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1、精品_精品资料_目录引言1一 极限运算中变量替换的应用1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一 对于0 或 型极限20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二对于型极限2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 隐函数中不易或不行能化为显函数形式,极限limny 的求法 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四 求数列的极限 4 二 不定积分运算中常用的变量替换 6 一 三角函数代换 6二 倒数代换 7三 指数代换 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四 不定积分f ydx 的运算, 其中 y 是由方程F x, y0 所确定的 x 的
2、函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数8三定积分运算中常用的变量替换9一被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法9二被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的运算10三由三角有理式与其他初等函数通过四就运算或有限次复合而成的被积函数定积分的运算.11四定积分等式的证明中所作的变量替换12四解微分方程中变量替换的应用技巧14一在求解可别离变量方程中变量替换的应用14二求解齐次方程中变量替换的应用15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 求解一阶线性方程中变量替换的应用 15 五 重积分中变量替换的应用 16 一 二重积分运算中的变量替换 16二 利用直角坐标系运算
3、18 三 利用柱面坐标系运算 19 四 利用球面坐标系运算 19 终止语 19参考文献 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高等数学中常见的变量替换鲁友栋数学系 辽宁 中国摘要变量替换是解决高等数学问题的重要手段.深化明白变量替换可以培育同学利用所学的学问敏捷处理各种实际问题的才能.因此,在高等数学中,如何使用和把握变量替换是解决某些问题的关键.如何敏捷的运用变量替换,是一个值得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重视的问题.本文通过几个实例具体介绍了“0 ”型,“”型,数列等几种0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极限运算中变量替换的应用和三角函数代
4、换,倒数代换,指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用,着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用.关键词 变量替换 积分极限引言在各种各样的数学运算中,相应的解题方法也有千千万万,而其中有一种方法是变量替换.变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用,更是一种常用的解题技巧.在许多运算中,往往我们用许多方法都无法顺当求出结果,此时,我们不妨试用一下变量替换, 它很可能会给我们带来意想不到的收成.因此,变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁,走投无路的情形下,人们使出的“杀手锏” .作为将来从事数学训练的工作者,如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键.而娴熟
5、把握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求到达的目标.以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中,由于正确使用了变量替换而给解题带来的便利之处,来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性.一 极限运算中变量替换的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一 对于0 或 型极限0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设用洛必达法就的结果比没用法就前仍复杂,就应考虑用变量替可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换求解,常作的替换是令 t例 1,求以下极限：1 , kxk1,2,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
6、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 lim1e x 21002limarctan1x11ex 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xx01xx et 2 dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1直接用洛必达法就,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式lim1e x2299x31x201 lim e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 100 x50 x102x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此式比没用法就前仍复杂,可见此路不通；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考虑
7、变量替换 u1 ,得x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式 limuu 50eulimu50u 49eu.limu50.0 .eu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：令u1 ,得x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式 limarctan ueu2u2lim11u 2u22ueu 22lim2ueu2u22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuet dt0uet dt0ueuuet dt0
8、ueu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim2eu24u 2eu2lim212u 2 eu22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xeu 2eu 22u 2eu2u21u 2 eu2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 对于型极限此种类型求极限一般采纳根式有理化或通分,再用洛必达法就求解, 或用“抓大头”求解.所谓“抓大头”就是取分子,分母中趋于最快的项.但是对于一些特别的例子,应用变量替换. 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1,求lim xxx 2 ln11 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 u1 得
9、x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式lim 11 ln1u lim uln1ulimu1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u0 uu 2u0u 2limulim11 .u02u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u0 2u 1uu 0 21u2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：求lim 6 x6 xx56 x 6x 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令u1 得x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
10、6原式 lim1u6 1u1lim15u 65.16111u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u0ux066663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 隐函数中不易或不行能化为显函数形式,极限limxy 的求法.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题方法：将隐函数F x, y0 化为参数式x xty yt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 将 limy 化为 limyt 的形式,t 可由观看法得出. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxt0t 0 xt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：设有方程 x3
11、y 33axy0a0 ,求1 曲线的渐近线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求出与渐近线平行的切线.x3at3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 ytx ,就 x 3x3 t 33ax 2t ,进而1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3at 2y1t 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) Alim ylim3at 21t 33lim t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxt1 1t3att3at 213at3att1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Blim f xAxlim 33 li
12、m2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xt1 1t1tt1 1t tt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故斜渐近线为： yAxBxa ,即 xya0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 方程 x3y33axy0 的斜率为： yx2ayaxy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而渐近线的斜率： y1 ,由于切线与渐近线平行,所以它们斜率相x 2ay可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等,即1 ,即 yx yxa xy ,解得 yx 或 yxa ,将可编辑资料 - - -
13、欢迎下载精品_精品资料_axy2yxa代入方程得 a0 冲突,所以 yx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将其代入 x3y33axy0 ,得切点0,0, 3 a,23 a .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的切线方程： y0 1 x0 ,即 xy0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或者 y3 a21 x3 a,即 x2y3a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四 求数列的极限解题方法：先作出与数列同类形的连续变量 x 的函
14、数;再求该函数当 x时的极限,该极限即为数列的极限.例 1 求以下数列的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) lim 1n b1 n,其中 a0, b0 ; 2 limnn a1 , a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na解： 1明显 bn1 时,原极限为 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当b1时,先求1xlim 1b1 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x由于 limx b1lim1b x1a11lim1b
15、x111lim12b x ln b1 ,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaxxa xxa xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 lim 1x1b x1 xaln be a1b a ,故lim 1nn b1 na1b a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 先求limx1xa x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limx1x a x1limx1a x1x 1limx1a x ln a1 x 2x 2ln a .可编辑资料
16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故limnn n a1ln a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx例 2：设数列 xn由下式给出：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1x1 , x 22,n1,2, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn试求 lim 1x111x211 .xn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：易知xn为正项数列,所以由xn 12xxxnnn xn1xn可编
17、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知 xn递增,于是 xnx10 且121递减,xn1有下界 0,从而知xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xn 1xn1xn xnxn1 知x2nxn 1xn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn1xn 1xn xn 1xn xn 1xnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是, 有Sn1x111x211xn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 11 11 11 可编辑资料 - - -
18、欢迎下载精品_精品资料_x1x2x2x31121xnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1xn 1xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设lim1nxn1A ,由式变形为xn1111xnxn 1,两边取 n时的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn有 AAA0A01A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以由式得lim Snnlim 2n1 2xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 3 ： 设F x, y1f y 2 xx) ,F 1, yy 2y5 , 任选 x00 , 作可编辑资料 - - - 欢迎
19、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1F x0,2 x0 x2F x1 ,2 x1 x3F x2,2x2 , , xn 1F xn ,2xn , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：limnxn 存在并求值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： F 1, yy 21y522f y1 ,令 y1u ,就f uu 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 F x, y1 y 2xx 29 .可编辑资料 - - - 欢迎
20、下载精品_精品资料_故 x1F x0,2 x0 1 x029 ,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2F x1,2 x1 1 x129 ,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn 1F xn,2 xn 1 xn29 ,xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题设条件,显见nN , xn0 且xn 11 x9 93n2xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 xn 1xn1 1291 19x22n91,所以数列xn单调削减有下界, 因而该可
21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n数列必收敛,记 lim xnA ,在1式中令 n,得 A1 A29 ,解得 A3 , A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取其正值便得lim xn3 .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 不定积分运算中常用的变量替换一 三角函数代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在被积函数中含有a 2x2 ,a2x2 ,x 2a 2 分别作变量代换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa sin t, xa tan t , xa sect ,将根式去掉变
22、成三角函数的积分,最终作变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量复原.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(1) I1dxxa 2x2a 22 I4xxdx3 Ix 2a2dxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1令 xa tant ;就Ia tant1asectadtcos2 t1dtasint1csctdt a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ln csctacot t1clnax2a 2acxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
23、精品资料_2 令 xasin t ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ia costa costdt1cot 2 td cot t 11 cot3 tc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 4 sin4 ta2221ax 3ca23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a 2x3 令 xa sect就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a tan tIa secta secttan tdtatan 2tdtasec2 t1) dta tan tatc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2a 2a arccos acx二 倒数
24、代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般令x1 .适用于 p tq1 的情形,其中p,q 分别为被积函数的分母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和分子关于 x 的最高次数.dxdxx 22x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1I;2 I42;3 I100.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4x 2x 1x x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1令 x1 ,得t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_It41t 21 dtt 2dt2t 211d2t
25、22t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ln 2t2 2t 21c1 ln 22x41c .2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 令 x1 ,得t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 41I1 t 2dtt 42dtt1t 2111t 2dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1t 21 3t3tarctantc13x 31arctan 1c .xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 令 x21 ,得t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资
26、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_It 100 21 2t221t31 dtt 22t 97t 963t 98 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 9849t 9797t 99c33133x299197x297149 xc .2 98可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 指数代换当被积函数是由令ta x 来求解.例：求以下积分3x dxa x 所构成的代数式的积分时,一般采纳指数代换即1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) I9 x3 x 1
27、4(2) Ixdxe 2ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1令3 xt ,就 x3x dxln t 有,t1dt11113t4 ln 3tln 35 t4tln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I3x 233 x 4t 2dt 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_51ln 3xln | t4 |ln |t1|c5 1ln 3ln | 3 x4 |ln | 3x1 |c ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令e 2t ,就 x2 ln t ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I1tt 22 dt t2 1t
28、211t1tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21tln tln 1tcx2e 2x2 ln1xe 2 c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四 不定积分f y dx的运算,其中 y 是由方程F x, y=0 所确定的 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数.解题方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将方程F x, y0 ,代为参数方程 xytt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将参数方程代入 If y dx ,即 If y dxf t (t) dt .可编辑资料
29、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量复原将积分结果化为 x, y的关系式 .例：求以下积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 设yxy) 2x ,求1dxx3 y, 2 设y 3 xyx3 ,求dx .y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1令 xyt ,就 yxt 代入yxy2x ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3xt, y t 21t, dxt 21t 2 t 2t 23 dt 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是：1dxx3 y1t 33tt 21t 21t 2 t 2t 2312dttdtt 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ln | t 221 |c1 ln | x 2y 21