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1、北京市西城区第一学期期末试卷 八 年 级 数 学 试卷满分：100 分，考试时间：100 分钟 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1.下列二次根式中，最简二次根式是（）.A.1x B.18 C.116 D.29a 2.2015 年 9 月 14 日，意大利物理学家马尔科德拉戈收到自激光干涉引力波天文台（LIGO）的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿和烈文斯顿的两个 LIGO 探测器上产生了-184 10米的空间畸变（如图中的引力波信号图像所示），也被称作“时空中的涟漪”，人类第一次探测到了引力波的存在，“
2、天空和以前不同了你也听得到了.”这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差.三百五十万分之一约为0.000 000 285 7.将0.000 000 285 7用科学记数法表示应为（）.A-82.85710 B.-72.85710 C.-62.85710 D.-60.285 710 3.以下图形中，不是轴对称图形的是（）.4.如图，在ABC中，B=C=60，点D在AB边上，DEAB，并与 AC边交于点E.如果AD=1，BC=6，那么CE等于（）.A.5 B.4 C.3 D.2 5.下列各式正确的是（）.A.6212121=xxxx B.62331 xxxx C.32332
3、2()xxyx yy D.13223yxxy 6.化简211xx正确的是（）.A.221(1)1111xxxxx B.221(1)111xxxxx C.21(1)(1)111xxxxxx D.21(1)(1)1111xxxxxx 7.在ABD与ACD中，BAD=CAD，且B点，C点在AD边两侧，则不一定能使ABD和ACD 全等的条件是（）.A.BD=CD B.B=C C.AB=AC D.BDA=CDA 8.下列判断错误的是（）.A.当a0 时，分式2a有意义 B.当3a 时，分式239aa有意义 C.当12a 时，分式2a+1a的值为 0 D.当1a 时，分式21aa的值为 1 9.如图，AD
4、是ABC的角平分线，C=20，ABBDAC，将ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为 点E，那么AED等于（）.A.80 C.40 D.30 10.在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个 RtABC，使B=90，它的两条边分别等于两条已知线段.小刘和小赵同学先画出了MBN=90之后，后续画图的主要过程分别如下图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）.A.SAS，HL B.HL，SAS C.SAS，AAS D.AAS，HL 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）11.0(-3)=_.12.如果3x 在实数范围内有意义，那么的取值范围是_.13.在平面直角坐标
5、系Oy中，点(5,1)关于y轴对称的点的坐标为_.14.中国新闻网报道：2022 年北京冬奥会的配套设施“京张高铁”（北京至张家口高速铁路）将于小刘同学 小赵同学 2019 年底全线通车，届时，北京至张家口高铁将实现 1 小时直达.目前，北京至张家口的列车里程约 200 千米，列车的平均时速为v千米/时，那么北京至张家口“京张高铁”运行的时间比现在列车运行的时间少_小时.（用含v的式子表示）15.如图所示的“钻石”型网格（由边长都为 1 个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起所构成的完整图形是一个轴对称图形.（1）
6、画出其中 一种涂色方式并画出此时的对称轴；（2）满足题意的涂色方式有_种.16.对于实数p，我们规定：用表示不小于p的最小整数，例如：=4，=2.现对 72 进行如下操作：（1）对 36 只需进行_次操作后变为 2；（2）只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中，最大的是_.三、解答题（本题共 52 分）17.（本题 6 分，每小题 3 分）分解因式：（1）3225a ba b；（2）231212aa.解：解：18.（本题 6 分）化简并求值：222142442aaaaaaaa，其中1a .19.（本题 6 分）解方程：2217111xxx.解：20.（本题 6 分）小华在学习二次根式时
7、遇到如下计算题，他是这样做的：请你先把他在第一步中出现的其它错误圈画出（不必改正），再完成此题的解答过程.解：21.（本题 6 分）如图，PAO和PBQ是等边三角形，连接AB，OQ.求证：AB=OQ.证明：22.（本题 6 分）阅读下列材料：小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：小铭：“我知道一般当mn时，2mn2mn.可是我见到有这样一个神奇的等式：2()ababb=2()ababb（其中a，b为任意实数，且b0）.你相信它成立吗”小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看.”完成下列任务：（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并
8、验证它们是否成立（在相应方框内打勾）；当a=，b=时，等式 （成立；不成立）；当a=，b=时，等式 （成立；不成立）.（2）对于任意实数a，b（b0），通过计算说明2()ababb=2()ababb是否成立.解：23.（本题 5 分）阅读下列材料：为了了解学校初二年级学生的阅读情况，小廉所在实践小组的同学们设计了相应的调查问卷，他们共发放问卷 300 张，收回有效问卷 290 张，并利用统计表整理了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们的调查问卷中，有关“阅读载体的选择”和“阅读过书的类型”两个问题的统计情况如下表所示.表 1：您的最主要阅读载体（限选一种）A.手机 B.电脑 C.电子书 D.纸
9、质书 E.其他 45 30 75 130 10 表 2：您阅读过书的类型（可多选）A.历史传记类 B.社会哲学类 C.科普科技类 D.文学名著类 236 35 185 290 E.报刊杂志类 F.网络小说类 G.漫画类 H.其他 216 85 196 160 根据以上材料解答下列问题：（1）根据表 1 中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述；（2）通过表 2 中统计出的数据你能得到哪些结论请你说出其中的一条即可.解：（1）（2）24.先阅读以下材料，再从、两题中任选一题作答（若两题都做以第一题为准）.题 5 分（此时卷面满分100 分），题 7 分（卷面总分不超过 100 分）.请先
10、在以下相应方框内打勾，再解答相应题目.解决下列两个问题：（1）如图 2，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直且平分 BC，点P在直线EF上，直接写出PA+PB的最小值，回答 PA+PB取最小值时点P的位置并在图中标出；解：PA+PB的最小值为 ，PA+PB取最小值时点P的 位置是 ；（2）如图 3，点M，N分别在直线AB两侧，在直线AB上找一点P，使得MPBNPB.要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤.（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明）解：确定点P位置的简要步骤：.借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：已知三条线段h，m，c，求作ABC，使其BC边上的高AH=
11、h，中线AD=m，AB=c.（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（4 分）解：（2）完成尺规作图（不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可）.（3 分）草图（目标示意图）区 作图区 25.（本题 6 分）在等边ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图 1）.（1）求证：BAD=EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM.依题意将图 2 补全；小姚通过观察、实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM.小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1 要证明DA=AM，
12、只需证ADM是等边三角形；想法 2：连接CM，只需证明ABDACM即可.请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM（一种方法即可）.（1）证明：（2）补全图形.证明：图 1 图 2 北京市西城区第一学期期末试卷 八 年 级 数 学 附 加 题 试卷满分：20 分 一、填空题（本题 8 分）1.将一组数3，6，3，2 3，15，87，3 10 按下面的方式进行排列：3,6,3,2 3,15,3 2,21,2 6,3 3,30,按这样的方式进行下去，将15所在的位置记为(1,5)，2 6所在的位置记为(2,3)，那么（1）30所在的位置应记为 ；（2）在(4,1)的位置上的数是 ，6 2所在的位置
13、应记为 ；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为 .二、操作题（本题 4 分）2.条件：图和图是由边长都为 1 个单位长度的小正方形组成的网格，其中有三个图形：组块 A，组块 B 和组块 C.任务：在图的正方形网格中，用这三个组块拼出一个轴对称图形（组块 C 的位置已经画好），要求组块的所有顶点都在格点上，并且 3 个组块中，每两个组块要有公共的顶点或边.请画出组块 A 和组块B 的位置（用阴影部分表示，并标注字母）说明：只画一种即可，组块 A，组块 B 可在网格中平移，翻折或旋转.三、解答题（本题 8 分）3.在平面直角坐标系Oy中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,)b，将线段
14、BA绕点B顺时针旋转 90得到线段BC，连接AC.（1）当点B在y轴的正半轴上时，在图 1 中画出ABC并求点C的坐标（用含b的式子表示）；（2）画图探究：当点B在y轴上运动且满足2b5 时，相应的点C的运动路径形成什么图形.在图 2 中画出该图形；描述该图形的特征；利用图 3 简要证明以上结论.解：（1）（2）画图.该图形的特征是 .简要证明过程：图 1 图 2 图 3 北京市西城区第一学期期末试卷 八年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B D C A B C A 二、填空题（本题共 18
15、 分，每小题 3 分）11.1.12.3.13.(5,1).14.200(1)v.15.（1）见图 1（涂色 1 分，画对称轴 1 分）；（2）3（1 分）.16.（1）3（2 分）；（2）256（1 分）.三、解答题（本题共 52 分）17.（本题 6 分，每小题 3 分）解：（1）32225(5)a ba ba b ab；3 分（2）231212aa 23(44)aa 4 分 23(2)a.6 分 18.（本题 6 分）解：222142442aaaaaaaa 2212=(2)(2)4aaaa aaa 21=(4)(2)(4)aaa aaa 3 分(2)(2)(1)=(2)(4)aaa aa
16、 aa 4=(2)(4)aa aa 4 分 21=2aa.5 分 当1a 时，221112(1)2(1)aa .6 分 图 1 19.（本题 6 分）解：方程两边同乘(1)(1)xx，得 2(1)(1)7xx.2 分 去括号，得 2217xx .3 分 移项，合并，得 36x.4 分 系数化 1，得 2x.5 分 经检验，2x 是原方程的根.6 分 所以原方程的解为2x.20.（本题 6 分）2 分 解：原式=229+(2 3)22 3224 4 分 =3124 622 5 分 =1154 62.6 分 21.（本题 6 分）证明：如图 2.PAO和PBQ是等边三角形，PA=PO，PB=PQ，
17、OPA=60，QPB=60.OPA=QPB.33OPAQPB .1=2.1 分 在PAB和POQ中，,12,PAPOPBPQ 4 分 PABPOQ.5 分 AB=OQ.6 分 22.（本题 6 分）（1）例如：当a=2，b=3 时，等式222121()()3333成立；1 分 图 2 当a=3，b=5 时，等式223232()()5555成立.2 分（2）解：22222222()()abaabaab baaabbbbbbbb，3 分 22222222()abaababaaabbbbbbb.5 分 所以等式2()ababb=2()ababb成立.6 分 23.（本题 5 分）解：（1）例如：（画
18、出一种即可）4 分（2）结论略.5 分 （本题 5 分）解：（1）4（1 分），直线EF与AC边的交点（1 分），标图 1 分（图略）.3 分 （2）先画点M关于直线AB的对称点M，射线NM 与直线AB的交点即为点P.（见图 3）5 分 注：画图 1 分，回答 1 分.（本题 7 分）（1）解：草图如图 4.1 分 先由长为h，m的两条线段作 RtADH，再由线段c作边AB确定点B，再倍长 BD确定点C.4 分（2）如图 5.7 分 注：其他正确图形及作法相应给分.25.（本题 6 分）图 3（1）证明：如图 6.ABC是等边三角形，260BACB .AD=DE，1E.1BADBAC，2EDC
19、E，BAD=EDC.2 分（2）补全图形.（见图 7）3 分 法 1：证明：如图 7.由（1）已得34.点E与点M关于直线BC对称，可得 45，DE=DM.DE=DA，35，DA=DM.ADC是ABD的外角，3603ADCB .又 5ADCADM，60ADM.ADM是等边三角形.DA=AM.6 分 法 2：证明：如图 8，在AB边上截取BF=BD，连接CM，DF.可得BDF是等边三角形，120AFDDCE.DA=DE，34 ADFDEC.DF=EC.点E与点M关于直线BC对称，可得45，CE=CM，120DCMDCE.BD=DF=EC=MC，60ACM.BACM.ABC是等边三角形，ABAC.
20、ABDACM.DA=AM.6 分 图 7 图 8 北京市西城区第一学期期末试卷 八年级数学附加题参考答案及评分标准 一、填空题（本题 8 分）1.解：（1）(2,5).2 分（2）4 3，(5,4).6 分（3）(6,2).8 分 二、操作题（本题 4 分）2.解：如图所示，任画一种即可.4 分 三、解答题（本题 8 分）3.解：（1）如图 1，作CDy轴于点D.由题意可得AB=BC，90ABC，90DBCOBA.90AOBBDC，90OABOBA.OABDBC.OABDBC.2 分 OB=DC，OA=DB.3 分 点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,)b，点B在y轴的正半轴上，4OA，
21、OBb.4ODOBBDb，CDOBb.4 分 由题意知点C在第二象限，点C的坐标为(,+4)b b.5 分（2）画图见图 2.6 分 线段13C C，其中1C，3C两点的坐标分别为1(2,2)C，3(5,9)C，线段13C C所 在直线与y轴所夹的锐角为 45.7 分 简要证明过程：如图 3，设点G的坐标为(0,4)G，点H的坐标为(4,0)H，可 得OGH=45.任取满足题意的点(0,)Bb（其中2b5），作出相应的线段BC和线段AC，作CDy轴于点D.图 1 由点(0,4)G可得4OGOA.同（1）可得OB=CD，AO=BD.所以 CDOBODBDODOAODOGDG.由CDy轴于点D可得DGC=45.所以无论点B在y轴上如何运动，相应的点C在运动时总落在直线GH上.而点B在y轴上运动满足2b5 时，此时点 C 运动的路径是这条直线上的一部分，是线段13C C（见图 2），其中与点1(0,2)B对应的端点为1(2,2)C；与点3(0,5)B对应的端点为3(5,9)C.8 分 图 2 图 3