的直线C存在唯一的直线与m平行 D的直线与m都相交【答案】B09.正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45，则点A到侧面PBC的距离是A.5B.2 2C.2D.6 55【答案】D10.在棱长为
16、1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与所成角的余弦值是.31032A2 B10 C5 D5【答案】D11.直线l,m，平面,，且l，m，给出以下四个命题：假设，则l m；假设l m，则；假设，则lm；假设lm，则其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4【答案】B12.设m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定以下四个命题：假设m n，n，则m；假设a，a，则；假设m，n，则m/n；假设m，n，/则m/n其中真命题的是A和 B和 C和 D和【答案】B13.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点
17、，则以下结论中不成立的是D1A1B1C1EFCBBEF与BD垂直 CEF与CD异面D EF与DAAEF与BB1垂直A1C1异面【答案】D14.异面直线 a、b，ab，c 与 a 成 30角，则 c 与 b 成角的围是().A.,3 32 2B.,6 62 2C.2 2,6 63 3 D.2 2,3 33 3【答案】A15.在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小B64CD32A【答案】D16.空间直角坐标系中，O为原点，A0，0，3，B0，4，0，C5，0，0则经过O、A、B、C四点的球的体积为A50B125 23C1000 225D34【答案】B17.设 m,
18、n 是两条不同直线,是两个不同的平面,给出以下四个命题假设m,n/,则m/nm,n,m n,则,则/假设 n,m/n,则m/,且m/假设m,m 其中正确的命题是()A.B.C.D.【答案】D18.直线l和平面,，A假设l，则l B假设l，则lC假设l，l，则D假设l，l，则【答案】D19.在以下条件下，可判断平面与平面平行的是A.、都垂直于平面 B.不共线的三个点到 的距离相等C.l,m 是 两条直线且 l,mD.l,m 是异面直线,且 l,m,l,m.【答案】D20.设m,n是空间两条不同直线，,是空间两个不同平面，当m,n时,以下命题正确的选项是A假设mn，则 B假设m n，则C假设m，则
19、m n D假设n，则m【答案】C21.直线l、m,平面、，则以下命题中：假设/，l,则l/假设，l,则l/假设l/，m,则l/m假设，l,m l,则m，其中真命题有A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B22.如图 1 所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图 2 所示，则，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面 BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面 DHGAEF所在平面【答案】A23.如图，平行四边形ABCD 中，ABBD，沿BD 将ABD 折起，
20、使面ABD面 BCD，连接AC，则在四面体 ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为A1 B2 C3 D4【答案】C24.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,N 分别在线段 AB1,BC1上,且 AM=BN,给出以下结论:AA1MN异面直线 AB1,BC1所成的角为 60四面体 B1-D1CA 的体积为13A1CAB1,A1CBC1,其中正确的结论的个数为A4 B3C2D1【答案】A25.一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，则这个平面与这条直线的位置关系是()A平行B垂直C斜交D不能确定【答案】B26.两个不重合的平面,，给定以下条件：不共线的三点到
21、的距离相等；l,m是的两条直线，且l/,m/；.l,m是两条异面直线，且l/,l/,m/,m/；其中可以判定/的是ABC D【答案】D27.如下图，在空间四边形ABCD中，ABBC，CDDA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点求证：平面BEF平面BGD.【答案】ABBC，CDAD，G是AC的中点，BGAC，DGAC.AC平面BGD.又EFAC，EF平面BGD.又EF？平面BEF，平面BDG平面BEF.28.三条不重合的直线m,n,l，两个不重合的平面,，有以下命题：假设l/,m/，且/，则l/m假设l,m，且l/m，则/假设m,n，m/,n/，则/假设,m,n,n m，则n 其中真命题的个
22、数是A4B3C2D1【答案】C29.假设 M、N 分别是ABC 边 AB、AC 的中点，MN 与过直线 BC 的平面的位置关系是A.MNB.MN 与相交或 MNC.MN或 MND.MN或 MN 与相交或 MN【答案】C30.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为A3B1 或 2C1 或 3D2 或 3【答案】C31.两个不同的平面，和两条不重合的直线 m,n，则以下四种说确的为()A、假设 mn,n，则 m B、假设 mn,m，则 nC、假设 m，n，则 m,n 为异面直线 D、假设，m，n,则mn【答案】D32.直径为2 3的球的接正方体的棱长为()A2B2C
23、3D5【答案】B33.在ABC 中,C=90,B=30,AC=1,M 为 AB 中点,将ACM 沿 CM 折起,使AB 间的距离为2,则 M 到面 ABC 的距离为.A313BC1 D222【答案】A【答案】由得 AB=2,AM=MB=MC=1,BC=3,由AMC 为等边三角形,取 CM 中点,则 ADCM,AD 交 BC 于 E,则 AD=333,DE=,CE=.263222折起后,由 BC=AC+AB,知BAC=90,又 cos ECA=2232222,AE=CA+CE-2CA CEcos ECA=,332于是 AC=AE+CE.AEC=90.AD=AE+ED,AE平面 BCM,即 AE
24、是三棱锥 A-BCM 的高,AE=2226.3设点 M 到面 ABC 的距离为 h,S BCM=3,由 VA-BCM=VM-ABC,4可得136111=21h,h=.应选 A33234234.设 m,n 是异面直线，则1一定存在平面，使 m，且 n；2一定存在平面，使 m，且 n；3一定存在平面，使得m,n 到平面距离相等；4一定存在无数对平面和，使 m，n且。上述 4 个命题中正确命题的序号是A 1 2 3B 1 2 4C 1 3 4D 1 4【答案】C45.关于直线a,b,l以及平面,，下面命题中正确的选项是A假设a/,b/,则a/b.B假设a/,b a,则b.C假设a,a/,则.D假设a,b，且l a,l/b,，则l.【答案】C.