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1、动 量专题讲座一.冲量、动量定理1.冲量：I=Ft，相当于F-t图象的面积。2.动量定理：Ft=mv2-mv1(是矢量关系)。3.动量定理的推广：。1. 如图所示,水平面上有二个物体A和B,质量分别为mA=2Kg,mB=1Kg,A与B相距一定的距离,A以v0=10m/s的初速度向静止的B运动,与B发生正碰后分开,分开后A仍向原方向运动,已知A从开始运动到停下来共运动6s时间.求碰后B能滑行的时间.(略去A、B的碰撞时间,A和B与地面之间的动摩擦因数都为0.1,重力加速度g=10m/s2) （答案：8s） 解：对系统，有动量定理：-mmAgtA-mmBgtB=0-mAv0,tB=8s. 2. 以
2、速度大小为v1竖直向上抛出一小球,小球落回地面时的速度大小为v2,设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比,求小球在空中运动的时间.答案：(v1+v2)/g 解:因小球在运动过程中受到的阻力大小是变化的,所以无法直接用牛顿定律解,把物体运动过程分成无数段,则。上升过程，有动量定理:-mgDt-kvDt=mDv,求和得:mgt上+ks=mv1.同理下落过程:mgt下-ks=mv2.两式相加得:t=t上+t下=(v1+v2)/g. 3. 质量为m的均匀铁链,悬挂在天花板上,其下端恰好与水平桌面接触,当上端的悬挂点突然脱开后,求当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力. （答案：3mg
3、/2） 解:设铁链长为L,则单位长度的质量为m/L,当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力为:桌面上的铁链的重力F1=mg/2和落到桌面上的铁链对桌面的冲力F2之和. 取刚落到桌面上的一小段铁链作为研究对象,它的初速度v0=,末速度v=0,质量Dm=v0Dtm/L. 有动量定理:所以铁链对桌面的压力F=F1+F2=3mg/2.(F2不能用动能定理,为什么?) 4. 一根均匀柔软绳长为L,质量为m,对折后两端固定在一个钉子上.其中一端突然从钉子上脱落,如图所示.求下落端的端点离钉子的距离为x时,钉子对绳子另一端的作用力.答案：mg(1+3x/L) 解:当左边绳端离钉子的距离为x时,左边绳
4、长为x=(L-x),速度.右边绳长为(L+x),又经一段很短时间Dt后,左边的绳子又有长度为vDt的一小段转移到右边去了,我们就分析这一小段绳子,这一小段绳子受两个力作用:上面绳子对它的拉力T和它本身的重力vDtlg(l=m/L,为绳子的线密度),根据动量定理(不能用动能定理,因在绳子受T的作用过程有动能损失),设向上方向为正:(T-vDtlg)Dt=0-(-vDtlv),由于Dt取得很小,因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很小的，可以忽略。所以T=v2l=gxl,因此钉子对右端绳的作用力F=(L+x)gl+T=mg(1+3x/L). 5. 如图所示,质量为M小车在光滑的水平面上以v的速度向
5、左作匀速直线运动.一质量为m的小球从高为h处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h,小球与小车碰撞时,小球受到小车的弹力Nmg,小球与小车间的动摩擦因数为m,求小球弹起后的水平速度。答案：或Mv/(M+m) 解：小球刚落到车上量的竖直速度。设小碰后的水平速度为v，竖直方向的速度变为2v0，平均支持力为N，在竖直方向：Nt=2mv0,在此过程中摩擦力产生的冲量:ft=mNt=2mmv0,根据动量定理：2mmv0=mv,得小球弹起后的水平速度v=2mv0= 若2mmv0mv,实际上小球离开小车前摩擦力消失，小球的水平速度与小车相等。有动量守恒定律：Mv=(M+m)v,得小球弹起后的水平速度v
6、=Mv/(M+m). 二.动量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1+m2v2.6. 光滑水平面上有一平板车，质量为M,上面站着质量为m的人,共同以v0的速度前进,若人相对于车以v的水平速度跳出，求下列情况下人跳出车后车的速度大小。（1）人向后跳出。（2）人向前跳出。答案：（1）；（2） 解（1）设人跳出车后车的速度为v,人对地的速度v-v(向前)有动量守恒：(M+m)v0=Mv+m(v-v),得。人对地的速度v-v(向后)，则：(M+m)v0=Mv-m(v-v),得。 （2）设人跳出车后车的速度为v（向前）,则人对地的速度v+v有动量守恒：(M+m)v0=Mv+m(v+v),得。车对地的速度
7、v(向后)：(M+m)v0=-Mv+m(v-v),得（负号向前）。 1.当速度方向不在一直线上时的动量守恒：正交分解7. 如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车,其质量为M，车左端站着一个质量为m的人,车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（对地）。（答案：） 解：设人起跳的速度大小为v0,与水平面的夹角为a，则人的水平位移：，对人而言，a=45时，x1最大，v0可最小，但车向左在运动，x与车的速度有关。有水平方向动量守恒：-Mv+mv0soca=0,得车的速度v=mv0soca/M, 人落到车的右端条件：，得起跳的速度大小：，当a=45时， v0最小，起
8、跳的最小速度：。 8. 有一个质量及线度足够大的水平板,它绕垂直于水平板的竖直轴以角速度w旋转.在板的上方h处有一群相同的小球(可视为质点),它们以板的转轴为中心、R为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示数线密度).现让这些小球同时从静止状态开始自由落下,设每个球与平板发生碰撞的时间非常短,而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变,仅是方向相反.而在水平方向上则会发生滑动摩擦,滑动摩擦系数为m.（1）求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比。(2)如果（g为重力加速度）且，求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比。答案：（1）；(2) 解(1)
9、:设总数为N,则第一次l1=N/2pR,在这些小球中任取一只,刚碰时,设碰撞时间Dt,平均力为F,其竖直速度不变,所以FDt=2mv0,板有切线方向的速度v1=R.这样使小球在切线方向获得速度v2.当v22mg,忽略重力,有动能定理(kx1/2)x1=2mv2,得。 （2）因每次打击木桩后的共同速度相同，所每次克服阻力做的功相同。第二次：，打入的深度。第三次：，打入的深度。同理，第n次打入的深度。 每次阻力做的功可用f-x图象解。 10. 如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发射筒与水平面成450角,小车放在光滑水平面上,被发射的小球质量为m,现将弹簧压缩L后放入小球,从静
10、止开始,将小球弹射出去.已知小球的射高为H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k. （答案：） 解:此题最易犯的错误是认为小球的出口速度方向与水平面成450,实际上由于小车向后运动,发射的小球抛射角a45。 设小球刚射出时对地速度的分量分别为vx及vy,车的速度为v.有系统在x方向动量守恒mvx=3mv-(1)在发射过程中,有机械能守恒-(2)小球的竖直速度与射高的关系-(3)再有小球的速度与相对速度的关系-(4)有以上四个方程得. 11. 如图所示,小车的质量M=1Kg,左端放一质量m=2Kg的铁块（可看成质点）,铁块和小车间的动摩擦因数m=0.5,起先小车和铁块一起以v0
11、=6m/s的初速度在光滑地面上向右滑行,然后与竖直的墙发生碰撞,且碰撞过程中不损失机械能.求(1)要使铁块不从小车上滑出,则小车的长度至少要多长?(2)若小车足够长,则小车与墙第一次相碰后所通过的总路程为多少?答案：（1）5.4m；(2)4.05m 解（1）因Mm,物体最后停在墙边，有能量守恒定律：，得L=5.4m。 (2)第一次碰撞后小车以v1=v0向左弹回,其a=mmg/M=10m/s2,向左滑行最远时小车的速度为零，最远距离为=1.8m;有动量守恒,以v2=v1/3的共同速度运动（速度相同前小车会不会与墙碰撞？）第二次碰撞后小车向左滑行的距离为同理.所以小车的总路程:s总=2(s1+s2
12、+s3+ LL)=2 s1=m 3.连接体12. 质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平面上,用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连结,角ABC为p-a,a为一锐角,如图所示,今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作用于质点C.求质点A开始运动时的速度.（答案：） 解:设A开始运动时物体的速度分别为v1,v2,v3,求v1,因m1只受到BA绳的拉力,m3只受到BC绳的拉力,所以当A刚开始运动时v1沿AB方向,v3沿BC方向,设v2与BC夹角为q,沿BC方向动量定理：J =m1v1cosa+m2v2cosq+m3v3 垂直BC方向动量守恒m1v1sina=m2v2sinq沿绳
13、方向速度相等(绳不可伸长)v1=v2cos(a+q),v3=v2cosq 得: 13. 如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）已知杆AB与BC的夹角为p-a，ap/2DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为零这一极短时间内挡板对C的冲量的大小（答案：） 解：令I表示极短时间D
14、t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；表示Dt末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，表示Dt末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，表示Dt末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小有动量定理，对C有，对B有，对AB有沿B、C沿杆的方向的分速度必相等故有有以上五式，可解得 三.碰撞1.完全非弹性碰撞：碰后v1=v2=v,只有压缩过程，动能损失最大。动量守恒：m1v1+m2v2=(m1+m2)v.2.完全弹性碰撞：能恢复原状，无机械能损失。由动量守恒：m1v1+m2v2=m1v1+m2v
15、2，或m1(v1-v1)=m2(v2-v2)机械能守恒：，或m1(v1-v1)(v1+v1)=m2(v2-v2)(v2+v2)。解得碰后的速度：。讨论：当m1=m2时，v1=v2,v2=v1.速度交换。 当一个物体静止时，如v2=0, . 当m1m2时，v1=v1,v2=2v1.3.一般碰撞： 由动量守恒：m1v1+m2v2=m1v1+m2v2.机械能关系：。4.恢复系数： （在力作用方向上速度分量）。弹性碰撞:v2-v1=v1-v2,e=1（相对速度大小不变）.其它碰撞：em,两小球均可看成质点).上面这个小球反弹后能达到的最大高度.（答案：） 解:小球着地时的速度为v=。 下面的小球先与地
16、面碰撞后，仍以v的速度弹起,与上面小球碰撞,碰撞前两小球的相对速度大小为2v.因Mm,且是弹性碰撞,两小球碰撞后,下面的小球速度不变,两小球的相对速度大小也不变,所以上面小球反弹的速度大小为3v,得上面小球反弹的最大高度. 四.质心运动定律1.质心：xc=(m1x1+m2x2+)/(m1+m2+),质心和重心不一定重合。2.质心运动定律：F合=MaC。当F合=0时，系统的质心作匀速运动或静止，其速度为。质点系的总动量P总=M总vc，相对质心的总动量P总=0。17. 如图所示,一长直光滑板AB放在平台上,OB伸出台面,在左侧的D点放一质量为m1的小铁块,它以初速度v向右运动.假设直板相对桌面不发
17、生滑动,经时间T0后直板翻倒.现让直板恢复原状,并在直板O点放上另一质量为m2的小物体,同样让m1从D点开始以v的速度向右运动,并与m2发生正碰,那么从m1开始运动后经过多少时间直板翻倒? （答案：） 解:这道题因为未说明m1和m2碰撞性质,因些进行具体的计算有一定的困难.我们可以用质心定律来解,即把m1和m2作为一个物体,它们的质心作匀速运动. 第一种情况：第一次m1在滑到O点前直板翻倒,因m2对O点不产生力矩,运动的时间不变,T=T0）。 第二种情况：若第一次m1滑过O点离O点的距离为L后直板翻倒,则.设E是直板质心的位置,M是直板的质量,则有m1gL=MgOE. 第二次设m1和m2的质心
18、在板的C点,则可以把m1和m2看作是有质心C点开始运动,OC=DO,质心的速度为vc=v,再设质心滑过O点离O点距离为x时直板翻倒,应有(m1+m2)gx=MgOE=m1gL,得x=L,运动的时间t=. 18. 一根质量为M均匀的麦管放在无摩擦的水平桌面上,麦管有一半突出桌子外,一只质量为m的苍蝇降落到麦管在桌内末端上,并从麦管的末端爬到另一端.麦管没有倾覆.甚至当有另一只苍蝇在此时落到第一只苍蝇身上时,麦管也没有倾覆,问第二只苍蝇质量最大值是什么?答案：Mm,则BL, 第二只苍蝇的质量可任意值; Mm, 解:设麦管的长度为L,因为桌面无摩擦,水平方向无外力作用,苍蝇移动到另一端时,设苍蝇的位
19、移为A,麦管向里移动B。由动量守恒,苍蝇和麦管在任一时刻的动量大小关系Mv麦=mv苍,或Mv麦Dt=mv苍Dt，两边求和得MB=mA，且B+A=L,得-或由质心定律，对末端，质心的位置 (1)如果Mm,则BL,即整根麦管在桌内,第二只苍蝇的质量可任意值. (2)如果Mm,设第二只苍蝇的质量为m,求第二只苍蝇质量的最大值,可把第二只苍蝇降到第一只苍蝇时的速度认为是零.由力矩平衡条件MgB(m+m)g(L-B)-由、式得,第二只苍蝇质量的最大值. 19. 在光滑水平面上放置一个质量为M,截面是1/4圆(半径为R)的柱体A,如图所示.柱面光滑,顶端放一质量为m的小滑块B.初始时刻A、B都处于静止状态
20、,在固定的坐标系xoy中的位置如图所示,设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下,试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程.答案： 解:设A的坐标(相对圆心)为(x1、0),B的坐标为(x2、y2),如图所示.有质心定律mx1-Mx2=0几何关系Rsina=x1+x2， Rcosa=y2-消去a和x1,得显然B的轨迹是半长轴为R(在y方向),半短轴为MR/(M+m)(在x方向)的椭圆的一部分. 20. 如图所示，质量为M的刚性均匀正方形框架在某边的中心开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略，将框架静止地放在以纸平面为代表的光滑水平面上，现有一质量为m的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度v0进入框
21、架内，方向如图所示，a=45。设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦的完全弹性碰撞。（1）若框架的边长为a，求小球从进入框架到离开框架这一过程中，小球相对水平面的位移大小。（2）小球离开框架时，框架的速度大小。答案：（1）;（2） 解：（1）小球与框架碰撞时，小球对框架的作用力的作用线通过框架的质心，框架只作平动。以框架为参照物，因碰撞是弹性碰撞，小球与框架碰撞前后小球相对框架的速率不变，所以小球从进入框架到离开框架这一过程中所用的时间，系统质心的速率在t时间内质心的位移大小因小球离开框架时相对质心的位置与初状态相同，所以小球从进入框架到离开框架这一过程中位移 （2）设小球离开框架时，框架的速度大小
22、为v。小球离开框架时相对框架的速率大小仍为v=v0,方向如图所示小球对地的速度（邻边与对角线关系）由动量守恒定律：上式可写成的平形四边形如图所示，大小为，方向如图所示所以小球离开框架时，框架的速度大小 3质心系的动能（冠尼希定理）以二个质点为例，质量分别为m1和m2，相对于静止参考系的速度分别为和，质心C的速度为，二质点相对于质心的速度分别为和，于是，质点系的动能，把和代入，且，括号中的求和表示质心对于自己的速度（或两物体相对质心的动量为零），心定为零。质点系的动能，由此可见，质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和,对于都个质点，这个关系也成立。 当质点只有二个时，质点组的动能
23、还可以用两物体的相对速度和质心的速度表示：根据动量守恒定律，和相对速度关系可得和，代入质点系的动能得。4.质点系动能定理：5.角动量定理和角动量守恒定律（1）质点的角动量：L=mvrsina；（2）角动量定理:Mt=L2-L1.（3）角动量守恒定律：冲量矩:Mt.当M=0时，L=恒量。如在有心力场作用下运动的物体，力矩为零，其角动量守恒。如卫星绕地球的运动，对地心的角动量不变，开普勒第二定律实际上对有心力点的角动量守恒，对其它点不一定守恒。21. 两个滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70gk，它们的速率vA=5m/s，vB=10m/s，在相距1.3m的两平行线上相向而行，当两者最接
24、近时，便拉起手来开始绕质心作圆周运动，并保持二人之间的距离1.3m不变。求：（1）二人拉手后，系统的角速度。（2）计算两个人拉手前后的动能是否相等，并说明理由。答案：（1）11.54rad/s; (2)4250J, 机械能守恒 解（1）拉手后二人一定绕质心转动吗？如何证明？将两个看作质点，相距L=1.3m,先求质心的位置，MALA=MBLB，LA+LB=1.3m,得LA=07m,LB=0.6m，接触后绕质心转动。以两人为系统，初角动量L1=MAvALA+MBvBLB，未角动量L2=MAwLA2+MBwLB2，有角动量守恒定律得角速度=11.54rad/s. (2)拉手前的总动能J，拉手后质心的
25、速度=3.1m/s拉手后的总动能J。两个人拉手前后的机械能守恒，当两人的速度方向不平行时，机械能不守恒。 22. 如图所示，质量为m的长方形箱子放在光滑的水平地面上，箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底之间无摩擦。开始时箱子不动，滑块以速度v0从箱子的A壁向B壁处运动，然后又与B壁碰撞。假定滑块每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍（即恢复系数为e），。（1）要使滑块与箱子这一系统的动能的总损耗不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？答案：（1）4次；（2） 解：（1）此题用冠尼希定理来解比
26、较方便。因系统无外力，质心作匀速运动，质心的速度质点系的初动能为开始时两物体的相对速度为v0,经n次碰撞后的相对速度经n次碰撞后质点系的动能为根据题意：，得，故按题述的要求最多可碰撞4次。 （2）因第一次和第三次是在B壁发生，而第二次和第四次是在A壁发生的。这样，从滑块开始到刚完成第四次碰撞的过程中，箱子与质心的位移相等，所以箱子的平均速度等于质心的速度： 五.综合题例23. 一袋面粉沿着与水平面成a=60的光滑斜面上从高H处无初速地滑下，落到水平地面上。袋与地面间的动摩擦因数m=0.7。求：（1）袋停在何处。（2）如果a=45，m=0.5，袋又停在何处。答案：（1）停在斜面下端; （2）离斜
27、面下0.26H 解（1）当袋刚滑到斜面底端时的速度，在地的支持力作用下，竖直方向的速度变为零，设平均支持力为N，则在竖直方向：Nt=mv0sina,在此过程中摩擦力产生的冲量:ft=mNt=mmv0sina=0.6mv0,而袋的水平动量：Px=mv0cosa=0.5mv0,因ftPx,实际上袋的水平分量先变为零，同时摩擦力也消失，袋立即停在斜面下端。 （2）当a=45，m=0.5时，摩擦力产生的冲量:ft=mNt=mmv0sina=0.35mv0,而袋的水平动量：Px=mv0cosa=0.71mv0,在袋与地碰撞过程中，有动量定理：-ft=mv-0.71mv0,得v=0.36v0.在袋滑行过程
28、中，有动能定理：-mmgs=0-mv2,得=0.26H. 24. 如图所示,金属板A的质量为M,金属球B的质量为m,长为L的轻杆将球与板的中央O点连接,O为转动轴,开始时杆处于竖直位置,球和板都静止在光滑的水平面上.放开B球后杆将倒下.求杆抵达水平位置时,杆对金属小球B的拉力. 答案： 解:杆水平时,球和板有共同的水平速度,有水平方向动量守恒,得水平方向的共同速度为零（只有m的竖直速度，但加速度都不为零）。当杆抵达水平时,有机械能守恒,小球的竖直速度.设此时球对地的加速度am,板对地的加速度aM。则球相对转动点(板)的加速a=am+aM=-(1)对M:T=MaM-(2), 对m:T=mam-(
29、3),有(1)、(2)、(3)得. 或若取板为参照系时,有,得. 25. 如图所示,质量为2m,长度为L的木块置于水平台面上.质量为m的子弹以初速v0水平向右射入木块,设木块对子弹的阻力始终恒定不变,求:(1)若木块能在光滑水平台面上自由滑动,子弹穿出木块时速度变为v0/2.则子弹穿透木块的过程中,木块滑行的距离为多少.(2)若木块固定在平台上,使木块随平台始终以某一恒定的速度(小于v0)水平向右运动,子弹仍以v0的水平速度射入木块,且子弹恰好穿透木块,则子弹穿透木块的时间为多少.答案：(1)L/5；(2) 解:(1)有动量守恒,子弹穿出木块时,木块的速度为v=v0/4,对木块s=v0t/8;
30、对子弹s+L=3v0t/4.得s=L/5. (2)设平台的速度为v,子弹射入木块过程中木块移动s,有L+s=(v0-v)t/2,s=vt,得;对子弹有动量定理ft=m(v0-v).有此两式得，,代入上式得时间 26. 一块足够长的木板，放在光滑的水平面上，如图所示，在木板上自左向右放有序号为1、2、3、n的木块，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为m。开始时，木板静止不动，第1、2、3、n号的木块的初速度分别为、，方向向右，木板的质量与所有的木块的总质量相同，最终所有的木块与木板以共同的速度运动，试求： （1）第号木块从开始运动到与木板速度刚好相等的过程中的位移。（2）第号木块在整个
31、运动过程中的最小速度。答案：（1）；（2） 解：（1）有动量守恒，得共同速度。木块在木板上运动时，所受滑动摩擦力有动能定理，得 （2）设第号木块的最小速度为，此时第块木块的速度为，第号木块在此速度以前为减速运动，后为加速运动，且此速度为其与木板速度相等时的速度，此时只有第块木块相对木板运动，有动量守恒有 在此过程中，第块木块与第块木块在木板上运动的时间相同，所受的摩擦力相同，故速度改变量相同，有，或 有、两式可得。 27. 如图所示，质量M=1kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长L=1m，质量m=1kg的小物体从箱子中央以v0=5m/s的速度开始向右运动，物体与箱底间的动摩擦因数m=0.05，
32、物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物体可与箱壁发生多少次碰撞？当小物体在箱中刚达到相对静止时，箱子在水平面上的位移是多少？（答案：12次，12.25m） 解：设物体与箱子处于相对静止时的共同速度为v,有动量守恒：mv0=(M+m)v-有能量守恒：-代入数据得s相=12.5m,所以小物体与箱壁发生12次 碰撞后停在右壁（最后只接触，不发生碰撞）对小物体用动量定理并求和得-mmgt=mv-mv0,得t=5s.质心的速度=2.5m/s.在t时间内质心的位移xc=vCt=12.5m,由于初状态质心在箱中央，末状态质心在箱中央前0.25m处，所以箱子的位移x=xC-0.25m=12.25m. 28. 如图
33、所示,AOB是一内表面光滑的楔形槽,固定在水平桌面(图中纸面)上.夹角a=10(为了能看清楚,图中的a是夸大了的).现将一质点在BOA面内从C处以速度大小v=5m/s射出,其方向与AO间的夹角q=600,OC=10m,设质点与桌面间的摩擦力可忽略不计,质点与OB面及OA面的碰撞都是弹性碰撞,且每次碰撞时间极短,可忽略不计.试求:(1)共能与板发生几次碰撞？最后一次碰撞发生在块板？ (2)在这过程中,质点到O点的最短距离是多少?答案：(1) 60次碰撞，最后一次与C相碰；(2)8.67m 解: (1)因为碰撞处是光滑的,而且是弹性碰撞,所以反射角等于入射角.因为连续两次碰撞的法线之间的夹角等于O
34、A与OB之间的夹角a, 第一次碰撞时，第二次碰撞时，第n次碰撞时，有图可知，第n次碰撞时，CC与板相交，第n+1次碰撞时，CC与不板相交，故n应满足，得n =119次，寄数次与B板相碰，偶数次与A板相碰，所最后一次碰撞发生在B板，最后平行A板离开。因为第一次碰撞的入射角为290,第30次碰撞时的入射角等于00,此时质点沿原路返回,第60次与出发点C相碰,往返共经60次碰撞. (2)质点到O点的最短距离等于OP=OCsin600=8.67m. 六.刚体力学基础(不要求)1.基本概念(1)力矩；M=FLsina.(2)转动惯量:J=Dm1r12+Dm2r22+Dm3r32+. 半径为r作圆周运动的
35、质点（也可看成是平动）：J=mr2。 半径为r的圆环：转轴通过圆心垂直圆平面J=mr2；以直径为转轴J=mr2/2。 半径为r的圆盘：转轴通过圆心垂直圆盘平面J=mr2/2，以直径为转轴J=mr2/4。 转轴过轴线的圆柱J=mr2/2。 转轴过圆心的球体：J=2mr2/5。 长为L均匀细杆：转轴过端点垂直杆：J=mL2/3；转轴过中心垂直杆J=mL2/12。 我们以长为L均匀细杆，转轴过端点垂直杆为例来求转动惯量：把杆分成n段（n），每段长DL=L/n,每段质量Dm=m/n.J1=DmDL2; J2=Dm(2DL)2; Ji=Dm(iDL)2;.当n时J= mL2/3。当转轴过中心垂直杆时，L
36、=L/2，m=m/2,J=2J=mr2/12。(3)转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理 平行宙定理：为过质心轴的转动惯量，I为平行于为轴相距为d的转动惯量，则，如长为L均匀细杆，以不同转轴转动惯量关系J=mL2/3和J=mL2/12。 垂直轴定理：对平面薄板，垂直平在为轴的转动惯量，则，如圆盘，以不同转轴转动惯量关系J=mr2和J=mr2。(4)转动动能：刚体的定轴转动动能EK=Jw2；即有转动,又有平动的动能EK=Jw2+mvc2/2.质点的动能EK=mvc2.（5）角动量：刚体的角动量L=Jw。（6）冲量矩:Mt.29. 试证：半径和质量都相同的圆柱体、圆筒、和实心的球，沿同一斜面、同一高度
37、从静止纯滚动地滚下时，它们到达底部的速度大小次序是：实心球，圆柱体，圆筒。已知：滚动时，绕质心的转动惯量分别为圆柱J=mR2。圆筒J=mR2；球体J=mR2。 解（1）纯滚动时，静摩擦力不做功，机械能守恒：。有上式可知，转动惯量大的速度小，所以它们到达底部的速度大小次序是：实心球，圆柱体，圆筒。 2.转动定律：M=Jb 30. 一飞轮直径0.30m，质量M=5.0kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止开始均匀地加速转动，经t=0.5s转速达到n=10r/s。假定飞轮可看作实心的圆柱体，其转动惯量J=MR2。求：（1）经t=0.5s飞轮角速度及这段时间内转过的转数。（2）拉力的大小
38、。（3）从拉动后t=10s时飞轮的角速度及飞轮边缘上一点的加速度。答案：（1）2.5r；(2) 47N；（3）2.37105m/s2 解（1）因w=2pn,所以b=（w-0）/t=125.6rad/s.转过的角度q=bt2,转过的转数N=q/2p=2.5r（也可用线度来解）. (2)有转动定理M=FR=Jb，所以F=Jb/R=47N。 （3）当t=10s时，角速度w=bt=125.610=1256rad/s;线速度v=wR=188.4m/s,向心加速度an=Rw2=2.37105m/s2,切向加速度at=Rb=18.84m/s2,所以飞轮边缘上一点的加速度=2.37105m/s2。 31. 如
39、图所示，两个物体的质量分别为m1和m2,滑轮的质量不能忽略，其转动惯量为J，半径为R,m2与桌面间的动摩擦因数为m，滑轮转轴光滑，绳与滑轮间无滑动。求系统的加速度a及竖直绳子的拉力T1和水平绳子的拉力T2。答案：， 解：对m1：m1g-T1=m1a- 对m2：T2-mm2g=m2a-对滑轮，有转动定律：（T1-T2）R=Jb- a=bR-有以上4式解得系统的加速度：。竖直绳子的拉力：。水平绳子的拉力：。讨论：当m=0，J=0时：；。 32. 如图所示是一种小孩玩具“哟哟”，绳子的一端不是固定在天花板上而是握在手中。要使质心不动，绳的张力应多大，此时手应以多大的加速度向上运动。已知玩具绕质心的转
40、动惯量J=mR2；（答案：mg，2g） 解：设玩具质心的加速度a,绕质心的角加速度b，绳的张力为T，手的加速度a.有牛顿定律：T-mg=ma-有转动定律：TR=Jb-a=a+Rb-因质心不动，所以a=0，有式得绳子的张力T=mg. 有得,所以得手向上运动的加速度a=a+Rb=Rb=2g. 3.角动量定理和角动量守恒定律（1）角动量定理:Mt=L2-L1.（2）角动量守恒定律：冲量矩:Mt.当M=0时，L=恒量。33. 如图所示，一根L=0.4m的均匀木棒，质量M=1.0kg，可绕水平轴O点在竖直面内转动，开始时棒自然铅直悬垂。现有一质量m=8g的子弹以v=200m/s的速度从A点水平射入棒内，A点离O点的距离为3L/4，棒的转动惯量J=ML2/3。求：（1）棒开始转动时的角速度。（2）棒的最大偏角。（3）若子弹射入的方向与棒的夹角a=30，棒开始转动时的角速度。答案：（1）8.87 rad/s；(2) 9412；（3）4.43rad/s 解（1）有角动量守恒定律：，J=ML2/3。得棒开始转动时的角速度=8.87 rad/s. (2)有机械能守恒，设棒的最大偏角为q，得棒的最大偏角q=9412。 （3）当子弹射入的方向与棒的夹角a=30时， 有角动量守恒定律：，w=4.43rad/s. 15