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1、第 1 页 共 16 页乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2说明：（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。第一种：用正方形的面积公式计算：a2b2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（ab），宽为（ab），它的面积是：（ab）（ab）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。所以：a2b2（ab）（ab）。（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一
2、部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a 和 b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明：（1）几何解释完全平方（和）公式如图用多种形式计算右图的面积第一种：把图形当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（ab）2第二种：把图形分割成由2 个正方形和2 个相同的a
3、bababba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -第 2 页 共 16 页长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是a，宽是 b，所以它的面积就是：a2ababb2a22abb2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（ab）2a22abb2（2）几何解释完全平方（差）公式如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a-b）2第二种：把图形分割成由2 个正方形和2 个相同的长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影SSSS2-其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是
4、b，长方形的长是（a-b），宽是 b，所以它的面积就是：222222bababbaba结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：2222bababa（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的 a 和 b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用方法引导1、乘法公式的基
5、本计算例 1利用平方差公式计算：（1）（3x5y）（3x5y）；（2）（0.5ba）（-0.5ba）（3）（-mn）（-mn）难度等级：A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -第 3 页 共 16 页解：（1）(3x5y)(3x5y)(3x)2(5y)29x225y2（ab）（ab）a2 b2（2）（0.5ba）（-0.5ba）（a0.5b）（a0.5b）a20.25b2（ab）（ab）a2 b2（3）（mn）（mn）（m）2n2m2n2（ab）（ab）a2 b2【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式的第一项相同，而第二
6、项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a，不同项就是b 和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式【搭配练习】用平方差公式计算（1）（0.25xy）（0.25xy）（2）（2x3y）（2x3y）（3）（2x5）（2x5）（2x1）（2x1）例 2利用完全平方公式计算（1）（2a3）2（2）（0.5m0.2n）2（3）（-2x3y）2（4）（13x）（3x-1）难度等级：A解：（1）912433222322222aaaaa（ab）2 a22abb2（2）2222204.02
7、.025.02.02.05.025.02.05.0nmnmnnmmnm名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -第 4 页 共 16 页2ba2aab22b（3）第一种解法：2222291243322232yxyxyyxxyx2ba2aab22b第二种解法：2222222912433222323232yxyxyyxxyxyxyx（ab）2a22abb2（4）13131331xxxx169169113231322222xxxxxxx2ba2aab22b【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。第一步确定首尾，分别平方；第二步确定
8、中间项的系数和符号，得出结论。【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题表面上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方式，但有一点还要注意的是213x中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负号【搭配练习】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -第 5
9、页 共 16 页利用完全平方公式计算（1）223a（2）234cb（2）23.01.0qp（4）mnnm57752、简便计算例 3利用平方差公式简便计算（1）10397（2）59.8 60.2难度等级：A解：（1）10397（1003）（1003）1002321000099991（2）59.8 60.2（600.2）（600.2）6020.2236000.043599.96【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。【解题技巧】如果可以利用公式，那么103 和 97 就分别是相同的两个数的和与差，那么（103+97
10、）2 得到的就是第一个数，即公式中的a，（103-97）2 得到的就是第二个数，即公式中的b【搭配练习】利用平方差公式简便计算（1）8999011（2）982（3）87138114例 4利用乘法公式简便计算（1）2997（2）21009（3）99101942难度等级：A解：（1）99400996000100000033100021000310009972222（2）101808181180001000000819100021000910001009222名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -第 6 页 共 16 页（3）1100110061009910194
11、221163136120011003612001001100661002100222222【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种【搭配练习】利用乘法公式简便计算99721001999例题讲解(一）题型分类全析例 1：下列计算正确的是（）A.xxxxxx41281324232?B.3322yxyxyxC.21611414aaaD.222422yxyxyx难度等级：A【思维
12、直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x，所以 A 错；利用多项式乘法法则，计算（x+y）(x2+y2)，得 x3+xy2+x2y+y3，所以 B 也不对；利用平方差公式，有(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2，所以 C 是正确的；由完全平方公式，得(x-2y)2=x2-4y+4y2，所以 D 错.因此，选 C.解：C【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则
13、。【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。在做题时可以每道都做一遍，验证正确或错误的选项。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -第 7 页 共 16 页【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。【搭配练习】1、下列关系式中，正确的是()A.(ab)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b22、下列计算正确的是()A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2B.(-a+3b)(a-
14、3b)=-a2-9b2C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2例 2：多项式142x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）难度等级：B【思维直现】根据完全平方公式(ab)2=a22ab+b2的特点，若142x表示了 a2+b2的话，则有 a=2x，b=1，所以，缺少的一项为2ab=2（2x）1=4x，此时，142x4x=(2x1)2；如果认为142x表示了 2ab+b2的话，则有 a=2x2，b=1，所以，缺少的一项为a2=（2x）2=4x4，此时，4x4+142
15、x=(2x2+1)2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到 4x2=(2x)2，1=12，所以，保留二项式142x中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1 或者-4x2，此时有142x-1=4x2=(2x)2，或者142x-4x2=12.综上分析，可知所加上的单项式可以是.解：4x、4x4、-1 或-4x2【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式的完全平方，但单项式的完全平方也是成立
16、的【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果能把所有的情况都想清楚，当然更好。【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。【搭配练习】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -第 8 页 共 16 页若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()A.9b2B.3b2C.3bD.3b例 3 计算：（1）2141212aaa（2）zyxzyxzyxzyx（3）223cba难度等级：B【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前，要运用乘法的交换律和加法的结合
17、律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形式解：（1）41212121412122aaaaaa1614141422aaa（2）zyxzyxzyxzyxyzzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx42222222222222222222222（3）2222223232323ccbabacbacbabcacabcbacbcacbaba124649412496222222或者2222232322323cbcbaacbacba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -第 9 页 共 16 页bcacabcbacb
18、cbacaba124649412946222222【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，可能还会需要第二次展开，层层递进。【题评解说】题 1 只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题2 在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3 的多项式是三项，所以在使用完全平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b 的形式和结论来求出最后结果【搭配练习】计算：（1）(c2b+3a
19、)(2b+c3a)（2）（a61b）（2a31b）（3a2121b2）；（3）（2a3b1）2例 4 请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是难度等级：A【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x2，两个小正方形的面积分别是y2与（x-y）2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下乘法公式：（x-y）2=x2-2xy+y2；解：（x-y）2=x2-2xy+y2【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现。【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解
20、其中的含义。【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式例 5计算：2481511111(1)(1)(1)(1)22222.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -第 10 页 共 16 页难度等级：C【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式1(1)2，如果能通过恒等变形构造一个因式1(1)2，则运用平方差公式就会迎刃而解。解：158422121121121121122121221212122121122121121122121121121122121121121121122121121121121121122121
21、121121121121121515151615161588158441584221584215842【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时，要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。【搭配练习】计算1、(31)(321)(341)(381)+12、（1221）（1231）（1241）（1291）（12011）名师资料总
22、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -第 11 页 共 16 页例 6：已知3ba，21ab，求：（1）a2b2（2）a2abb2（3）a4b4难度等级：A【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，题（1）就是在2ba的基础上减去了ab2；题（2）可以看做2ba的基础上减去了ab，或是在题（1）的基础上加上了ab；题（3）就是在题（1）结论的基础上，把22ba平方后减去222ba，而222ba即是22ba。解：（1）3ba，21ab2222bababa即2222123ba813222ba（2
23、）3ba，21ab2222bababa219322222bababababa21821922baba（3）3ba，21ab，822ba222222222bbaaba4242222bbaaba即42422128ba2163216421282244ba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -第 12 页 共 16 页【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比较简单，右边是个三项式，所以在此基础上可以演化出许多其他的式子，可把三项式的其中两项作为一个多项式来看，如22ba，那就可以用原来公式中左边的式子减去或加上ab2。无论式子怎样变化，22ba的关系是不会变的【题评解
24、说】本题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比较高。必须要在熟悉公式的基础下，还要灵活运用，逆向思维比较强。【建议】一开始可以在公式的基础上进行变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比较好。【搭配练习】已知522ba，6ab，求2ba，44ba的值.（二）思维重点突破例 7 观察下列各式（x1）（x1）=x21，（x-1）（x2xl）=x3l（xl）（x3x2xl）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x1）（xnxn-1 x1）.难度等级：C【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以x 为底数的幂与1的差，并且这个幂的指数比第二个括号中x 的最高次幂的指数大1，所以（x1）（xnxn-1 x1）x
25、n+1-1.解：（x1）（xnxn-1 x1）xn+1-1【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式，但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出了。【题评解说】此题主要考查用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。此类题目要求综合能力比较高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。【建议】可以把式子进行对比，每一次的变化只会是式子的部分变化，式子从左到右，发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。【搭配练习】观察下列各式：121名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -第
26、 13 页 共 16 页4228231624322564261282725628通过观察，用你发现的规律写出98的末位数字是。例 8甲、乙两家超市3 月份的销售额均为a 万元，在 4 月和 5 月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。（1）5 月份甲超市的销售额比乙超市多多少？（2）如果 a=150，x=2，那么 5 月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？难度等级：C【思维直现】列表分析解：（1）22%1%1xaxa%4%2%2%2%2%21%21222222axxaxaaxaxaaxaxaaxaxaaxxaxxa（2）当 a=150，x=2 时22%1
27、%1xaxa3 月份4 月份5 月份甲超市销售额aa(1x%)a(1x%)x(1x%)=a(1x%)2乙超市销售额aa(1x%)a(1x%)x(1x%)=a(1x%)2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -第 14 页 共 16 页12%21504%4ax【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰，题目中的文字都用表格和式子来进行表示。能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了【题评解说】本题要求在理解清楚题目意思的前提下，列出式子，并且还需要化简求值。列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量
28、关系表示出来，再结合题目，给出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合【搭配练习】如图，点M 是 AB 的中点，点P 在 MB 上分别以AP，PB 为边，作正方形APCD 和正方形 PBEF，设 AB=4a，MP=b，正方形 APCD 与正方形 PBEF 的面积之差为S。（1）用 a，b 的代数表示S。（2）当 a=4、b=1/2 时，S的值是多少？当a=S，b=1/4 时呢？课后作业A 类作业：一、填空题1、（2ab）（）b24a22、（a b）2（ab）2_3、20321931（）（）_二、选择1、若 ab，下列各式中不能成立的是（）（A）（ab）2（ab）2（B）
29、（ab）（ab）（ba）（ba）（C）（ab）2n（ba）2n（D）（ab）3（ba）32、下列各式中正确的是（）（A）（a4）（a4）a24（B）（5x1）（15x）25x21（C）（3x2）2412x9x2（D）（x3）（x9）x227三、解答ABCDEFMP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -第 15 页 共 16 页1、利用公式法计算（1）(13a214b)(14b13a2)（2）(a12)2(a2+14)2(a+12)2（3）(2a3b)2（4）(a3b+2c)2（5）10199（6）982（7）8999011（8）（710）2002（0.49
30、）10002、已知4，3，求：3232；（）2B 类作业：一、填空题1、（a1）（a1）（a21）等于（）（A）a41（B）a41（C）a42a21（D）1a42、若（xm）（x8）中不含 x 的一次项，则m 的值为（）（A）8（B）8（C）0（D）8 或 83、下列计算正确的是（）A、9323323B、222babaC、3322)2(babababaD、54512aaaa4、化简13131313842得（）A、2813B、2813C、1316D、132116二、解答题1、计算 (1)(x+yz)(xy+z)(x+y+z)(xyz)(2)(x2+6x+9)(x+3)(x2-3x+9)(3)(a
31、24)(a22a+4)(a2+2a+4)(4)2164242aaaa (5)53253222aaaa2、设2，求222的值。3、化简求值 （x21y）2（x21y）2（2x221y2），其中 x 3，y4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -第 16 页 共 16 页C 类作业：一、计算 (1)(c2b+3a)(2b+c3a)(2)(ab)(a+b)22ab(a2b2)(3)(2yz)2 2y(z+2y)+z22(4)(ab+cd)(abcd)(5)5(m+n)(mn)2(m+n)23(mn)2（6）（a2cbc2）(ab+c)(a+bc)二、解答题1、花农老万有4 块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这 4 块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少？2、已知 ab5，ab7，求222ba，a2abb2的值3、已知（ab）210，（ab）22，求 a2b2，ab 的值4、已知 a2b2c2abbcac，求证 abc5、已知 xx12，求 x221x的值6、已知（a1）（b2）a（b3）3，求代数式222baab 的值7、已知 a26ab210b340，求代数式（2ab）（3a2b）4ab 的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -