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1、.-可修编-目 录 引言(1)一 极限运算中变量替换的应用(1)(一)对于 00(或)型极限(2)(二)对于型极限(2)(三)隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xynlim的求法(3)(四)求数列的极限(4)二 不定积分运算中常用的变量替换(6)(一)三角函数代换(6)(二)倒数代换(7)(三)指数代换(8)(四)不定积分dxyf)(的计算，其中y是由方程0),(yxF所确定的x的函数(8)三 定积分运算中常用的变量替换(9)(一)被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法(9)(二)被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算(10)(三)由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限
2、次复合而成的被积函数定积分的计算。(11)(四)定积分等式的证明中所作的变量替换(12)四 解微分方程中变量替换的应用技巧(14)(一)在求解可分离变量方程中变量替换的应用(14)(二)求解齐次方程 中变量替换的应用(15).-可修编-(三)求解一阶线性方程中变量替换的应用(15)五 重积分中变量替换的应用(16)(一)二重积分计算中的变量替换(16)(二)利用直角坐标系计算(18)(三)利用柱面坐标系计算(19)(四)利用球面坐标系计算(19)结束语(19)参考文献(20)高等数学中常见的变量替换 鲁友栋（数学系 中国）摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可以培养学生
3、利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“00”型，“”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。关键词 变量替换 积分 极限 引言 在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，
4、此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为.-可修编-未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。一极限运算中变量替换的应用(一)对于00（或）型极限 若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑
5、用变量替换求解，常作的替换是令,.)2,1(,1kxtk 例 1，求下列极限：（1）100102limxexx （2）dtexexxtxx10102211arctanlim 解：（1）直接用洛必达法则，得 原式102109931022lim5011002limxexxexxxx 此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！考虑变量替换21xu，得 原式0!50lim.50limlim4950uuuuuueeueu；（2）解：令xu1，得.-可修编-原式uutuuuutuuutuuuedteueuedteueudteueu0020222222222lim211limarctanlim 2)1(2)21
6、(2lim242lim22222222222uuuuuuuuxeueueueeeue.(二)对于型极限 此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于最快的项）。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。1 例 1，求)11ln(lim2xxxx 解：令xu1得 原式uuuuuuuuuuu2111lim)1ln(lim)1ln(11lim02020 21)1(21lim)1(2lim00uuuuuu.例 2：求)(lim656656xxxxx 解：令xu1得 原式31661)1(61)1(61lim11lim65650660u
7、uuuuxu.(三)隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xyxlim的求法。解题方法：将隐函数0),(yxF化为参数式)()(tyytxx 将xyxlim化为)()(lim0txtytt的形式，0t可由观察法得出。2 例：设有方程)0(0333aaxyyx，求(1)曲线的渐近线方程(2)求出与渐近线平行的切线。.-可修编-解：令txy，则taxtxx23333，进而3231313tatytatx(1)1lim3113limlim13321tatttatxyAttx attttattattatAxxfBttx)1)(1()1(3lim)1313(lim)(lim213321 故斜渐近线为：a
8、xBAxy，即0ayx(2)方程0333axyyx的斜率为：22yaxayxy 而渐近线的斜率：1 y，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相等，即122yaxayx，即)()(yxaxyxy，解得xy 或axy，将axy代入方程得0a(矛盾)，所以xy。将其代入0333axyyx，得切点)23,23(),0,0(aa.故所求的切线方程：)0)(1(0 xy，即0 yx.或者)23)(1(23axay，即03 ayx.(四)求数列的极限 解题方法：先作出与数列同类形的连续变量x的函数;再求该函数当x时的极限，该极限即为数列的极限。例 1 求下列数列的极限：(1)nnnab)11(lim，其中0,
9、0ba;(2)1(limnnan，0a.解：(1)显然1b时，原极限为 1.-可修编-当1b时，先求xxxab)11(lim1。由于22111111)1(lnlim11lim11lim)1(limxxbbaxbaxababxxxxxxxxx,则aabxxxbeab1ln1)11(lim，故annnbab1)11(lim.(2)先求)1(lim1xxax.axxaaxaaxxxxxxxln)1(lnlim1lim)1(lim221111.故aannnln)1(lim.例 2：设数列 nx由下式给出：),2,1(,21211nxxxxnnn.试求)111111(lim21nnxxx.解：易知 nx
10、为正项数列，所以由nnnnnnxxxxxx)1(21 知 nx递增，于是0211 xxn且nx1递减，nx1有下界 0，从而知nx1有极限.从)1(1nnnxxx知 1111211111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx 于是,有11111121nnxxxS)11()11()11(13221nnxxxxxx.-可修编-1111211nnxxx 设Axnn1lim，由式变形为111111nnnnxxxx，两边取n时的极限有001AAAAA 所以由式得2)12(limlim1nnnnxS 例 3：设)(21),(xyfxyxF，52),1(2yyyF，任选00 x，作)2,(001x
11、xFx)2,(112xxFx),2,(223xxFx,)2,(1nnnxxFx，,证明：nnxlim存在并求值。解：)1(2152),1(2yfyyyF，令uy1，则9)(2 uuf 所以9)(21),(2xyxyxF.故)9(21)2,(00001xxxxFx,)9(21)2,(11112xxxxFx,)9(21)2,(1nnnnnxxxxFx,由题设条件，显见0,nxNn且39)9(211nnnxxx 又1)991(21)91(2121nnnxxx，所以数列 nx单调减少有下界，因而该.-可修编-数列必收敛，记Axnnlim，在(1)式中令n，得)9(21AAA，解得3A，取其正值便得3l
12、imnnx.二 不定积分运算中常用的变量替换(一)三角函数代换 在被积函数中含有222222,axxaxa分别作变量代换：taxtaxtaxsec,tan,sin，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变量还原。(1)dxxaxI221 (2)dxxxaI422 (3)dxxaxI22 解：(1)令taxtan;则tdtatdtadttatataIcsc1sin1cossectan12 cxaxaxactta22ln1cotcscln1(2)令taxsin，则 cxxaactattdatdtatataI3222322244)(31cot311)(cotcot1cossincos(3)令taxse
13、c则 cxaaaxcattadttatdtatdttatataIarccostan)1(sectantansecsectan2222(二)倒数代换 一般令tx1.适用于1 qp的情形，其中qp,分别为被积函数的分母和分子关于x的最高次数。例：(1)24xxdxI;(2)1(24xxdxI;(3)1002)2(32xxxI.-可修编-解：(1)令tx1，得 1)2()2(211)2()1(142222ttdtdtdttttI cxxctt142ln211)2(2ln2122.(2)令tx1，得 dtttdtttdttttI)111(1)1(112224224 cxxxcttt1arctan131
14、)arctan31(33.(3)令tx12，得 dttttdtttttI)32()1(3)12(2)12(98969722100 cxxxcttt989799999798)2(491)2(971)2(331339749.(三)指数代换 当被积函数是由xa所构成的代数式的积分时，一般采用指数代换即令xat 来求解。例：求下列积分(1)43931xxxdxI (2)dxeeIxx21 解：(1)令tx3，则3lnlntx 有，dttttdttttdxIxxx)1141(513ln13ln1434)3(3)3(322 ccttxx|13|ln|43|ln3ln15|1|ln|4|ln3ln15;.-
15、可修编-(2)令tex2，则txln2，有 dttttdttttI)1111(22122 cexectttxx)1ln(22)1ln(ln1 222.(四)不定积分dxyf)(的计算，其中y是由方程),(yxF=0所确定的x的函数。解题方法：将方程0),(yxF，代为参数方程)()(tytx 将参数方程代入dxyfI)(，即dtttfdxyfI)()()(.变量还原将积分结果化为yx,的关系式.例：求下列积分(1)设xyxy2)(，求dxyx31，(2)设33)(xyxy，求3ydx.解(1)令tyx，则txy代入xyxy2)(，得 dttttdxttyttx2222223)1()3(,1,1
16、 于是：dtttdttttttttdxyx1)1()3(13113122222223 cyxct|1)(|ln21|1|ln2122;(2)令txy，代入方程中，得333)(xtxxxt,则有 dttttdxttyttx2423)1(34,)1(1,)1(1.于是dttttdttttttydx)473()1()34()1(43224363.-可修编-cxyxyxycttt)5447()5447(554433543.三 定积分运算中常用的变量替换(一)被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法，解题方法：作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式)(uf，其中u为中间变量，此时积分变为变上限
17、(下限)积分；利用变上限(下限)积分的微分法求解。例 1：设)(xf为(-，+)上的连续函数，且,cos)()(tdttxfxgba求)(xg.解：令txu则 xbxaxbxaduxuxuufduxuufxg)sinsincos)(cos()cos()()(xbxaxbxauduufxuduufxsin)(sincos)(cos,而xbxaxaxafxbxbfxuduufxxg)cos()()cos()(coscos)(sin)(xbxaxaxafxbxbfxuduufx)sin()()sin()(sinsin)(cos axafbxbftdttxfaxafbxbfduxuufaxafbxbf
18、duxuxuufbaxbxaxbxacos)(cos)(sin)(cos)(cos)()sin()(cos)(cos)()sincoscos)(sin(例 2：求下列函数的导数(1)10)()(22dttefexFxx，求)(xF，(2)dttxxfxFxsin0)()(，求)(xF，解：(1)令10)()(2dttefxfx，令2xteu有 2201)()(xexdueufxf，则.-可修编-222010)()()(xexxduufdttefexF.于是)(2)2()()()(222220 xxxxxeefxexeefduufdxxdFx.(2)xxdttxfxdttxxfxFsin0sin
19、0,)()()(令txu，则 xxxxxxxduufduufdttxfsin0sinsin,)()()(则xxxduufxxFsin)()(于是xxxxxxxxxxfxfxduufduufxxFsinsin)cos1()sin()()()()(xxxduufxxfxxxxfsin)()sin()cos1()(.(二)被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算 解题方法：作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式)(uf，其中u为中间变量 然后再积分或作判断 例 1：设)(xf连续，证明000)(ln)()1(ln)(lndttfdttftfdttxfx 证明：100110)()(ln)(l
20、n)(ln)(lnxxxxduufduufduufduufutxdttxf令 xxdttfdttfdttf0011)1(ln)(ln)(ln 1100)1(ln)1(ln1)(lnxxxdttfduufutdttf,将式代入式，得 0000)1(ln)(ln)(ln)(lnxxdttfdttfdttfdttxf 00)(ln)()1(lndttfdttftfx 即证。.-可修编-例 2：设0,10,)(2xxxexfx求20)1(dxxf.解：11011021120)1()()(1)1(dxedxxdxxfduufxudxxfx eeexxx137)1(340110)31(13.(三)由三角有
21、理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。解题分法：若积分限为 2,0时,则令x,0时，则令xu 2,0时，则令x24,0时，则令xu4 例 1：求下列积分(1)40sin12sin1dxxxI (2)20cossin1sincosdxxxxxI 解：(1)令xu4则 0440224022404041|)(tancoscos1cos2sin22cos12cos1)()4(2sin1)4(2sin1xxdxxxdxxxduuuduuuI(2)令xu2，得 202002cossin1sincoscossin1cossin)()2cos()2sin(1)2sin()2co
22、s(IdxxxxxduuuuuduuuuuI故0I，即200cossin1sincosdxxxxx 例 2证明：2020sin2cossinxdxxdxxnnnn，n为正整数。.-可修编-证明：202220)2(cos2222sin2cossinduuxuxdxxdxxnnnnnn令 222002)(2(cos22cos2cos212dttutuduudunnnnnn 2020sin2sin2xdxtdtnnnn(四)定积分等式的证明中所作的变量替换。解题方法：任何变量替换，主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为)(xf，另一端为)(uf，
23、则令)(ux。若一端为)(xf，另一端为)(uf则所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定。1 例 1证明xxtxtxtdteedte0044222 分析：xxuxxtxtxtduedtedte0040422222 比较2txte与422uxe，可知，应令)(41222uxtxt，则0)(4422uxxtt，进而2uxt或2uxt 证明：xxuxxxuxuxxxtxtduedueuxtdte4)2()2(0222221)2(2令 dteedtextxxtx0404442222.例 2设)(xf连续，试证4242)3()9()3()3()9()9(dxxfxfxfdxxfxfxf；并求42
24、)3()9()9(dxxfxfxf的值。分析：duufufufdxxfxfxf4242)3()9()3()3()9()9(.-可修编-比较两边的被积函数)3()9()3(,)3()9()9(ufufufxfxfxf,可知只要ux39，即xu 6命题即可得证。证明：dxxfxfxfduufufufxudxxfxfxf244242)9()3()3()()9()3()3(6)3()9()9(令利用上式可得)3()9()3()3()9()9(21)3()9()9(424242dxxfxfxfdxxfxfxfdxxfxfxf 421221121dx.四 解微分方程中变量替换的应用技巧(一)在求解可分离变
25、量方程中变量替换的应用 解题方法：方程中出现)(),(),(),(22xyfyxfyxfxyf等形式的项时，通常要使用相应的变量替换：.,22xyyxyxxyu等。3 例 1：求解下列微分方程(1)xyxyyxy)sin(12 (2)xyyxyy2tan212(3)0 1)ln(xyyxy (4)222)(21xyxxyy 解：(1)令dxdyxydxduxyu,，代入方程得 uudxdusin1，即,sindxuduu则cxuuusincos 故原方程的通解为：cxxyxyxy)cos()sin(,(2)令dxduxudxdyyuxyxyu2,22，代入方程，得 uudxduxutan，即x
26、dxudu cot，则,lnlnsinlncxu.-可修编-即cxu sin 故原方程的通解：cxxy2sin,(3)令dxdyxydxduxyu,，代入方程，得 0lnyuyydxdu，即uxudxduln，亦即xdxuuduln，进而,lnlnlnlncxu则cxu ln，即cxeu 故原方程的通解：cxexy,(4)令dxdyyxdxduyxu22,22，代入原方程，得2)(xudxdu 即22xdxudu，解得cxu11，即cxu11.故原方程的通解：cxyx1122.(二)求解齐次方程)(xyy中变量替换的应用 解题方法：令,xuuyuxyuxy代入原方程，得)(uxuu，则cxuu
27、duln)(例：求解下列微分方程(1)xxyyxyarctan)(；(2)22yxyxy.解：(1)由原方程得xyarctgxyy1 令,xuuyuxyxyu，代入方程，得 uuxuuarctan1 所以xdxudu arctan，即xdxuarctan，解得：cxuuulnln)1ln(21arctan2.-可修编-即uueucxarctan21，因此xyxyecyxarctan22(2)2)(1xyxyy，令,xuuyuxyxyu代入原方程，得 21uuxuu，所以xdxudu21，解得cxu lnarcsin，即cxxy lnarcsin(三)求解一阶线性方程中变量替换的应用 例：求解下
28、列方程(1)yyxytancos，(2)02)1(322xyyyx 解：(1)由,cossincosyyyxy知yxyysincos，即yxysin)(sin，令uy sin，则原方程变为xuu 特征方程：01 即1，特解1)1(11*xxDxDu 于是方程的通解为：1xceux，故原方程的通解为1sinxceyx(2)令2)(xyu，于是xyyu2)(，原方程变为 3221)(yyxyyu 即32)(1)(yyuyyu，则31)(1)(yyuyyu 则方程的齐次方程：0)(1)(yuyyu.则 ydyudu，解得cyulnlnln，即ycu.-可修编-令方程的解为yycu)(，将其代入，并整
29、理得 231)(1)(yycyyyc解得cyyc1)(故方程的通解为：ycyycyu11)1(2 故原方程的通解为：122ycyx.五 重积分中变量替换的应用(一)二重积分计算中的变量替换 设被积函数),(yxf在区域D上连续，若变换),(),(vuyyvuxx，满足如下条件(1)将 uov 平面上的区域*D上的点一对一地变为D上的点；(2),(),(vuyvux在*D上有连续的一阶编导数，且雅可比行列式 0,),(),(vyuyvxuxvuyxJ 则dudvJvuyvuxfdxdyyxfDD|),(),(),(*同样，作什么变换主要取决于积分域 D 的形状，有时也兼顾被积函数),(yxf的形
30、状，基本想法是定限简便，求积容易。例 1：计算dxdyxyID，其中 D 是由曲线6)32(4xyyx在第一象限中所围成的区域。4 解：6)32(4xyyx是一个四次方程，要解出x(或y)相当难。因此不宜在直角坐标系中计算。为此，令22sin3,cos2yx则曲线方程变为.-可修编-2224cossin，即222cossin，又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是20 因而,cossin令0，得0，2 cossin12cossin6sin3sincos4cos2),(),(22yxJ 故156cossin612|cossin6220cossin022222ddddJIDx 例 2：设)
31、(tf为连续函数，证明：dttatfdxdyyxfaaD|)|()()(.其中 D 为矩形域，2|,2|ayax(常数0a)如图(1)，证明：令yxvyxu,，则 avuaavuaDDx,:如图(2)21),(),(1),(),(yxvuvuyxJ 故：dudvufdxdyyxfxDD21)()(x y a a-a-a 0(1)x y 0 2a 2a-2a(2).-可修编-0000)()()()(21)(21aaauaauuaauaduufduufuadvufdvduuf duufuaduufuaaa)(|)|()(|)|(00 dttatfaa|)|()(.(二)利用直角坐标系计算 例 1，
32、dxdydzxyI21，其中为1,1,12222yzxzxy之间。解：如图 Dxzyxdyxydxdzdxdydzxy11222211222211111121xxzxydydzdxx dzZxdxxxx21221111222 4528)313132(1124dxxx(三)利用柱面坐标系计算 例：,)(dvzyxI由222Zyx；hZ 0所围成形体 解：由于关于yoz坐标面，xoz坐标面均对称，故,0ydvxdv 于是hhphyxDzdzddzdzdxdyzdvIxy02022 403202241)(21)(2hdhdhhh(四)利用球面坐标系计算 例：dvzyxzyxzI1)1ln(22222
33、2，其中为1222zyx，解：ddrdrrrIsin1)1ln(cos222 drrrrdd102230201)1ln(cossin y x z x2+z2=1 o y=1.-可修编-因为00cossind,所以0I.结束语 以上我仅就五个领域，论述了由于运用变量替换而给解题带来的方便之处。虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题的相当部分，通过实践，我们可以清楚的看到在运算中由于运用了变量替换，不仅给解题带来了方便，更为我们提供了一种全新的思维方式。当然，变量替换应用的领域很广泛，不只有我以上提到的几种。譬如，利用残数定理计算实积分等领域中也用到了变量替换。因此，可以毫不夸的说变量替换
34、已经作为一种数学思想渗透在数学这门学科的每一个角落，它就如同一盏指航灯，为我们在数学海洋的遨游中指明了方向，使我们顺利到达成功的彼岸。因此，变量替换的作用不可忽视，变量替换应用的前景无可限量。它会为我们打开方便之门，成为数学知识宝库中一个瑰丽的奇葩，大放异彩！参考文献：1华东师大学数学系编.数学分析上册。高等教育，1991 年。2华东师大学数学系编.数学分析下册。高等教育，1991 年。3王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程。高等教育，1983 年。4文灯，黄先开.数学题型集粹与模拟试题集.理工类 2001 版。世界图书出版公司，2000 年。mon in higher mathemat
35、ics variable substitution Lu Youdong(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)AbstractVariable substitution is resolving the significant measure of higher mathematics problem.Thoroughly prehending the variable substitution may foster the capability that student utiliz
36、ed the different.-可修编-actual problem of agile handle of the information studyed.Hence being living in the higher mathematics,how to employ and masters the variable substitution is the key to resolve some issues;The how agile application variable substitution is a problem that merit valueing.The orig
37、inal detailedly introduced by means of several examples the mould,the sequence of number awaits variable substitution in some kinds of calculations the maximum application and circular function replace,reciprocal replace with the mould,and the index number replace awaits the variable substitution indefinite integral calculation in the application,and emphasizees to introduce the application that the definite integral being living operates the variable substitution in the solution differential equation KeywordsVariable substitution Integration The maximum