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1、1.4 角平分线（2）三角形的内心w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上上任意一点任意一点,PDOA,PEOBPDOA,PEOB,垂足垂足分别是分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PEPD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等).).回顾 思考OCB1A2PDEw逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别
2、是D,E(已已知知),点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(.(在一个角的内部在一个角的内部,且到且到角的两边距离相等的点角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).挑战自我挑战自我 例题例题1 1l如图如图,在在ABCABC中中,已知已知AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的的角平分线角平分线,DEAB,垂足为垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.l(1)如果如果CD=4cm,AC的的长长;l(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC习题1.9 课堂练习课堂练习1 11.1.已知已知:如图如图,C=900,B=300,AD是是RtABCABC
3、的角的角平分线平分线.求证求证:BD=2CD.:BD=2CD.w老师期望老师期望:w你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程.ABCD亲历知识的发生和发展w做一个三角形三个角的平分线做一个三角形三个角的平分线.结论结论:三角形三个角的三角形三个角的平分线相交于一点平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?w观察这三条角平分线,你发现了什么?做一做做一做1 1咋证三条直线交于一点咋证三条直线交于一点w基本想法是这样的基本想法是这样的:我们知道我们知道,两条直线相交只两条直线相交只有一个交点有一个交点.要想证明三条直线相交于一点要想证明三条直线相交于一点,只要只要
4、能证明两条直线的交点在第三条直线上即可能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.命题命题:三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点.思考分析已知：已知：如图如图,ABC,ABC的角平分线分别是的角平分线分别是ALAL、BMBM、CNCN。求证：求证：ALAL、BMBM、CNCN相交于点相交于点P,P,BMBM是是ABCABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,ABCABC的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点P.P.ABCPMNDEFPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到角平分线上的点
5、到这个角的两边距离相等这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PD=PF.PD=PF.点点P P在在BACBAC的平分线的平分线ALAL上上(在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离且到角的两边距离相等的点相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).L证明：证明：过点过点P P分别作分别作BC,AC,ABBC,AC,AB的垂线的垂线,垂足分别垂足分别是是E,F,D.E,F,D.命题命题:三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点.定理定理:三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,并且这并且这一点到三边的距离相等一点
6、到三边的距离相等.如图如图,在在ABCABC中中,BM,CN,AHBM,CN,AH分别是分别是ABCABC的三条角的三条角平分线平分线,且且PDAB,PEBC,PFACPDAB,PEBC,PFACBM,CN,AHBM,CN,AH相交于一点相交于一点P,P,且且PD=PE=PF(PD=PE=PF(三角形的三条角平分三角形的三条角平分线相交于一点线相交于一点,并且这一点到三边并且这一点到三边的距离相等的距离相等).).老师提示老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的这个交点叫做三角形的内心内心.几何的几何的三种语言三种语言 做一
7、做做一做1 1ABCPMNDEF习题1.9 课堂练习课堂练习2 22.2.已知已知:如图如图,ABCABC的的外角外角CBDCBD和和BCEBCE的的角平分线相交于点角平分线相交于点F.F.求证求证:点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上.老师期望:养成用数学解释生活的习惯.ABCFDE习题1.9 独立作业独立作业3 33.3.已知已知:如图如图,P,P是是AAOB B平分线上的平分线上的一点一点,PC,PCOA,PDA,PDOB,B,垂足分别垂足分别C,C,D.D.求证求证:(1)(1)OC=C=OD;D;(2)(2)OP P是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线.BAPDCO回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离角平分线上的点到这个角的两边距离相等相等.w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离且到角的两边距离相等的点相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w定理定理:三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,并并且这一点到三边的距离相等且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做这个交点叫做三角形的三角形的内心内心).).小结 拓展结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.作业作业:P24-P25