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1、中考数学复习专题讲座十三:动点型问题中考数学复习专题讲座十三 动点型问题（三） （函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题） 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包 括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点
2、的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做 好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是 动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 专题五：函数引动点产生的相似三角形问题 函数因动点产生的相似三角形问题一般有三个解决途径： 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边 和角 的特点，进而得出 已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨 论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中
3、利用勾股定理、三角函数、对称、 旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 例1 （201261义乌市）如图1，已知直线y=kx 与抛物线y= 交于点A（3，6） （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度； （2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM，交x 轴于点M（点M、O 不重 合），交直线OA 于点Q，再过点Q 作直线PM的垂线，交y 轴于点N试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B 为抛物线上对
4、称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O、A 不重合）， 点D（m，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什 么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个？ 思路分析： （1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据A 点坐标用勾股定理求 出线段OA 的长度； （2）如答图1，过点Q 作QGy 轴于点G，QHx 轴于点H，构造相似三角形 QHM与 QGN，将线段QM与线段QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立； （3）由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD，可以得到 ABEOED设O
5、E=x， 则由相似边的比例关系可以得到m关于x 的表达式 （ ），这 是一个二次函数借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x 的取值 （即OE 的长度，或E 点的位置）有1 个或2 个这样就将所求解的问题转化为分析二次函 数的图象与性质问题 另外，在相似三角形 ABE与 OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度如 答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB 的长度 解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； 6=3k， k=2， y=2x（2 分） OA= （3 分） （2） 是一个定值，理由如下： 如答图1，过点Q 作QGy 轴于点
6、G，QHx 轴于点H 当QH 与QM重合时，显然QG 与QN 重合， 此时 ； 当QH 与QM不重合时， QNQM，QGQH 不妨设点H，G 分别在x、y 轴的正半轴上， MQH=GQN， 又QHM=QGN=90 QHMQGN（5 分）， ， 当点P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 （7 分） （3）如答图2，延长AB 交x 轴于点F，过点F 作FCOA 于点C，过点A 作ARx 轴于 点R AOD=BAE， AF=OF， OC=AC= OA= ARO=FCO=90，AOR=FOC， AORFOC， ， OF= ， 点F（ ，0）， 设点B（x， ）， 过点B 作BKAR 于点K，则
7、 AKBARF， ， 即 ， 解得x 1 =6，x 2 =3（舍去）， 点B（6，2）， BK=63=3，AK=62=4， AB=5 （8 分）； （求AB 也可采用下面的方法） 设直线AF 为y=kx+b（k0）把点A（3，6），点F（ ，0）代入得 k= ，b=10， ， ， （舍去）， ， B（6，2）， AB=5（8 分） （其它方法求出AB 的长酌情给分） 在 ABE 与 OED 中 BAE=BED， ABE+AEB=DEO+AEB， ABE=DEO， BAE=EOD， ABEOED（9 分） 设OE=x，则AE= x （ ）， 由 ABEOED 得 ， （ ）（10 分） 顶点为（
8、 ， ） 如答图3，当 时，OE=x= ，此时E 点有1 个； 当 时，任取一个m的值都对应着两个x 值，此时E 点有2 个 当 时，E 点只有1 个（11 分） 当 时，E 点有2 个（12 分） 点评： 本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外 也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2）， （3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题， 利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分 对应训练 1（201261绍兴）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC
9、，抛物线y=x 2 4x2 经 过A，B 两点 （1）求A 点坐标及线段AB 的长； （2）若点P 由点A 出发以每秒1 个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1 秒后点Q 也由点A 出发以每秒7 个单位的速度沿AO，OC，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一 个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒 当PQAC 时，求t 的值； 当PQAC 时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H 的纵坐标的取值 范围 考点六：以圆为载体的动点问题 与圆有关的动点问题也是中考的热点，此类问题以圆为载体，主要研究几何图形在点的 运动中的位置关系和数量关系；这类问题集几何、代数知识于一体，是
10、数形结合思想的完美 表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。 解决此类问题要充分利用圆的有关性质，同时要抓住图形运动的本质规律，用“静态” 的方法来分解图形的运动过程，用静态的方法来研究运动中的变与不变的函数关系，吧复杂 的运动过程化为简单的数学问题。 例2 （201261湘潭）如图，在O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P，AC= AB， 点P 在半圆弧AB 上运动（不与A、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点 （1）如图1，求证： PCDABC； （2）当点P 运动到什么位置时， PCDABC？请在图2 中画出 PCD 并说明理由； （3）如图3，当点P
11、运动到CPAB 时，求BCD 的度数 思路分析： （1）由AB 是O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得ACB=90， 又由PDCD，可得D=ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 即可得A=P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定： PCDABC； （2）由 PCDABC，可知当PC=AB 时， PCDABC，利用相似比等于1 的相似 三角形全等即可求得； （3）由ACB=90，AC= AB，可求得ABC 的度数，然后利用相似，即可得PCD 的度 数，又由垂径定理，求得 = ，然后利用圆周角定理求得ACP 的度数，继而求得答案 解： （1）证明：AB 是O 的直径
12、， ACB=90， PDCD， D=90， D=ACB， A 与P 是 对的圆周角， A=P， PCDABC； （2）解：当PC 是O 的直径时， PCDABC， 理由：AB，PC 是O 的直径， PBC=ACB=90，AB=PC， A=P PCDABC； （3）解：ACB=90，AC= AB， ABC=30， PCDABC， PCD=ABC=30， CPAB，AB 是O 的直径， = ， ACP=ABC=30， BCD=ACACPPCD=903030=30 点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定 与性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适
13、中，注意数形结合思想的应 用 对应训练 2（201261无锡）如图，菱形ABCD 的边长为2cm，DAB=60点P 从A 点出发，以 cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s 的速度，沿射 线AB 作匀速运动当P 运动到C 点时，P、Q 都停止运动设点P 运动的时间为ts （1）当P 异于A、C 时，请说明PQBC； （2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与 边BC 分别有1 个公共点和2 个公共点？ 四、中考真题演练 一、选择题 1（201261广西）如图，已知线段OA 交O 于点B，且OB=AB
14、，点P 是O 上的一个动点， 那么OAP 的最大值是（ ） A30 B 45 C 60 D 90 2（201261北海）如图，等边 ABC 的周长为6，半径是1 的O 从与AB 相切于点D 的 位置出发，在 ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置， 则O 自转了（ ） A2 周 B 3 周 C 4 周 D 5 周 3（201261兰州）如图，AB 是O 的直径，弦BC=2cm，F 是弦BC 的中点，ABC=60若 动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着ABA 方向运动，设运动时间为t（s）（0t3）， 连接EF，当 BEF 是直角三角形时，t（s）的值为（
15、 ） A B 1 C 或1 D 或1 或 二、填空题 4（201261遵义）如图，AB 是O 的弦，AB 长为8，P 是O 上一个动点（不与A、B 重 合），过点O 作OCAP 于点C，ODPB 于点D，则CD 的长为 5（201261宁波）如图， ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB=2 ，D 是线段BC 上 的一个动点，以AD 为直径画O 分别交AB，AC 于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最 小值为 6（201261兰州）如图，已知O 是以坐标原点O 为圆心，1 为半径的圆，AOB=45，点 P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与O 有公共点，设P（x，0），则
16、x 的取 值范围是 7（201261河池）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 的顶点F 的坐标为（4，2），将 矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴上，得到矩形OMNP，OM与GF 相交于 点A若经过点A 的反比例函数 的图象交EF 于点B，则点B 的坐标 为 三、解答题 8（201261咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），动点A 以每秒1 个 单位长的速度，从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M是线段AC 的中点将线段AM以点 A 为中心，沿顺时针方向旋转90，得到线段AB过点B 作x 轴的垂线，垂足为E，过点C 作y 轴的垂线，交直线BE 于点D运动
17、时间为t 秒 （1）当点B 与点D 重合时，求t 的值； （2）设 BCD 的面积为S，当t 为何值时，S= ？ （3）连接MB，当MBOA 时，如果抛物线y=ax 2 10ax 的顶点在 ABM内部（不包括 边），求a 的取值范围 9（201261山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +2x+3 与x 轴交 于A、B 两点，与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点 （1）求直线AC 的解析式及B、D 两点的坐标； （2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线lAC 交抛物线于点Q，试探究：随着P 点的运 动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C 为顶点的四边形
18、是平行四边形？若存 在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）请在直线AC 上找一点M，使 BDM的周长最小，求出M点的坐标 10（201261龙岩）在平面直角坐标系xOy 中，一块含60角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C 的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C此时， EF 所在直线与（1）中的
19、抛物线交于点M 设AE=x，当x 为何值时， OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使 PEM是等腰三角形？若存在， 请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 11（201261兰州）如图，Rt ABO 的两直角边OA、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半 轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），抛物线y= x 2 +bx+c 经 过点B，且顶点在直线x= 上 （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把 ABO 沿x 轴向右平移得到 DCE，点A、B、O 的对应点分别是D、C、E，当 四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否
20、在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P 使得 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标； （4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB 上的一个动点（点M与点O、B 不重合）， 过点M作BD 交x 轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t， PMN 的面积为S，求S 和t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值 和此时M点的坐标；若不存在，说明理由 12（201261荆门）如图甲，四边形OABC 的边OA、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶 点在B 点的抛物线交x 轴于点A、D，交y 轴于点E，连接
21、AB、AE、BE已知tanCBE= ， A（3，0），D（1，0），E（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； （2）求证：CB 是 ABE 外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P 为顶点的三角形与 ABE 相似，若存 在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设 AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0t3）时， AOE 与 ABE 重叠部分的 面积为s，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围 13（201261嘉兴）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是抛物线：y=x 2 上的动点（点在第一象 限内）连接 OP，过点0 作
22、OP 的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ，交y 轴于点M作 PA 丄x 轴于点A，QB 丄x 轴于点B设点P 的横坐标为m （1）如图1，当m= 时， 求线段OP 的长和tanPOM的值； 在y 轴上找一点C，使 OCQ 是以OQ 为腰的等腰三角形，求点C 的坐标； （2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ 相交于点D、E 用含m的代数式表示点Q 的坐标； 求证：四边形ODME 是矩形 14（201261济宁）如图，抛物线y=ax 2 +bx4 与x 轴交于A（4，0）、B（2，0）两点， 与y 轴交于点C，点P 是线段AB 上一动点（端点除外），过点P 作PDAC，交BC 于点D， 连接
23、CP （1）求该抛物线的解析式； （2）当动点P 运动到何处时，BP 2 =BD61BC； （3）当 PCD 的面积最大时，求点P 的坐标 15（201261怀化）如图，抛物线m：y= （x+h） 2 +k 与x 轴的交点为A、B，与y 轴的交 点为C，顶点为M（3， ），将抛物线m绕点B 旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点 为D； （1）求抛物线n 的解析式； （2）设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E、D 重合）， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为F，连接EF如果P 点的坐标为（x，y）， PEF 的面积为S， 求S 与x 的函数关系式，写出自变
24、量x 的取值范围，并求出S 的最大值； （3）设抛物线m的对称轴与x 轴的交点为G，以G 为圆心，A、B 两点间的距离为直径作 G，试判断直线CM与G 的位置关系，并说明理由 16（201261常德）如图，已知二次函数 的图象过点A（4，3）， B（4，4） （1）求二次函数的解析式： （2）求证： ACB 是直角三角形； （3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH 垂直x 轴于点H，是否存 在以P、H、D 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由 17（201261鞍山）如图，直线AB 交x 轴于点B（4，0），交y 轴于点A（0，
25、4），直线DMx 轴正半轴于点M，交线段AB 于点C，DM=6，连接DA，DAC=90 （1）直接写出直线AB 的解析式； （2）求点D 的坐标； （3）若点P 是线段MB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点F，交过O、D、B 三 点的抛物线于点E，连接CE是否存在点P，使 BPF 与 FCE 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 18（201261西宁）如图（1），AB 为O 的直径，C 为O 上一点，若直线CD 与O 相切 于点C，ADCD，垂足为D （1）求证： ADCACB； （2）如果把直线CD 向下平行移动，如图（2），直线CD 交O 于C、G 两点
26、，若题目中 的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tanDAC 的值 19（201261南充）如图，C 的内接 AOB 中，AB=AO=4，tanAOB= ，抛物线y=ax 2 +bx 经过点A（4，0）与点（2，6） （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线m与C 相切于点A，交y 轴于点D动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动；同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动；点P 的速度为每秒一个单位长， 点Q 的速度为每秒2 个单位长，当PQAD 时，求运动时间t 的值； （3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当 ROB 面积最大时，求点R 的坐标 20（20
27、1261苏州）如图，已知半径为2 的O 与直线l 相切于点A，点P 是直径AB 左侧半 圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C，PC 与O 交于点D，连接PA、PB，设 PC 的长为x（2x4） （1）当x= 时，求弦PA、PB 的长度； （2）当x 为何值时，PD61CD 的值最大？最大值是多少？ 21（201261上海）如图，在半径为2 的扇形AOB 中，AOB=90，点C 是弧AB 上的一个 动点（不与点A、B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E （1）当BC=1 时，求线段OD 的长； （2）在 DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在
28、， 请说明理由； （3）设BD=x， DOE 的面积为y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域 22（201261泉州）已知：A、B、C 三点不在同一直线上 （1）若点A、B、C 均在半径为R 的O 上， i）如图，当A=45，R=1 时，求BOC 的度数和BC 的长； ii）如图，当A 为锐角时，求证：sinA= ； （2）若定长线段BC 的两个端点分别在MAN 的两边AM、AN（B、C 均与A 不重合）滑 动，如图，当MAN=60，BC=2 时，分别作BPAM，CPAN，交点为P，试探索在 整个滑动过程中，P、A 两点间的距离是否保持不变？请说明理由 23（201261聊城）如图，
29、O 是 ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P 是 上的一个 动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D （1）当点P 在什么位置时，DP 是O 的切线？请说明理由； （2）当DP 为O 的切线时，求线段DP 的长 24（201261大庆）已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm， 在图2 中ABC=90 （l）如图1，若将圆心由点A 沿AC 方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （2）如图2，若将圆心由点A 沿ABC 方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （3）如图3，若将圆心由点A 沿ABCA 方向运动回到点A 则：I）阴影部分面
30、积为 ；）圆扫过的区域面积为 25（201261常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 在正比例函数y=x 的图象上，点 P 的横坐标为m（m0），以点P 为圆心， m为半径的圆交x 轴于A、B 两点（点A 在 点B 的左侧），交y 轴于C、D 两点（点D 在点C 的上方）点E 为平行四边形DOPE 的顶 点（如图） （1）写出点B、E 的坐标（用含m的代数式表示）； （2）连接DB、BE，设 BDE 的外接圆交y 轴于点Q（点Q 异于点D），连接EQ、BQ， 试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等？为什么？ （3）连接BC，求DBCDBE 的度数 专题十三 动点型问题（三）参考答案 （
31、函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题） 三、中考考点精讲 对应训练 1解：（1）由抛物线y=x 2 4x2 知：当x=0 时，y=2， A（0，2） 由于四边形OABC 是矩形，所以ABx 轴，即A、B 的纵坐标相同； 当y=2 时，2=x 2 4x2，解得x 1 =0，x 2 =4， B（4，2）， AB=4 （2）由题意知：A 点移动路程为AP=t， Q 点移动路程为7（t1）=7t7 当Q 点在OA 上时，即07tt2，1t 时， 如图1，若PQAC，则有Rt QAPRt ABC = ，即 ， t= ， 此时t 值不合题意 当Q 点在OC 上时，即27t76， t 时，
32、如图2，过Q 点作QDAB AD=OQ=7（t1）2=7t9 DP=t（7t9）=96t 若PQAC，则有Rt QDPRt ABC， ，即 = ，t= ， ， t= 符合题意 当Q 点在BC 上时，即67t78， t 时， 如图3，若PQAC，过Q 点作QGAC， 则QGPG，即GQP=90 QPB90，这与 QPB 的内角和为180矛盾， 此时PQ 不与AC 垂直 综上所述，当t= 时，有PQAC 当PQAC 时，如图4， BPQBAC， = ， = ， 解得t=2，即当t=2 时，PQAC 此时AP=2，BQ=CQ=1， P（2，2），Q（4，1） 抛物线对称轴的解析式为x=2， 当H 1
33、 为对称轴与OP 的交点时， 有H 1 OQ=POQ， 当y H 2 时，HOQPOQ 作P 点关于OQ 的对称点P，连接PP交OQ 于点M， 过P作PN 垂直于对称轴，垂足为N，连接OP， 在Rt OCQ 中，OC=4，CQ=1 OQ= ， S OPQ =S 四边形ABCD S AOP S COQ S QBP =3= OQPM， PM= ， PP=2PM= ， NPP=COQ Rt COQRt NPP ， PN= ，PN= ， P（ ， ）， 直线OP的解析式为y= x， OP与NP 的交点H 2 （2， ） 当y H 时，HOPPOQ 综上所述，当y H 2 或y H 时，HOQPOQ 2
34、解：（1）四边形ABCD 是菱形，且菱形ABCD 的边长为2cm， AB=BC=2，BAC= DAB， 又DAB=60（已知）， BAC=BCA=30； 如图1，连接BD 交AC 于O 四边形ABCD 是菱形， ACBD，OA= AC， OB= AB=1（30角所对的直角边是斜边的一半）， OA= ，AC=2OA=2 ， 运动ts 后， ， 又PAQ=CAB， PAQCAB， APQ=ACB（相似三角形的对应角相等）， PQBC（同位角相等，两直线平行）5 分 （2）如图2，P 与BC 切于点M，连接PM，则PMBC 在Rt CPM中，PCM=30，PM= PC= 由PM=PQ=AQ=t，即
35、=t 解得t=4 6，此时P 与边BC 有一个公共点； 如图3，P 过点B，此时PQ=PB， PQB=PAQ+APQ=60 PQB 为等边三角形，QB=PQ=AQ=t，t=1 时，P 与边BC 有2 个公共点 如图4，P 过点C，此时PC=PQ，即2 t=t，t=3 当1t3 时，P 与边BC 有一个公共点， 当点P 运动到点C，即t=2 时，P 过点B，此时，P 与边BC 有一个公共点， 当t=4 6 或1t3 或t=2 时，P 与菱形ABCD 的边BC 有1 个公共点； 当4 6t1 时，P 与边BC 有2 个公共点 四、中考真题演练 一、选择题 1A 解：根据题意知，当OAP 的取最大值
36、时，OPAP； 在Rt AOP 中，OP=OB，OB=AB， AB=2OP， OAB=30 故选A 2C 解：圆在三边运动自转周数： =3， 圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360，即一周； 可见，O 自转了3+1=4 周 故选C 3D 解：AB 是O 的直径， ACB=90； Rt ABC 中，BC=2，ABC=60； AB=2BC=4cm； 当BFE=90时； Rt BEF 中，ABC=60，则BE=2BF=2cm； 故此时AE=ABBE=2cm； E 点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s 或3s； 由于0t3，故t=3s 不合题意，舍去； 所以当BFE=90时，t=
37、1s； 当BEF=90时； 同可求得BE=0.5cm，此时AE=ABBE=3.5cm； E 点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s 或2.25s； 综上所述，当t 的值为1、1.75 或2.25s 时， BEF 是直角三角形 故选D 二、填空题 44 解：OCAP，ODPB， 由垂径定理得：AC=PC，PD=BD， CD 是 APB 的中位线， CD= AB= 8=4， 故答案为：4 5 解：如图，连接OE，OF，过O 点作OHEF，垂足为H， 在Rt ADB 中，ABC=45，AB=2 ， AD=BD=2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知EOH= EOF=BAC=60
38、， 在Rt EOH 中，EH=OE61sinEOH=1 = ， 由垂径定理可知EF=2EH= ， 故答案为： 6 x 解：连接OD，由题意得，OD=1，DOP=45，ODP=90， 故可得OP= ，即x 的极大值为 ， 同理当点P 在x 轴左边时也有一个极值点，此时x 取得极小值，x= ， 综上可得x 的范围为： x 故答案为： x 7（4， ） 解：矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP， P=POM=OGF=90， PON+PNO=90，GOA+PON=90， PNO=GOA， OGANPO； E 点坐标为（4，0），G 点坐标为（0，2）， OE
39、=4，OG=2， OP=OG=2，PN=GF=OE=4， OGANPO， OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2， GA=1， A 点坐标为（1，2）， 设过点A 的反比例函数解析式为y= ， 把A（1，2）代入y= 得k=12=2， 过点A 的反比例函数解析式为y= ； 把x=4 代入y= 中得y= ， B 点坐标为（4， ） 故答案为：（4， ） 三、解答题 8解：（1）CAO+BAE=90，ABE+BAE=90， CAO=ABE Rt CAORt ABE = = t=8 （2）由Rt CAORt ABE 可知：BE= ，AE=2 当0t8 时，S= CD61BD= （2+t）（4 ）
40、= t 1 =t 2 =3 当t8 时，S= CD61BD= （2+t）（ 4）= t 1 =3+5 ，t 2 =35 （为负数，舍去） 当t=3 或3+5 时，S= （3）过M作MNx 轴于N，则MN= CO=2 当MBOA 时，BE=MN=2，OA=2BE=4 抛物线y=ax 2 10ax 的顶点坐标为（5，25a） 它的顶点在直线x=5 上移动 直线x=5 交MB 于点（5，2），交AB 于点（5，1） 125a2 a 9解：（1）当y=0 时，x 2 +2x+3=0，解得x 1 =1，x 2 =3 点A 在点B 的左侧， A、B 的坐标分别为（1，0），（3，0） 当x=0 时，y=3
41、 C 点的坐标为（0，3） 设直线AC 的解析式为y=k 1 x+b 1 （k 1 0）， 则 ， 解得 ， 直线AC 的解析式为y=3x+3 y=x 2 +2x+3=（x1） 2 +4， 顶点D 的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q， 当点Q 在Q1 位置时，Q1 的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1 的坐标为（2，3）； 当点Q 在点Q2 位置时，点Q2 的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2 坐标为（1+ ， 3）； 当点Q 在Q3 位置时，点Q3 的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3 的坐标为（1 ，3）； 综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1 （2，3），Q
42、2 （1+ ，3），Q 3 （1 ， 3） （3）点B 作BBAC 于点F，使BF=BF，则B为点B 关于直线AC 的对称点连 接BD 交直线AC 与点M，则点M为所求， 过点B作BEx 轴于点E 1 和2 都是3 的余角， 1=2 Rt AOCRt AFB， ， 由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， AC= ，AB=4 ， BF= ， BB=2BF= ， 由1=2 可得Rt AOCRt BEB， ， ，即 BE= ，BE= ， OE=BEOB= 3= B点的坐标为（ ， ） 设直线BD 的解析式为y=k 2 x+b 2 （k 2 0） ， 解得 ， 直线
43、BD 的解析式为：y= x+ ， 联立BD 与AC 的直线解析式可得： ， 解得 ， M点的坐标为（ ， ） 10解：（1）点A（1，0）， OA=1， 由图可知，BAC 是三角板的60角，ABC 是30角， 所以，OC=OA61tan60=1 = ， OB=OC61cot30= =3， 所以，点B（3，0），C（0， ）， 设抛物线解析式为y=ax 2 +bx+c， 则 ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为y= x 2 + x+ ； （2）OCEOBC， = ， 即 = ， 解得OE=1， 所以，AE=OA+OE=1+1=2， 即x=2 时， OCEOBC； 存在理由如下： 抛物线的对称轴为
44、x= = =1， 所以，点E 为抛物线的对称轴与x 轴的交点， OA=OE，OCx 轴，BAC=60， ACE 是等边三角形， AEC=60， 又DEF=60， FEB=60， BAC=FEB， EFAC， 由A（1，0），C（0， ）可得直线AC 的解析式为y= x+ ， 点E（1，0）， 直线EF 的解析式为y= x ， 联立 ， 解得 ， （舍去）， 点M的坐标为（2， ）， EM= =2， 分三种情况讨论 PEM是等腰三角形， 当PE=EM时，PE=2， 所以，点P 的坐标为（1，2）或（1，2）， 当PE=PM时，FEB=60， PEF=9060=30， PE= EMcos30= 2
45、 = ， 所以，点P 的坐标为（1， ）， 当PM=EM时，PE=2EM61cos30=22 =2 ， 所以，点P 的坐标为（1，2 ）， 综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，2）或（1， ）或（1，2 ）， 使 PEM是等腰三角形 11解：（1）抛物线y= 经过点B（0，4） c=4， 顶点在直线x= 上， = = ， b= ； 所求函数关系式为 ； （2）在Rt ABO 中，OA=3，OB=4， AB= ， 四边形ABCD 是菱形， BC=CD=DA=AB=5， C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x=5 时，y= ， 当x=2 时，y= ， 点C 和点D 都在所求抛物线上； （3）设CD 与对称轴交于点P，则P 为所求的点， 设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b， 则 ， 解得： ， ， 当x= 时，y= ， P（ ）， （4）MNBD， OMNOBD， 即 得ON= ， 设对称轴交x 于点F， 则 （PF+OM）61OF= （ +t） ， ， S PNF = NF61PF= （ t） = ， S= （ ）， = （0t4）， S 存在最大值 由S= （t ）