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1、乘法公式 概念总汇 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 a+b a-b=a2-b2 说明：1几何解释平方差公式 如右图所示：边长 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。第一种：用正方形的面积公式计算：a2b2；第二种：将阴影局部拼成一个长方形，这个长方形长为ab，宽为ab，它的面积是：ab ab 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影局部的面积。所以：a2b2ab ab。2在进展运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一局部完全一样，而另一局部只有符合不同，才能够运用平方差公式。
2、平方差公式的 a 和 b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进展简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式 完全平方公式：两个数和或差的平方，等于它们的平方和，加上或减去它们积的两倍，即 a+b2=a2+2ab+b2，a-b2=a2-2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：1几何解释完全平方和公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：ab2 第二种：把图形分割成由 2 个正方形和 2 个一样的 abab abba 长方形来看，其正方形的的
3、边长是 a，小正方形 的边长是 b，长方形的长是 a，宽是 b，所以 它的面积就是：a2ababb2a22abb2 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：ab2a22abb2 2几何解释完全平方差公式 如图用多种形式计算阴影局部的面积 第一种：把阴影局部当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：a-b2 第二种：把图形分割成由 2 个正方形和 2 个一样的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影SSSS2-其正方形的的边长是 a，小正方形的边长是 b，长方形的长是a-b，宽是 b，所以 它的面积就是：222222bababbaba 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同
4、一个图形的面积 所以：2222bababa 3在进展运算时，防止出现以下错误：a+b2=a2+b2，a-b2=a2-b2。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的 a 和 b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用 方法引导 1、乘法公式的根本计算 例 1利用平方差公式计算：1 3*5y 3*5y；2 0.5ba-0.5ba 3-mn-mn 难度等级：A 解：1(3*5
5、y)(3*5y)(3*)2(5y)29*225y2 ab aba2b2 2 0.5ba-0.5baa0.5b a0.5ba20.25b2 ab ab a2b2 3 mn mnm2n2m2n2 ab aba2b2【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的一样点和不同点，找到两个多项式的第一项一样，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果【解题技巧】平方差公式的根本在于找到两个多项式的一样项和不同项，一样项就是 a，不同项就是 b 和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式【搭配练习】用平方差公式计算 1 0.25*y 0.25*y 2 2
6、*3y 2*3y 3 2*5 2*52*1 2*1 例 2 利用完全平方公式计算 1 2a32 2 0.5m0.2n2 3-2*3y2 4 13*3*-1 难度等级：A 解：1 912433222322222aaaaa ab2 a2 2ab b2 22222204.02.025.02.02.05.025.02.05.0nmnmnnmmnm 3第一种解法：第二种解法：ab2 a2 2ab b2 413131331xxxx【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。【解题技巧】第三题给出了两种解法，
7、第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题外表上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都一样，则也可以利用乘方的性质，把式子进展转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方式，但有一点还要注意的是213 x中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负号【搭配练习】利用完全平方公式计算 1223 a 2234cb 223.01.0qp 4mnnm5775 2、简便计算 例 3利用平方差公式简便计算 11039
8、7 259.860.2 难度等级：A 解：1103971003 10031002321000099991 259.860.2600.2 600.26020.2236000.043599.96【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进展改写，写成一样的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。【解题技巧】如果可以利用公式，则 103 和 97 就分别是一样的两个数的和与差，则103+972 得到的就是第一个数，即公式中的 a，103-972 得到的就是第二个数，即公式中的 b【搭配练习】利用平方差公式简便计算 18999011 298 387138114 例 4利用乘法公式
9、简便计算 12997 221009 399101942 难度等级：A 解：199400996000100000033100021000310009972222 2101808181180001000000819100021000910001009222 3110011006100991019422【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种【搭配练习】利用乘法公式简便计算 9
10、971001999 例题讲解(一题型分类全析 例 1：以下计算正确的选项是 A.xxxxxx41281324232 B.3322yxyxyx C.21611414aaa D.222422yxyxyx 难度等级：A【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，-4*(2*2+3*-1)=-8*3-12*2+4*，所以 A错；利用多项式乘法法则，计算*+y(*2+y2)，得*3+*y2+*2y+y3，所以 B 也不对；利用平方差公式，有(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2，所以 C 是正确的；由完全平方公式，得(*-2y)2=*2-4y+4y2
11、，所以 D 错.因此，选 C.解：C【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。【题评讲解】此题是常规题，都是考察学生的根本概念和根本法则。在做题时可以每道都做一遍，验证正确或错误的选项。【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。【搭配练习】1、以下关系式中，正确的选项是()A.(ab)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b
12、)2=a2-2ab+b2 2、以下计算正确的选项是()A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2 B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2 C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2 例 2：多项式142x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况 难度等级：B【思维直现】根据完全平方公式(ab)2=a22ab+b2的特点，假设142x表示了 a2+b2的话，则有 a=2*，b=1，所以，缺少的一项为2ab=22*1=4*，此时，142x4*=(2*1)2；如果认为
13、142x表示了 2ab+b2的话，则有 a=2*2，b=1，所以，缺少的一项为a2=2*2=4*4，此时，4*4+142x=(2*2+1)2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方中所指的“整式既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到 4*2=(2*)2，1=12，所以，保存二项式142x中的任何一项，都是“一个整式的完全平方，故所加单项式还可以是-1 或者-4*2，此时有142x-1=4*2=(2*)2，或者142x-4*2=12.综上分析，可知所加上的单项式可以是.解：4*、4*4、-1 或-4*2【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有可能
14、是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的【题评讲解】此题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果能把所有的情况都想清楚，当然更好。【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。【搭配练习】假设一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()A.9b2 B.3b2 C.3b D.3b 例 3 计算：12141212aaa 2 zyxzyxzyxzyx 3223cba 难度等级：B【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前，要运用乘
15、法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形式 解：141212121412122aaaaaa 2 zyxzyxzyxzyx 3 2222223232323ccbabacbacba 或者 2222232322323cbcbaacbacba【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，可能还会需要第二次展开，层层递进。【题评讲解】题 1 只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题2 在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题 3 的多
16、项式是三项，所以在使用完全平方公式的时候，要把多项式进展拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中 a、b 的形式和结论来求出最后结果【搭配练习】计算：1(c2b+3a)(2b+c3a)2 a61b 2a31b 3a2121b2；3 2a3b12 例 4 请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 难度等级：A【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是*2，两个小正方形的面积分别是 y2与*-y2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下乘法公式：*-y2=*2-2*y+y2；解：*-y2
17、=*2-2*y+y2【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想的具体表达。【题评讲解】此题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。【建议】在进展知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式 例 5计算：2481511111(1)(1)(1)(1)22222.难度等级：C【思维直现】观察此题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式1(1)2，如果能通过恒等变形构造一个因式1(1)2，则运用平方差公式就会迎刃而解。解：1584221211211211211【阅读笔记】在进展多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否
18、符合或可转化成*公式的形式，如果符合则应用公式计算，假设不符合则运用多项式乘法法则计算。【题评讲解】此题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时，要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。【搭配练习】计算 1、(31)(321)(341)(381)+1 2、1221 1231 12411291 12011 例 6：3ba，21ab，求：1a2b2 2a2abb2 3a4b4 难度等级：A【思维直现】从条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式相似，则完全平方公式的
19、变形就可以满足了，题1就是在2ba的根底上减去了ab2；题2可以看做2ba的根底上减去了ab，或是在题1的根底上加上了ab；题3就是在题1结论的根底上，把22ba 平方后减去222ba，而222ba 即是22ba。解：13ba，21ab 2222bababa 即2222123ba 813222ba（2）3ba，21ab 2222bababa 21821922baba（3）3ba，21ab，822ba 222222222bbaaba 即42422128ba 2163216421282244ba【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比拟简单，右边是个三项式，所以在此根底上可以演化出许多其他的式子，可把
20、三项式的其中两项作为一个多项式来看，如22ba，那就可以用原来公式中左边的式子减去或加上ab2。无论式子怎样变化，22ba 的关系是不会变的【题评讲解】此题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比拟高。必须要在熟悉公式的根底下，还要灵活运用，逆向思维比拟强。【建议】一开场可以在公式的根底上进展变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比拟好。【搭配练习】522ba，6ab，求2ba，44ba 的值.二思维重点突破 例 7 观察以下各式*1*1=*21，*-1*2*l=*3l*l*3*2*l=*4-1，根据前面各式的规律可得*1*n*n-1*1.难度等级：C【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以*为底
21、数的幂与 1 的差，并且这个幂的指数比第二个括号中*的最高次幂的指数大 1，所以*1*n*n-1*1*n+1-1.解：*1*n*n-1*1*n+1-1【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式，但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出了。【题评讲解】此题主要考察用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。此类题目要求综合能力比拟高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。【建议】可以把式子进展比照，每一次的变化只会是式子的局部变化，式子从左到右，发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。【搭配练习】观察以
22、下各式：25628 通过观察，用你发现的规律写出98的末位数字是。例 8甲、乙两家超市 3 月份的销售额均为 a 万元，在 4 月和 5 月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长*%，而乙超市的销售额平均每月减少*%。15 月份甲超市的销售额比乙超市多多少？2如果 a=150，*=2，则 5 月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？难度等级：C【思维直现】列表分析 解：122%1%1xaxa 2当 a=150，*=2 时【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰，题目中的文字都用表格和式子来进展表示。能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了【题评讲解】此题要求在理解清楚题目意思的
23、前提下，列出式子，并且还需要化简求值。列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量关系表示出来，再结合题目，给出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合【搭配练习】如图，点 M 是 AB 的中点，点 P 在 MB 上分别以 AP，PB 为边，作正方形 APCD 和正方形 PBEF，设 AB=4a，MP=b，正方形 APCD 与正方形 PBEF 的面积之差为 S。1用 a，b 的代数表示 S。2当 a=4、b=1/2 时，S 的值是多少？当 a=S，b=1/4 时呢？课后作业 A 类作业：一、填空题 1、2ab b24a2 2
24、、ab2ab2_ 3、20321931 _ 3 月份 4 月份 5 月份 甲超市销售额 a a(1*%)a(1*%)*(1*%)=a(1*%)2 乙超市销售额 a a(1*%)a(1*%)*(1*%)=a(1*%)2 ABCDEFMP 二、选择 1、假设ab，以下各式中不能成立的是 A ab2ab2 B ab abba ba C ab2nba2n D ab3ba3 2、以下各式中正确的选项是 A a4 a4a24 B 5*1 15*25*21 C 3*22412*9*2 D*3*9*227 三、解答 1、利用公式法计算 1(13 a214 b)(14 b13 a2)2(a12)2(a2+14)
25、2(a+12)2 3(2a3b)2 4(a3b+2c)2 510199 6982 78999011 8 7102002 0.491000 2、4，3，求：3232；2 B 类作业：一、填空题 1、a1 a1 a21等于 Aa41 Ba41Ca42a21 D1a4 2、假设*m*8中不含*的一次项，则m的值为 A8 B8 C0 D8 或8 3、以下计算正确的选项是 A、9323323 B、222baba C、3322)2(babababa D、54512aaaa 4、化简13131313842得 A、2813 B、2813 C、1316 D、132116 二、解答题 1、计算 (1)(*+yz)
26、(*y+z)(*+y+z)(*yz)(2)(*2+6*+9)(*+3)(*2-3*+9)(3)(a24)(a22a+4)(a2+2a+4)(4)2164242aaaa (5)53253222aaaa 2、设2，求222 的值。3、化简求值*21y2*21y22*221y2，其中*3，y4 C 类作业：一、计算 (1)(c2b+3a)(2b+c3a)(2)(ab)(a+b)22ab(a2b2)(3)(2yz)22y(z+2y)+z22 (4)(ab+cd)(abcd)(5)5(m+n)(mn)2(m+n)23(mn)2 6 a2cbc2(ab+c)(a+bc)二、解答题 1、花农老万有 4 块正方形菜花苗圃，边长分别为 30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这 4 块苗圃的边长都增加 1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少？2、ab5，ab7，求222ba，a2abb2的值 3、ab210，ab22，求a2b2，ab的值 4、a2b2c2abbcac，求证abc 5、*x12，求*221x的值 6、a1 b2ab33，求代数式222ba ab的值 7、a26ab210b340，求代数式2ab 3a2b4ab的值