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1、2019-2020 学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符 合题意的.1 9 的算术平方根是（）A 3 B 3 C 3 D 812下列图形中，不是轴对称图形的是（）A B C D 3用直角三角板，作 ABC的高，下列作法正确的是（）A B C D 4下列各式中，正确的是（）A B C D 5如图，ABC 中，AB=AC，BE 平分 ABC，CD 平分 ACB，则下图中共有几对全等 三角形（）A 2 B 3 C 4 D 56下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）A B C D 7一个不透明的盒子中装有 3
2、 个白球，5 个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区 别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A B C D 8 如图，在 Rt ABC 中，C=90，点 D 为 AB 边中点，DE AB，并与 AC 边交于点 E 如果 A=15，BC=1，那么 AC 等于（）A 2 B C D二、填空题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）9使 有意义的 x 的取值范围是 10 等腰三角形的两边长为 3，7，则其腰长为 11如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 12计算：=13如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件，使得AB
3、CDEC14 若分式 的值为 0，则 x=15如图，A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2A1M，且 A1A2=1，连接 A2M，再以 A2M 为一边，作 A2A3 A2M，且 A2A3=1，则 A1M=，照此规律操作下去 则 AnM=16 阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线 l 和直线 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQ l 于点 Q”小艾的作法如下：（1）在直线 l上任取点 A，以 A为圆心，AP长为半径画弧（2）在直线 l上任取点 B，以 B为圆心，BP长为半径画弧（3）两弧分别交于点P和点M（4）连接 PM，与直线
4、 l交于点 Q，直线 PQ即为所求老师表扬了小艾的作法是对的请回答：小艾这样作图的依据是 三、解答题（共 10个题，共 50分，每小题 5 分）17计算：（+2）18计算：（2017）0+|1|+19计算：20 已知：如图，B，A，E 在同一直线上，AC BD，AB=BD，ABC=D求证：AC=BE21计算：22解分式方程：=1 23已知：a2+3a 2=0，求代数 的值 24若，求 的值 25随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜欢利用手中的工具 画图了如图，作一个 AOB，以 O 为圆心任意长为半径画弧分别交 OA，OB 于点 C 和点 D，将一副三角板如图所示摆放，两个直
5、角三角板的直角顶点分别落在点 C和点 D，直角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点 P，连接 OP 小 鹏通过观察和推理，得出结论：OP平分 AOB 你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明 已知：AOB 中，=，求证：OP平分 AOB 26列方程解应用题：为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课小敏经过一段时间的训练，发现自 己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 字，现在读 9100 字的文章与原来 读 3500字的文章所用的时间相同求小敏原来每分钟阅读的字数 四、解答题（本题共 18 分，其中第 27 题 6 分，28 题
6、5 分，29 题 7 分）27边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C 均落在格点上（1）猜想 ABC的形状，并证明；（2）直接写出 ABC的面积=；（3）画出 ABC关于直线 l的轴对称图形 A1B1C128对于实数 a，我们规定：用符号 表示不大于 的最大整数，称 为 a 的 根整数，例如：，（1）仿照以上方法计算：=；=（2）若，写出满足题意的 x 的整数值 如果我们对 a 连续求根整数，直到结果为 1 为止例如：对 10 连续求根整数 2 次，这时候结果为 1（3）对 100连续求根整数，次之后结果为 1（4）只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是
7、29在 ABC 中，AB=AC，以 BC 为边作等边 BDC，连接 AD（1）如图 1，直接写出 ADB 的度数；（2）如图 2，作 ABM=60 在 BM 上截取 BE，使 BE=BA，连接 CE，判断 CE 与 AD 的数量关系，请补全图形，并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接 DE，AE若 DEC=60，DE=2，求 AE 的长2019-2020学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符 合题意的.1 9 的算术平方根是（）A 3 B 3 C 3 D 81【分析】如果一个非负数 x
8、 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，根据此定义即可 求出结果【解答】解：32=9，9算术平方根为 3 故选：B【点评】此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆 而导致错误 2下列图形中，不是轴对称图形的是（）A B C D【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称
9、的定义 3用直角三角板，作 ABC的高，下列作法正确的是（）A BC D【分析】根据高线的定义即可得出结论【解答】解：A、B、C 均不是高线 故选：D【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键 4下列各式中，正确的是（）A B C D【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题【解答】解：，故选项 A 错误，当 x 0 时，故选项 B 错误，故选项 C正确，不能化简，故选项 D 错误，故选：C【点评】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行 化简 5如图，ABC 中，AB=AC，BE 平分 ABC，CD 平分 ACB，
10、则下图中共有几对全等 三角形（）A 2 B 3 C 4 D 5【分析】首先证明 ACD ABE可得 AD=AE，DC=BE，根据等式的性质可得 AB AD=AC AE，即 BD=CE；再证明 EBC DCB，EOC DOB 即可【解答】解：ACD ABE，EBC DCB，EOC DOB，AB=AC，ACB=ABC，BE平分 ABC，CD平分 ACB，ACD=ABE，在 ADC 和 AEB 中，ACD ABE（ASA）；AD=AE，DC=BE，AB AD=AC AE，即 BD=CE，在 EBC和 DCB 中，EBC DCB（SSS），在 EOB 和 DOC 中，EOB DOC（AAS）故选：B【
11、点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）A B C D【分析】先把各选项中的二次根式化简，然后根据同类二次根式的定义进行判断【解答】解：=2，=2，=2，=3，所以 与 是同类二次根式 故选：B【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式 7一个不透明的盒子中装有 3 个白
12、球，5 个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区 别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A B C D【分析】先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数即可【解答】解：袋子中装有 3 个白球和 5 个红球，共有 8 个球，从中随机摸出一个球 是红球的可能结果有 5 种，从袋子中随机摸出一个球是红球的可能性，即概率是，故选：A【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相 同，其中事件 A出现 m种结果，那么事件 A的概率 P（A）=8 如图，在 Rt ABC 中，C=90，点 D 为 AB 边中点，DE AB，并与 AC 边交于点 E 如果
13、 A=15，BC=1，那么 AC 等于（）A 2 B C D【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AE=BE，根据等腰三角形的性质得到 ABE=A=15，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：点D为AB边中点，DEAB，DE 垂直平分 AB，AE=BE，ABE=A=15，BEC=A+ABE=30，C=90，BE=AE=2BC=2，CE=BC=，AC=AE+CE=2+，故选：C【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键 二、填空题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）9使 有意义的 x的取值范围是 x 1【
14、分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的取值范围即 可【解答】解：有意义，x 1 0，解得 x 1 故答案为：x 1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数 是解答此题的关键 10等腰三角形的两边长为 3，7，则其腰长为 7【分析】分两种情况：腰是 7时，腰是 3时，根据三角形的三边关系定理判断能 否组成三角形后，即可求出答案【解答】解：当腰是 7 时，三边是 7、7、3，腰是 7；当腰是 3 时，三边是 7、3、3，但 3+3 7，根据三角形三边关系定理不能组成三角形故答案为：7【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的三
15、边关系定理等知识点的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键11如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为【分析】由小正方形的边长可求出小正方形的面积，因为剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为 2，进而求出大正方形的边长【解答】解：两个正方形的边长都是 1，两个小正方形的面积都为 1，剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为 2，此大正方形的边长为，故答案为：【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握剪拼成一个大正方形后面积等 于两个小正方形的面积和 12计算：=【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果【解答】解
16、：原式=故答案为：【点评】此题考查了分式的乘方，熟练掌握乘方法则是解本题的关键 13 如图，线段 AE，BD 交于点 C，AB=DE，请你添加一个条件 A=E（或 B=D），使得 ABC DEC【分析】依据AB=DE，ACB=ECD，可得当A=E（或B=D）时，ABCDEC【解答】解：AB=DE，ACB=ECD，当 A=E（或 B=D）时，依据 AAS 可得，ABC DEC故答案为：A=E（或B=D）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等14 若分式 的值为 0，则 x=2【分析】根据分式的值为 0 的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的值
17、即可【解答】解：分式 的值为 0，解得 x=2 故答案为：2【点评】本题考查的是分式的值为 0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且 分母不等于零是解答此题的关键 15如图，A1OM 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 A1M 为一边，作 A1A2 A1M，且 A1A2=1，连接 A2M，再以 A2M 为一边，作 A2A3 A2M，且 A2A3=1，则 A1M=，照此规律操作下去 则 AnM=【分析】根据勾股定理，探究规律，利用规律即可解决问题【解答】解：根据勾股定理可得：A1M=，A2M=，A3M=，A4M=，AnM=故答案为；【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、规律型图形变化类问题，
18、解题的关键是学 会从特殊到一般的探究方法，学会探究规律、利用规律解决问题 16阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线 l 和直线 l 外一点 P，用直尺 和圆规作直线 PQ，使 PQ l 于点 Q”小艾的作法如下：（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧（2）在直线 l上任取点 B，以 B为圆心，BP长为半径画弧（3）两弧分别交于点 P 和点 M（4）连接 PM，与直线 l 交于点 Q，直线 PQ 即为所求 老师表扬了小艾的作法是对的 请回答：小艾这样作图的依据是 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或 两点确定一条直线或 sss 或全等三角形对
19、应角相等或等腰三角形的三线合一【分析】根据SSS可以证明ABPABM，利用等腰三角形的三线合一即可判断（理由不唯一）【解答】解：AP=AM，BP=BM，AB=AB，ABP ABM，BAP=BAM，AP=AM，AQ PM 故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题用到的知识点比较多，答案不唯一三、解答题（共 10 个题，共 50 分，每小题 5 分）17计算：（+2）【
20、分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可【解答】解：原式=222=2【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18 计算：（2017）0+|1|+【分析】直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式=3 1+1+3=4+1【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键19计算：【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式=【点评】本题考查分式的运算
21、法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型20 已知：如图，B，A，E 在同一直线上，AC BD，AB=BD，ABC=D求证：AC=BE【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可【解答】证明：AC BDBAC=DBE，在 ABC 和 BDE 中，ABC BDE（ASA）AC=BE【点评】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 21计算：【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可【解答】解：原式=5 2+3 2+1=7 2【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可
22、在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍22解分式方程：=1【分析】根据解分式方程的步骤解出方程【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x 2），得，x（x+2）1=（x+2）（x2）整理得，x2+2x 1=x2 4，解得，经检验：是原方程的根，原方程的根是【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论23已知：a2+3a2=0，求代数 的值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由题意得出a2+3a=2，代入即可得【解答】解：原式=；a2+3a 2=0，a2+3a=2，原式=
23、【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则24若，求 的值【分析】变形已知为 a+b=n 的形式，然后整体代入得结果【解答】解：=3，即b+a=3ab因为=【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入25随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜欢利用手中的工具画图了如图，作一个 AOB，以 O 为圆心任意长为半径画弧分别交 OA，OB 于点C 和点 D，将一副三角板如图所示摆放，两个直角三角板的直角顶点分别落在点 C和点 D，直角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点 P，连接 OP 小鹏通过观察和推理，得出
24、结论：OP平分 AOB你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明已知：AOB 中，OC=OD，PC OA，PD OB 求证：OP平分 AOB【分析】由尺规作图和直角三角板的摆放可补全已知部分，再根据直角三角形的判定 求解可得【解答】解：已知：AOB 中，OC=OD，PC OA，PD OB 求证：OP平分 AOB 证明：PC OA，PD OB，PCO=PDO=90，在 Rt PCO和 Rt PDO中，Rt PCO Rt PDO（HL），COP=POD，OP 平分 AOB 故答案为：OC，OD，PC，OA，PD，OB【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键
25、是掌握尺规作图和全等三 角形的判定与性质 26列方程解应用题：为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课小敏经过一段时间的训练，发现自 己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 字，现在读 9100 字的文章与原来 读 3500 字的文章所用的时间相同求小敏原来每分钟阅读的字数【分析】设小敏原来每分钟阅读的字数是 x字，根据现在读 9100字的文章与原来读 3500字的文章所用的时间相同，可列方程求解【解答】解：设小敏原来每分钟阅读的字数是 x 字，可得：=，解得：x=500，经检验，是原方程的解，且符合题意 答：小敏原来每分钟阅读 500个字【点评】本题考查分式方程的应用，关键根
26、据现在读 9100 字的文章与原来读 3500 字 的文章所用的时间相同以时间做为等量关系列方程求解 四、解答题（本题共 18 分，其中第 27 题 6 分，28 题 5 分，29 题 7 分）27边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C 均落在格点上（1）猜想 ABC的形状 等腰直角三角形，并证明；（2）直接写出 ABC 的面积=5；（3）画出 ABC关于直线 l 的轴对称图形 A1B1C1【分析】（1）根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定即可得；（2）利用直角三角形的面积公式可得；（3）分别作出点 A、B、C 关于直线 l 的对称点，再顺次连接可得【解答】解：（1）等腰直角三角形，由图
27、可求：AB=，AC=，BC=，AB2+AC2=BC2，ABC是直角三角形，AB=BC，ABC 是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）ABC 的面积=AB?AC=5，故答案为：5；（3）如图所示，A1B1C1即为所求；【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理、等腰三角形的判定及轴对称的定义和性质 28对于实数 a，我们规定：用符号 表示不大于 的最大整数，称 为 a的 根整数，例如：，（1）仿照以上方法计算：=2；=5（2）若，写出满足题意的 x 的整数值 1，2，3 如果我们对 a连续求根整数，直到结果为 1为止例如：对 10连续求根整数 2次，这时候
28、结果为 1（3）对 100 连续求根整数，3 次之后结果为 1（4）只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是 255【分析】（1）先估算 和 的大小，再由并新定义可得结果；（2）根据定义可知 x 4，可得满足题意的 x 的整数值；（3）根据定义对 100 进行连续求根整数，可得 3 次之后结果为 1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案【解答】解：（1）22=4，52=25，62=36，5 6，=2=2，=5，故答案为：2，5；（2）12=1，22=4，且，x=1，2，3，故答案为：1，2，3；（3）第一次：=1
29、0，第二次：=3，第三次：=1，故答案为：3；（4）最大的正整数是 255，理由是：=15，=3，=1，对 255 只需进行 3 次操作后变为 1，=16，=4，=2，=1，对 256只需进行 4次操作后变为 1，只需进行 3次操作后变为 1的所有正整数中，最大的是 255，故答案为：255【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力 29在 ABC中，AB=AC，以 BC为边作等边 BDC，连接 AD（1）如图 1，直接写出 ADB 的度数 150；（2）如图 2，作 ABM=60 在 BM上截取 BE，使 BE=BA，连接
30、 CE，判断 CE与 AD的数 量关系，请补全图形，并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接 DE，AE若 DEC=60，DE=2，求 AE的长【分析】（1）只要证明 ADB ADC，可得 ADB=ADC，由此即可解决问题；（2）结论：CE=AD 只要证明 ABD EBC即可解决问题；（3）只要证明 BDE 是直角三角形，ABE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，BDC 是等边三角形，BD=DC，BDC=60，在 ADB 和 ADC 中，ADB ADC，ADB=ADC，ADB+ADC=360 60，ADB=150，故答案为 150（2）结论：CE=AD 理由：ABE=DBC=60 ABE DBM=DBC DBM 1=2，AB=BE，BD=DC ABD EBC CE=AD（3）解：ABD EBC BCE=BDA=150 DCE=90，DEC=60 CDE=30 DE=2 CE=1，DC=BC=，BDE=60+30=90 DE=2，BD=由勾股 BE=，ABE=60 AB=BE ABE是等边三角形 AE=BE=【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由 数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题