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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（15）乘法公式一、内容提要1乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解） ，还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式： (ab)2=a22ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a b)=a2b2 立方和（差）公式： (a b)(a2
2、ab+b2)=a3b3 3. 公式的推广： 多项式平方公式： (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2 倍。 二项式定理： (a b)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5a4b+a
3、3b2a2b3+ab4b5)=a6b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2 ab2n2b2n1)=a2nb2n (a+b)(a2na2n1b+a2n2b2 ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页4. 公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)22ab 由 (
4、a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b) 由公式的推广可知：当n 为正整数时anbn能被 ab 整除, a2n+1+b2n+1能被 a+b整除, a2nb2n能被 a+b及 ab 整除。二、例题例 1. 己知 x+y=a xy=b 求x2+y2x3+y3x4+y4x5+y5 解：x2+y2(x+y)22xya22b x3+y3(x+y)33xy（x+y）a33ab x4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2 x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y) x4+y4
5、xy(x2+y2)+x2y2=aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2. 求证：四个連续整数的积加上1 的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数 ) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数a2+3a+1是整数证毕例3. 求证： 22223111能被 7 整除证明：22223111（22）111311141113111 根据a2n+1+b2n
6、+1能被 a+b整除， （见内容提要 4）41113111能被43 整除22223111能被 7 整除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为5 的两位数的平方数”的计算规律解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25 “个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5 的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1 的数的积。如：152=225 幂的百位上的数字2=12)， 252=625 (6=2 3)，352=1
7、225 (12=3 4) 452=2025 (20=4 5) 三、练习 15 1填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ , a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_ 2填空：(x+y)(_)=x4y4(x y)(_)=x4y4 (x+y)( _)=x5+y5（xy）(_)=x5y53. 计算：552= 652= 752= 852= 952= 4. 计算下列各题，你发现什么规律1119= 2228= 3436= 4347= 7674= 5. 已知 x+x1=3,
8、 求x2+21xx3+31xx4+41x的值6. 化简：（ a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+b c)(a b+c)( a+b+c) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页7. 己知 a+b=1, 求证： a3+b33ab=1 8. 己知 a2=a+1，求代数式 a55a+2的值9. 求证： 2331 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是 a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。练习 15 参考答案：4. 十位上的数字相同， 个位数的和为 10的两个两位数相乘， 其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1 的数的积10.n(n+1)+(n+1)=(n+1)211.可证明 3 个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0 2(ab+ac+bc) abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页