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1、 20202021学年第二学期高一期末考试数学试题【考试时间 120 分钟 满分 150 分】一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足izi43)1(,则z的虚部为 A5 B25 C-25 D-5 2一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D至少有一次中靶 3 已知直线 a，b 分别在两个不同的平面,内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面与平面相交”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4从长度
2、为 2,4,6,8,9 的 5 条线段中任取 3 条，则这 3 条线段能构成一个三角形的概率为 A52 B21 C53 D107 5已知 P 是ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 MN=BC=4,PA=34,则异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是()A30 B45 C60 D90 6已知ABC的三个顶点CBA、及平面内一点P满足ABPCPBPA,则ABP与ABC的面积比为 A21 B31 C52 D41 7袋中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 3 个红球、2 个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件A“第一次摸到红球”，事件B“第二次摸到红球”，则)(BA
3、P A109 B2521 C53 D259 8圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点。其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为15 315 m，在它们之间的地面上的点M（,B M D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A20m B30m C20 3m D30 3m 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
4、 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9下列关于事件A和事件B的结论正确的是 A若,1)()(BPAP则事件A与事件B互为对立事件 B若),()()(BPAPABP则事件A与事件B相互独立 C若事件A与事件 B 互为互斥事件，则事件A与事件B也互为互斥事件 D若事件A与事件 B 相互独立，则事件A与事件B也相互独立 10已知复数iziz2,221，则 A1z在复平面内对应的点位于第四象限 B21zz 为纯虚数 C21zz D满足11zzzz的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线 11已知有 6 个电器元件，其中有 2 个次品和 4 个正品，每次随机抽取 1 个测试，不放回，直到
5、2个次品都找到为止，设随机试验“直到 2 个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件iA“测试i次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是 A6,5,4,3,2 B事件2A和事件3A互为互斥事件 C事件4A“前 3 次测试中有 1 次测试到次品，2 次测试到正品，且第 4 次测试到次品”D事件5A“前 4 次测试中有 1 次测试到次品，3 次测试到正品”12 已知正四棱柱1111DCBAABCD 的底面边长为2，,31AA设,OBDACE是1AA 的中点，过1C作直线FC1平面,BDE与平面11AABB交于点,F则下列结论正确的是 A/EO平面11BCA BCAFC11 C点F为线段1
6、AA上靠近点A的三等分点 D二面角ABDF平面角的正切值为35 三、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13天气预报元旦假期甲地降雨的概率是 0.2，乙地降雨的概率是 0.3，假定在这段时间内两地之间是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 14已知向量 a，b 不平行，向量 ab 与(1)a2b 平行，则实数 _ 15已知DCBA,是某球面上不共面的四点，,2,2ACBDADBCABBC与AD垂直，则此球的体积为 16在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生 24 人，其平均数和方差分别为 170.5
7、和 12.96，抽取了女生 26 人，其平均数和方差分别为 160.5 和 36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点).6,2(),3,2(),4,1(CBA(1)求;ACAB(2)设实数t满足,)(OCOCtBA求t的值 18（本小题满分 12 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20,30)，3
8、0,40)，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的 70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等 试估计总体中女生的人数 19（本小题满分 12 分）如图在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AAABC底面，ABBC，D为AC的中点，12,3AAABBC.（1）求证：1AB1BC D平面；（2）求四棱锥11BAAC D的体积.20(本小题满分 12 分)在ABC中，内角,A B C的对边分别为ABCcba,的面积S满足.334222cbaS（1）求C；（2）若ABC为锐角三角形，3c，求24
9、sinaB的取值范围 21(本小题满分 12 分)某公司计划购买 1 种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.该公司搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：161718192021频数更换的易损零件数0610162024 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若n=18，求 y 与 x 的函数解析式；（2）假设
10、这 100 台机器在购机的同时每台都购买 18 个易损零件，或每台都购买 19 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 18 个还是 19 个易损零件？（3）若该公司计划购买 2 台该机器，以上面柱状图中 100 台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替 1 台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为 36 的概率。22（本小题满分 12 分）如 图，四 棱 锥ABCDP 中，,1,2CDBCABAD,/BCAD且,PCPA.PDPB （1）证明：平面PAD平面;A
11、BCD （2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值。P A B C D 20202021学年第二学期高一期中考试数学答案 1-5CDABA 6-8BAD 9 BD 10.ABCD 11.BD 12.ABD 13.0.38 14.31 15.6 16.50.4 17(1),1,2(ACAB5 ACAB (2),)(OCOCtBA,0)(OCOCtBA即04012t，103t 18.(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于 70 的频率为 10.60.4，小于 80 的频率为 0.8，5.7704.03.070 所以其
12、分数的样本数据的 70%分位数估计值为 77.5.(2)由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 601230，所以样本中的男生人数为 30260，女生人数为 1006040，估计总体中女生人数为4010040400（人）。19.（1）连接1BC，设1BC与1BC相交于点O，连接OD，1111111111,BCC BoBCDACODABODBC D ABBC DABBC D四边形是平行四边形，点 为的中点。是的中点，OD是 AB C 的中位线，平面平面平面。(2)1AA平面1,AAABC平面CCAA11，111
13、1221111111111ABC,E,4913,62,3,.1311()32136132336213AAC CBEACAAC CABBCAB BCABBBBCBEACBAAC DVACAD AA BEBAAC D 平面平面且平面ABC 平面AA C C=AC作垂足为，则BE平面在Rt ABC中，AC=四棱柱的体积四棱柱的体积为。四棱锥11BAAC D的体积3136213331V 20.(1)由题得,sin21334222cbaCab,cos2sin33222CabcbaC 3,3tanCC（2）由正弦定理得AaCcAasin2,2sinsin，BBBBBABasin2cos32sin4)3si
14、n(4sin4sin4sin42)3sin(4B ABC为锐角三角形，2320,20BB，26B，636B，2)3sin(42B 24sinaB的取值范围是)2,2(21.(1)Nxxxxy,18,5400500,180,3600(2)若 每 台 都 购 买18个 易 损 零 件，则 购 买 易 损 零 件 费 用 的 平 均 数40701.051002.0460024.0410046.03600y（元）若 每 台 都 购 买19个 易 损 零 件，则 购 买 易 损 零 件 费 用 的 平 均 数40001.048002.043007.03800y（元）所以购买 1 台机器的同时应购买 19
15、 个易损零件。（3）将两台机器编号为 1 号、2 号，设事件iA“1 号机器需要更换的易损零件为i个”，事件iB“2 号机器需要更换的易损零件为i个”，设事件C=“两台机器三年内共需更换的易损零件数为 36”，16201719181819172016BABABABABAC,)()()()()()(16201719181819172016BAPBAPBAPBAPBAPCP 1584.024.024.024.016.022.006.02 两台机器三年内共需更换的易损零件数为 36 的概率为 0.1584.22.（1）取 AD 中点 O，连 PO，AC，BO，CO，设 AC 与 BO 交于E，CO
16、与 BD 交于 F，连 PE，PF.AOBC 且 AO=BC=AB，四边形 AOCB 为菱形，ACBO，且 E 为 AC 中点 又 PA=PC，ACPE，又 PEBO=E，AC平面 PBO.又PO平面 PBO，ACPO，同理，由四边形 DOBC 为菱形，且 PB=PD，得 BDPO.又直线 AC 与 BD 相交，PO平面 ABCD，又PO平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD.（6 分）（2）设POt，过 O 作 OHPF 交 PF 于 H，由 BD平面 POC，故 BDOH.又 PFBD=F，OH平面 PBD，1122OFAB，故22121414ttOHtt.又 AD=2OD，故点 A 到平面 PBD 的距离22241tdOHt.设直线 PA 与平面 PBD 所成角的大小为.则2222sin1141ddtPAttt 2222222311452 45tttt.当且仅当2214tt，即22t 时取等号，故直线 PA 与面 PBD 所成角的正弦值的最大值为23.注：第（2）问设POt，建立空间直角坐标系表示sin也可以。