2022年高等数学中常见的变量替换.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 目 录引言 1 一 极限运算中变量替换的应用 1 一 对于 0 或 型极限 2 0二对于型极限 2 三 隐函数中不易或不行能化为显函数形式,极限 nlim x y 的求法 3 四 求数列的极限 4 二 不定积分运算中常用的变量替换 6 一 三角函数代换 6 二 倒数代换 7 三 指数代换 8 四 不定积分 f y dx 的运算,其中 y 是由方程 F x , y 0 所确定的 x 的函数 8 三 定积分运算中常用的变量替换 9 一 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法 9 二 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的运算 10 三 由三

2、角有理式与其他初等函数通过四就运算或有限次复合而成的名师归纳总结 被积函数定积分的运算； 11 第 1 页,共 22 页四 定积分等式的证明中所作的变量替换 12 四 解微分方程中变量替换的应用技巧 14 一 在求解可别离变量方程中变量替换的应用 14 二 求解齐次方程中变量替换的应用 15 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三 求解一阶线性方程中变量替换的应用 15 名师归纳总结 五 重积分中变量替换的应用 16 第 2 页,共 22 页一 二重积分运算中的变量替换 16 二 利用直角坐标系运算 18 三 利用柱面坐标系运算 19 四 利用球面坐标系

3、运算 19 终止语 19 参考文献 20 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学中常见的变量替换 鲁友栋摘要数学系辽宁 中国深化明白变量替换可以培育变量替换是解决高等数学问题的重要手段；同学利用所学的学问敏捷处理各种实际问题的才能；因此,在高等数学中,如何使 用和把握变量替换是解决某些问题的关键；如何敏捷的运用变量替换,是一个值得重视的问题；本文通过几个实例具体介绍了“0 ” 型,“0” 型,数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换,倒数代换,指数代换等在不定积分运 算中变量替换的应用,着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用；关

4、键词变量替换积分极限引言 在各种各样的数学运算中,相应的解题方法也有千千万万,而其中 有一种方法是变量替换；变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方 法而被广泛应用,更是一种常用的解题技巧；在许多运算中,往往我们 用许多方法都无法顺当求出结果,此时,我们不妨试用一下变量替换,它很可能会给我们带来意想不到的收成；因此,变量替换又可以称之为 在各种方法连连碰壁,走投无路的情形下,人们使出的“ 杀手锏”；作为 将来从事数学训练的工作者,如何正确使用变量替换这种方法是我们学 习和解决问题的关键；而娴熟把握变量替换的解题方法是我们在今后教 学中应力求到达的目标；以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积

5、分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中,由于正确使用了变量替 换而给解题带来的便利之处,来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和 解题技巧的重要性；一 极限运算中变量替换的应用3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一 对于0 或 0型极限假设用洛必达法就的结果比没用法就前仍复杂,就应考虑用变量替换求解,常作的替换是令t1, k,1 2 ,.xk例 1,求以下极限：1lim x 0e12lim x 0arctan12e1x2x2x10011 xdtxt ex0解：1直接用洛必达法就,得原式lim x 0121lim x

6、 01ex 23 x99 xex210050102 x此式比没用法就前仍复杂,可见此路不通！考虑变量替换u1,得2uet2 ueu2ueu2x2原式lim uu50lim u50u49.lim u50 .0；eueueu2解：令u1 ,得 x原式u limarctanu2eu2u lim1 u122ueu2u limuuut edtet2dtueu22dt000x limu eu 2 e224 u2u e22u lim2 12 u2u e2. 2u e2 u2u e2 1u2u e2二 对于型极限此种类型求极限一般采纳根式有理化或通分,再用洛必达法就求解,或用“ 抓大头” 求解；所谓“ 抓大头

7、” 就是取分子,分母中趋于最快的项；但是对于一些特别的例子,应用变量替换；1 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1,求lim xxx2ln 11x解：令u1 得 x11原式 lim u 0 1u u 12 ln 1 u lim u 0 u lnu 12 u lim u 0 2 uu 1lim u 0 2 u 1 uu lim u 0 2 1 1u 12 . 例 2：求 x lim 6x 6x 5 6x 6x 5 解：令 u 1 得x原式 lim 6 1 u 6 1 ulim 11 u 56 11 u 56

8、1 1 . u 0 u x 0 6 6 6 6 3三 隐函数中不易或不行能化为显函数形式,极限 xlim x y 的求法；解题方法： 将隐函数 F x , y 0 化为参数式 x x t y y t 将 xlim yx 化为 lim t t 0 yx tt 的形式,0t可由观看法得出；2 例：设有方程 x 3y 3 3 axy 0 a 0 ,求1 曲线的渐近线方程2求出与渐近线平行的切线；解：令ytx,就x3x3t33 ax2t,进而x3at011a1 3t at32y1t31 Alim xyt lim13at213t3lim t 1t1x1t3at3 at tBlim xfxAxlim t

9、12 3 at31 t3 att lim 1 11t3tt2t故斜渐近线为：yAxBxa,即xya5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 方程x3y33 axy0的斜率为：yx2ayaxy2而渐近线的斜率：y 1,由于切线与渐近线平行,所以它们斜率相等,即ax x 2 ayy 2 1,即 y x y x a x y ,解得 y x 或 y x a,将y x a 代入方程得 a 0 冲突,所以 y x；将其代入 x 3y 3 3 axy 0,得切点 ,0 0 , 3a , 3a . 2 2故所求的切线方程：y 0

10、1 x 0 ,即 x y 0 . 或者 y 3 a 1 x 3 a ,即 x y 3a 0 . 2 2四 求数列的极限解题方法： 先作出与数列同类形的连续变量 x 的函数 ; 再求该函数当 x 时的极限,该极限即为数列的极限；例 1 求以下数列的极限：1lim n1nb1n,其中a0 b0; 2lim nnna1,a0. a解：1明显b1时,原极限为 1 1当b1时,先求lim x 1bx1x；b111x lim11lnb21, a11bx1bx由于x limx bx1x lima 1 x1x limxx2axxa1a1lnb1nb1 nb. 就lim x 1bx1 xeaba,故lim n

11、1aaa11 . 2先求x limxax6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - x limx a11lim xa111x lima1lna21lna. xxx2xxx1故lim nnna1lna. xn1x2xnxnxn1 xn例 2：设数列xn由下式给出：x 11,xn12 x nxn,n,1 2 ,. 2试求lim nx111x211xn11. 解：易知xn为正项数列,所以由n11递减,1有下界0,从而知知xn递增,于是xnx110且2xnx nxn1xnxn1知x n11xn2 x nxn1x n1xn1xn1

12、x nx n1xnx n1x nxn1于是, 有S nx111x 211x11n11111x 1x2x 2x3xnxn11112x11x1x nn1有1设lim n1A,由式变形为1x n2111,两边取n时的极限xn1xnxnxnAAA0A01A所以由式得lim nS nlim n2xn17 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 ： 设Fx,y1fyx,F,1yy2y5, 任 选x00,作2x2x 1Fx0,2x0x2Fx12,x 1x3Fx2,2x2, ,xn1Fxn,2xn, , 证明：lim nx n存

13、在并求值；y1 ,令u,就fuu29y1y2y51f解：F ,1y 22所以Fx ,y 1yx 29. 2x故x 1Fx0,2x 01x09, 2x0x2Fx 1,2x 11x 19, 2x 1 xn1Fxn,2x n1xn9, 2xn 由题设条件,显见1nN,xn0且xn11xn9932x n又x nn11 19191,所以数列xn单调削减有下界, 因而该x22 x n29数列必收敛,记nlimxnA,在1式中令n,得A1A9,解得A3,2A取其正值便得lim nxn3. 二 不定积分运算中常用的变量替换一 三角函数代换xa在被积函数中含有a2x2,a2x2,x2a2分别作变量代换：sint

14、,xatant,xasec t,将根式去掉变成三角函数的积分,最终作变量复原；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 Ixa12 xdx2Ia24x 2dx3Ix2xa2dx2xI解：1令xatan ;就Iatan t1asec tatdt21dt1csc tdtcos 2asinta1lncsctcottc1lnx2xaa xcaa2 令xasin ,就cot2tdcott11cot3tcatcacos ttacos tdta1a4sin42a2312a2xx23c3 aIatant3 令xasec t就tan

15、2tdta2 sect1 dtatantasec ttantdtaasectx2a2aarccosacx二 倒数代换一般令x1.适用于 tpq1的情形,其中p, 分别为被积函数的分母和分子关于 x的最高次数；I例：1 Ixdxx2; 2dt2Ix4dx; 3Ix22 x1003. 41x2x2 解：1令x1,得 t1d2 t4t11dtt2ct2122 t21t21ln2 x4. 1c1ln2t2 t2122x22令x1,得 t9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - I1t41dttt4dt 1t21112 dt1t

16、22tt2I1t3tarctan tc11arctan1 xtc. dt98c. 33 x3x3令x21,得32 t97963 t98t1dt2 21 tt10021 t2t2t98t97t99c33 x112 14997332 9997x2 9749 x三 指数代换令tax来求解；的函数；解题方法：10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将方程Fx ,y0,代为参数方程x ty t将参数方程代入Ify dx,即Ify dxf ttdt. 变量复原将积分结果化为x, 的关系式 . 例：求以下积分1 设yxy2x,

17、求x1ydx,2 设y3xycx3,求dx . 3y3解1令xyt,就yxt代入yxy2x,得xtt31,yt2t1,dxt2 t23 dt2 t212; 于是：x1ydxt313 tt2t23 dtt2tdt 1t321 2t21t211ln|t21|c1ln|xy21|222令ytx,代入方程中,得t3x3xtxx3,就有xt31t,yt21t,dxt44t32dt. 1 11tc. 于是dxt6 1t34 t3 dt3 t27 t34 t4 dty3t41t2t37t44t5cy37y44y545x34x45x5三 定积分运算中常用的变量替换一 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分

18、法,解题方法：作变量替换, 使被积函数或其主要部分为简洁形式fu,其中 u 为中间变量,此时积分变为变上限 下限 积分；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 利用变上限 下限 积分的微分法求解；b例 1：设 f x 为- ,+ 上的连续函数,且 g x a f x t cos tdt , 求g x . 解：令 u x t 就b x b xg x a x f u cos u x du a x f u cos u cos x sin u sin x dub x b xcos xa x f u cos udu sin

19、 xa x f u sin udu , b x而 g x sin x a x f u cos udu cos x f b x cos b x f a x cos a x b xcos x a x f u sin udu sin x f b x sin b x f a x sin a x b xa x f u sin u cos x cos u sin x du f b x cos b f a x cos ab xa x f u sin u x du f b x cos b f a x cos aba f x t sin tdt f b x cos b f a x cos a例 2：求以下函数的

20、导数1Fx ex21f tex 2dt,求F x,2Fx sinxxfxt dt,求F x ,00解：1令fx 1ftex2dt,令utex2有0fxex2fue1 xdu,就0Fxex21ftex2dtex2fudu. 00. 于是dFxex2fuduxfex 2ex22x2xex2fex2dx02Fxsinxxfxtdtxsinxfxtdt ,令uxt,就00xf udusinxfxtdtxsinxf udu xsinxf u du,就Fxxxsin0xxx于是Fx xxsinxfu du xxsinxfu dux fxfxsinx 1cosxxxxfxx 1cosx fxsinx xsi

21、nxf u du. x二 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的运算12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解题方法：作变量替换, 使被积函数或其主要部分为简洁形式fu,其中 u 为中间变量然后再积分或作判定例 1：设fx连续,证明 0 lnfxtdtxlnf 1ttdt 0 lnftdt0f证明： 0 lnfxlntdt令xtux1lnfudu0lnf u dulnf u dux1f u duxx01x1fx 0lnf tdtx 0 lnftdtx1lnf t1dt1tdttu1x 0lnft1 dt, ln

22、fu1 du10将式代入式,得 0 lnfxtdtxlnftdt 0 lnf tdtdtxlnft1 dt00xlnft1 dt 0 lnft0f t即证；例 2：设xfxex, xx 2 x00du求2 0fx1dx. x2dx1 0exdx1解：2f1 dx ux11fu1 1fx dx01011x1x30ex14e11 71 e. 31033三 由三角有理式与其他初等函数通过四就运算或有限次复合而成的被积函数定积分的运算；解题分法：假设积分限为0 ,2时, 就令x 0 ,时,就令ux13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - -

23、- - - - 0,2时,就令2x0 ,4时,就令u4x例 1：求以下积分故I1I4 01sin2xdx2I2 0cosxxsinxdxsinxdxI1sinx1sincosx解：1令u4x就I41sin2 4u du 41cos 2 u ducos 2 u42sin2xdx01sin2 u01022 cosx4012 cosxdxtanxx |4 0144cos 2x2 令u2x,得I0cos22u u sin2udu 2 0sinucos udu2 0cosxx2u 1sinucos u1sincosx1sincos20,即2 0cosxxsinxdx01sincosx例 2证明：2 0s

24、innxn cosxdx2n0sinnxdx, n 为正整数；证明：2 0sinnxn cosxdx2n2 0sinn2xdx令u22x 2n22cosnudu22n122cosnudu2n2 0cosnudut2u2n0cosn2tdt222n2 0sinntdt2n0sinnxdx四 定积分等式的证明中所作的变量替换；解题方法： 任何变量替换, 主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定；例如一端的被积函数或其主要部分为fx,14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 另一端为fu,就令xu；假设一端为f x,另一端为fu就所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定；1 0,例 1证明xextt2dtex2xet2dt44u2,就4 t24xtx2u00分析：x 0 extt2dtx 0 ex 24t2dtx 0 ex24u2du比较xt et2与ex24u2,可知,应令xtt21x